Liczby niewymierne

liczba rzeczywista, której nie da się przedstawić jako iloraz dwóch liczb całkowitych

Liczby niewymierneliczby rzeczywiste niebędące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste, których nie można przedstawić w postaci ilorazu liczby całkowitej i liczby całkowitej różnej od zera. Liczby niewymierne wypełniają luki w przekrojach Dedekinda zbioru liczb wymiernych dając w efekcie przestrzeń zupełną.

Międzynarodowym symbolem zbioru jest

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.

HistoriaEdytuj

Liczby niewymierne odkryli Pitagorejczycy, w związku z twierdzeniem Pitagorasa. Zauważyli oni mianowicie, że przekątna kwadratu o boku 1 jest niewspółmierna z bokiem, co właśnie oznacza niewymierność liczby  

PrzykładyEdytuj

  • Pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest kwadratem liczby całkowitej. Zatem na przykład   oraz   są liczbami niewymiernymi (zobacz dowód niewymierności pierwiastka z 2).
  • Każda liczba przestępna jest niewymierna. Taką liczbą jest np. liczba π, innym przykładem jest 0,123456789101112131415... (zapisy dziesiętne kolejnych liczb naturalnych).
  • Łatwo udowodnić niewymierność wielu logarytmów np.    
    Dowód nie wprost dla   Gdyby dla pewnych liczb całkowitych dodatnich   oraz   zachodziła równość   to mielibyśmy   i wobec tego także   – ale ta równość jest fałszywa, gdyż lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta, zatem   nie jest wymierny.

Ułamki łańcuchoweEdytuj

Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne.

Zbiór liczb niewymiernychEdytuj

Jako podprzestrzeń linii prostej   zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire’a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji  

Zobacz teżEdytuj