Pierścień z jedynką

Pierścień z jedynkąpierścień, w którym istnieje element neutralny mnożenia, nazwany jedynką.

Jedynka pierścienia oznaczana jako spełnia więc warunek, który formalnie można zapisać

dla każdego elementu pierścienia

Innymi słowy, pierścień z jedynką jest monoidem ze względu na mnożenie. Jeśli pierścień nie jest pierścieniem trywialnym (tzn. ma co najmniej 2 elementy), to Jeśli jest homomorfizmem pierścieni i jest jedynką pierścienia to jest jedynką pierścienia W pierścieniach z jedynką istnieje przynajmniej jeden ideał maksymalny (twierdzenie Krulla).

Dołączanie jedynki do pierścieniaEdytuj

Dowolny pierścień   można zanurzyć w pewnym pierścieniu z jedynką. W tym celu wystarczy w iloczynie kartezjańskim   zdefiniować dwa działania:

 
 

Łatwo sprawdzić, że struktura   z powyższymi działaniami jest pierścieniem oraz, że para   jest jego jedynką.

Łatwo również zauważyć, że zbiór

 

jest podpierścieniem pierścienia   izomorficznym z   Izomorfizm ten realizuje więc zanurzenie   w   Pierścień   jest przy tym ideałem pierścienia  

Jeśli oznaczyć   jako   to   gdzie   oraz   można zapisać w postaci  

Zobacz teżEdytuj