Otwórz menu główne

Liczby niewymierne

liczba rzeczywista, której nie da się przedstawić jako iloraz dwóch liczb całkowitych

Liczby niewymierneliczby rzeczywiste niebędące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste, których nie można przedstawić w postaci ilorazu liczby całkowitej i liczby całkowitej różnej od zera. Liczby niewymierne wypełniają luki w przekrojach Dedekinda zbioru liczb wymiernych dając w efekcie przestrzeń zupełną.

Międzynarodowym symbolem zbioru jest

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.

HistoriaEdytuj

Liczby niewymierne odkryli Pitagorejczycy, w związku z twierdzeniem Pitagorasa. Zauważyli oni mianowicie, że przekątna kwadratu o boku 1 jest niewspółmierna z bokiem, co właśnie oznacza niewymierność liczby  

PrzykładyEdytuj

  • Pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest kwadratem liczby całkowitej. Zatem na przykład   oraz   są liczbami niewymiernymi (zobacz dowód niewymierności pierwiastka z 2).
  • Każda liczba przestępna jest niewymierna. Taką liczbą jest np. liczba π, innym przykładem jest 0,123456789101112131415... (zapisy dziesiętne kolejnych liczb naturalnych).
  • Łatwo udowodnić niewymierność wielu logarytmów np.    
    Dowód nie wprost dla   Gdyby dla pewnych liczb całkowitych dodatnich   oraz   zachodziła równość   to mielibyśmy   i wobec tego także   – ale ta równość jest fałszywa, gdyż lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta, zatem   nie jest wymierny.

Ułamki łańcuchoweEdytuj

Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne.

Zbiór liczb niewymiernychEdytuj

Jako podprzestrzeń linii prostej   zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire’a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji  

Zobacz teżEdytuj