Otwórz menu główne
×

Iloczyn kartezjański – dla danych zbiorów i zbiór wszystkich takich par uporządkowanych że należy do zbioru i należy do zbioru [1][2]. Iloczyn kartezjański zbiorów i oznacza się symbolem [3][2].

Nazwa iloczyn kartezjański odwołuje się do pojęcia kartezjańskiego układu współrzędnych na płaszczyźnie ze względu na następującą analogię: punkty w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie opisane są za pomocą uporządkowanych par liczb (pierwsza liczba nazywana jest odciętą, druga rzędną) – elementy iloczynu kartezjańskiego można zatem utożsamiać z punktami na płaszczyźnie[4]. Jednak w ogólności elementy zbiorów i nie muszą być liczbami, mogą być dowolnymi obiektami matematycznymi.

Iloczyn kartezjański trójelementowych zbiorów A i B

Spis treści

DefinicjeEdytuj

Iloczynem kartezjańskim zbiorów   i   nazywamy zbiór

 [a]

W analogiczny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów. Mianowicie   to zbiór wszystkich trójek uporządkowanych   takich, że       Definicja ta wymaga uściślenia, co się rozumie przez owe trójki. Można tego dokonać w rozmaity sposób. Jeden z nich[5][6], to traktowanie tych trójek jako ciągów trójwyrazowych, czyli funkcji na zbiorze   w zbiór   Przy drugim[7] jako   bierze się   a zatem trójka to para par:   Formalnie zbiór   zdefiniowany jako zbiór trójek i zbiór   nie są równe, ale w praktyce to rozróżnienie nie ma znaczenia[b][8][9].

Podobnie   można określić jako zbiór czwórek uporządkowanych   takich, że         Czwórki te można interpretować dwojako:

  • jako funkcje z   w zbiór  
  • jako pary par   wówczas iloczyn   określa się jako  

Iloczyny kartezjańskie większej liczby zbiorów definiuje się analogicznie.

PrzykładyEdytuj

Niech dane będą zbiory   oraz   Iloczyn kartezjański zbiorów   i   zgodnie z definicją jest równy:

 

Zbiór   służy do konstruowania n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Uogólniony produkt kartezjańskiEdytuj

Dla rodziny zbiorów   można wprowadzić pojęcie uogólnionego iloczynu kartezjańskiego (często nazywanego produktem kartezjańskim (rodziny) zbiorów). Dokładniej, zbiór złożony ze wszystkich tych funkcji[10]

 

takich że   dla każdego   nazywa się produktem kartezjańskim rodziny zbiorów   i oznacza takimi symbolami jak

    lub  

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Istnieje kilka nierównoważnych definicji par uporządkowanych. Najczęściej przyjmowana jest definicja Kuratowskiego, przy której   Ponieważ   i   dla   więc   i   gdzie   oznacza zbiór potęgowy zbioru   a stąd wynika, że  
  2. Zbiory     i   nie są równe, bowiem mają różne elementy, ale są między nimi oczywiste, kanoniczne bijekcje. S. Eilenberg i S. Mac Lane (General Theory of Natural Equivalences, Transactions of the American Mathematical Society, 58 (1945), s. 231–294; http://www.ams.org/journals/tran/1945-058-00/S0002-9947-1945-0013131-6/S0002-9947-1945-0013131-6.pdf) pokazali, że te bijekcje są transformacjami naturalnymi odpowiednich funktorów.

PrzypisyEdytuj

  1. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 52.
  2. a b Rasiowa 1975 ↓, s. 60.
  3. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 53.
  4. Waliszewski (red.) 1988 ↓, s. 42.
  5. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 56.
  6. Rasiowa 1975 ↓, s. 71.
  7. K. Kuratowski i A. Mostowski, Teoria mnogości, wyd. trzecie zmienione, PWN, Warszawa 1978, s. 84.
  8. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 73.
  9. Rasiowa 1975 ↓, s. 72.
  10. Rasiowa 1975 ↓, s. 70.

BibliografiaEdytuj