Otwórz menu główne

Twierdzenie Gelfonda-Schneidera – twierdzenie, które pozwala stwierdzić, że liczby pewnej postaci (opisanej w twierdzeniu) są liczbami przestępnymi. Udowodnione po raz pierwszy w roku 1934 przez Aleksandra Gelfonda i niezależnie w roku 1935 przez Theodora Schneidera. Jest częściowym rozwiązaniem 7 problemu Hilberta.

TwierdzenieEdytuj

Jeżeli   i  liczbami algebraicznymi,   nie jest liczbą wymierną, to każda wartość   jest liczbą przestępną.
Uwagi
  •   i   nie muszą być liczbami rzeczywistymi – w ogólności mogą być liczbami zespolonymi.
  • W ogólności   gdzie „log” oznacza logarytm zespolony, może przyjmować kilka wartości. To właśnie oznacza zwrot „każda wartość”.
  • Równoważnie można sformułować twierdzenie Gelfonda w sposób następujący:
jeżeli   oraz   są różnymi od zera liczbami algebraicznymi, to   jest albo liczbą wymierną, albo przestępną.
  • Pominięcie wymogu, by   było liczbą algebraiczną sprawia, że twierdzenie przestaje być prawdziwe: jeśli np.   i   (jest to liczba przestępna), to   jest liczbą algebraiczną. Pełny opis wartości tych   i   dla których   jest liczbą przestępną nie jest znany.

ZastosowaniaEdytuj

Bezpośrednio z twierdzenia Gelfonda wynika, że następujące liczby są przestępne:

  • Stała Gelfonda-Schneidera:   oraz liczba  
  • Stała Gelfonda:   jest jedną z wartości  

Zobacz teżEdytuj