Liczby niewymierne

Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste niebędące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste, których nie można przedstawić w postaci ilorazu liczby całkowitej i liczby całkowitej różnej od zera. Liczby niewymierne wypełniają luki w przekrojach Dedekinda zbioru liczb wymiernych $\mathbb {Q}$ dając w efekcie przestrzeń zupełną.

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.

Historia

Liczby niewymierne odkryli Pitagorejczycy, w związku z twierdzeniem Pitagorasa. Zauważyli oni mianowicie, że przekątna kwadratu o boku 1 jest niewspółmierna z bokiem, co właśnie oznacza niewymierność liczby ${\sqrt {2}}$.

Przykłady

• Pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest kwadratem liczby całkowitej. Zatem na przykład ${\sqrt {2}}$ oraz ${\sqrt {99992}}$ są liczbami niewymiernymi (zobacz dowód niewymierności pierwiastka z 2).
• Każda liczba przestępna jest niewymierna. Taką liczbą jest np. liczba π, innym przykładem jest 0,123456789101112131415... (zapisy dziesiętne kolejnych liczb naturalnych).
• Łatwo udowodnić niewymierność wielu logarytmów np. $\log _{10}2,$ $\log _{2}3.$

  Dowód nie wprost dla $\log _{2}3.$ Gdyby dla pewnych liczb całkowitych dodatnich $m$ oraz $n$ zachodziła równość $\log _{2}3={\frac {m}{n}},$ to mielibyśmy $2^{\frac {m}{n}}=3,$ i wobec tego także $2^{m}=3^{n}$ – ale ta równość jest fałszywa, gdyż lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta, zatem $\log _{2}3$ nie jest wymierny.

Ułamki łańcuchowe

Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne.

Zbiór liczb niewymiernych

Jako podprzestrzeń linii prostej $\mathbb {R} ,$ zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire’a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} .$

Zobacz też

• liczby algebraiczne
• liczby wymierne
• niewspółmierność interteoretyczna