Topologia produktowa

Topologia produktowanaturalna topologia, w którą wyposażona jest przestrzeń produktowa, czyli iloczyn kartezjański rodziny przestrzeni topologicznych. Choć na przestrzeni produktowej można wprowadzić być może bardziej oczywistą topologię przedziałową, która pokrywa się z topologią produktową w przypadku produktu skończenie wielu przestrzeni, to topologię produktową uważa się jednak za „poprawniejszą” dlatego, iż czyni ona z przestrzeni produktowej teoriokategoryjny produkt jej czynników, podczas gdy topologia przedziałowa jest w ogólności zbyt uboga; w tym właśnie sensie topologia produktowa jest „naturalną” topologią przestrzeni produktowej.

Produkty skończenie wielu przestrzeni topologicznych rozważano niemal od początków topologii, jednak topologie produktów kartezjańskich dowolnych rodzin przestrzeni topologicznych zostały opisane po raz pierwszy przez rosyjskiego topologa Andrieja Tichonowa dopiero w 1930 roku. Z tego powodu inną nazwą topologii produktowej jest topologia Tichonowa.

Definicja

edytuj

Niech   będzie rodziną przestrzeni topologicznych, indeksowaną elementami pewnego zbioru   oraz niech

 

będzie (być może nieskończonym) iloczynem kartezjańskim rodziny zbiorów   Dla każdego   wzór

 

gdzie   określa funkcję   nazywaną rzutowaniem kanonicznym na współrzędną o indeksie  

Topologią produktową albo topologią Tichonowa w   nazywa się najmniejszą (najuboższą, najsłabszą) topologię w zbiorze   względem której wszystkie rzutowania  ciągłe.

Równoważnie topologię produktową w   można wprowadzić poprzez zadanie bazy składającej się ze zbiorów postaci

 

gdzie   jest dowolnym skończonym zbiorem indeksów, a zbiory   są otwarte w  

Innymi słowy, każdy zbiór otwarty w   jest sumą pewnej (możliwe, że nieskończonej) rodziny zbiorów powyższej postaci.

Topologię produktową w   można wprowadzić także poprzez zadanie bazy składającej się ze zbiorów postaci

 

gdzie każdy ze zbiorów   jest otwarty w   a zbiór   jest skończony.

Przykłady

edytuj

Wprowadzając topologię produktową na produkcie skończenie wielu kopii przestrzeni liczb rzeczywistych   (z naturalną topologią) otrzymuje się zwykłą topologię euklidesową na  

Zbiór Cantora jest homeomorficzny z produktem przeliczalnie wielu przestrzeni dyskretnych   a przestrzeń liczb niewymiernych z produktem przeliczalnie wielu egzemplarzy liczb naturalnych z topologią dyskretną.

Własności

edytuj

Przestrzeń produktowa   wraz z rzutami kanonicznymi, może być opisana za pomocą następującej własności uniwersalnej: jeżeli   jest przestrzenią topologiczną i dla każdego   funkcja   jest przekształceniem ciągłym, to istnieje jedno i tylko jedno takie przekształcenie ciągłe   że dla każdego   następujący diagram jest przemienny:

 
Własność charakterystyczna przestrzeni produktowych

Własność ta pokazuje, że przestrzeń produktowa jest produktem w kategorii przestrzeni topologicznych. Z powyższej własności uniwersalnej wynika też, że przekształcenie   jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy   jest ciągłe dla każdego   W wielu przypadkach sprawdzenie ciągłości funkcji składowych   bywa łatwiejsze. Zwykle trudniej dowieść ciągłości przekształcenia   w pewien sposób korzysta się wtedy z ciągłości  

Ciągłe przekształcenia   są także otwarte, tzn. rzut dowolnego podzbioru otwartego przestrzeni produktowej na   pozostaje otwarty. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: jeżeli   jest podprzestrzenią przestrzeni produktowej, dla której wszystkie rzuty na   są otwarte, to   nie musi być otwarta w   (np.  ). W ogólności rzuty kanoniczne nie są przekształceniami domkniętymi (kontrprzykładem może być zbiór domknięty   którego rzutami na obie osie są  ).

Topologię produktową nazywa się także topologią zbieżności punktowej, co wynika z następującej obserwacji: ciąg (także uogólniony) w   jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są wszystkie jego rzuty na   W szczególności, jeśli   wszystkich funkcji o wartościach rzeczywistych określonych na   to zbieżność w topologii produktowej pokrywa się ze zbieżnością punktową funkcji.

Produkt domkniętych podzbiorów   jest zbiorem domkniętym w  

Ważnym twierdzeniem o topologii produktowej jest twierdzenie Tichonowa: dowolny produkt przestrzeni zwartych jest zwarty (co stosunkowo łatwo dowieść dla produktów skończonych). Ogólne twierdzenie, w postaci „produkt zbioru niepustych zbiorów jest niepusty”, jest z kolei równoważne aksjomatowi wyboru. Dowód jest dość prosty: wystarczy wybrać element z każdego zbioru, aby wskazać reprezentanta w produkcie. Odwrotnie, reprezentant produktu to zbiór, który zawiera dokładnie jeden element z każdej składowej. W kontekście przestrzeni produktowych aksjomat wyboru napotyka się w ogólniejszej postaci, np. twierdzenie Tichonowa dotyczące zbiorów zwartych jest nieco bardziej złożonym i subtelnym przykładem stwierdzenia równoważnego aksjomatowi wyboru.

Twierdzenie Tichonowa dla przestrzeni Hausdorffa jest równoważne twierdzeniu o ideale pierwszym (BPI: każdy ideał na algebrze Boole’a może być rozszerzony do ideału pierwszego). W obu przypadkach równoważności zachodzą na gruncie ZF.

Związki topologiczne

edytuj
Oddzielanie
Prosta Sorgenfreya   jest przestrzenią normalną, ale jej kwadrat   nie jest normalny. A.H. Stone udowodnił, że iloczyn kartezjański nieprzeliczalnie wielu niezwartych przestrzeni metrycznych nie jest przestrzenią normalną[2].
Przeliczalność
Zwartość
  • Produkt przestrzeni zwartych jest zwarty (twierdzenie Tichonowa).
  • Produkt przestrzeni lokalnie zwartych nie musi być lokalnie zwarty. Jednakże dowolny produkt przestrzeni lokalnie zwartych, wśród których wszystkie poza skończenie wieloma są zwarte, jest lokalnie zwarty (warunek ten jest zarazem wystarczający, jak i niezbędny).
Spójność
  • Produkt przestrzeni spójnych (odp. drogowo spójnych) jest spójny (odp. drogowo spójny).
  • Produkt przestrzeni dziedzicznie niespójnych jest dziedzicznie niespójny.
Ośrodkowość

Uogólnienia

edytuj
Zobacz też: multifunkcjam-produkt.

Pojęcie produktu rodziny zbiorów (i topologii) uogólnia się poprzez zastąpienie funkcji (będących elementami przestrzeni produktowej) tzw. multifunkcjami. Można określić dla nich uogólnienie produktu kartezjańskiego nazywane m-produktem.

Niech   gdzie   będą przestrzeniami topologicznymi. Wówczas w m-produkcie przestrzeni   można wprowadzić topologię zadaną przez podbazę postaci

 

gdzie   oznacza rzut kanoniczny.

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. Topologia iloczynowa zachowuje własność Hausdorffa na PlanetMath (ang.)
  2. A.H. Stone, Paracompactness and product spaces, „Bull. Amer. Math. Soc.”, 54 (1948), s. 977–982.

Bibliografia

edytuj
  • Stephen Willard: General Topology, Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts, 1970.