Liczby niewymierne
Ten artykuł od 2023-01 wymaga zweryfikowania podanych informacji. |
Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste niebędące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste, których nie można przedstawić w postaci ilorazu liczby całkowitej i liczby całkowitej różnej od zera. Liczby niewymierne wypełniają luki w przekrojach Dedekinda zbioru liczb wymiernych dając w efekcie przestrzeń zupełną.
Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe[1].
HistoriaEdytuj
Liczby niewymierne odkryli Pitagorejczycy, w związku z twierdzeniem Pitagorasa. Zauważyli oni mianowicie, że przekątna kwadratu o boku 1 jest niewspółmierna z bokiem, co właśnie oznacza niewymierność liczby [potrzebny przypis].
PrzykładyEdytuj
- Pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest kwadratem liczby całkowitej. Zatem na przykład oraz są liczbami niewymiernymi (zobacz dowód niewymierności pierwiastka z 2).
- Każda liczba przestępna jest niewymierna. Taką liczbą jest np. liczba π, innym przykładem jest 0,123456789101112131415... (zapisy dziesiętne kolejnych liczb naturalnych).
Ułamki łańcuchoweEdytuj
Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne.
Zbiór liczb niewymiernychEdytuj
Jako podprzestrzeń linii prostej zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire’a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji
Zobacz teżEdytuj
PrzypisyEdytuj
- ↑ Liczby niewymierne, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-21] .