Teoria liczb

dziedzina matematyki

Teoria liczb – dziedzina matematyki badająca własności niektórych typów liczb[a]. Początkowo analizowała tylko liczby naturalne i wymierne, później rozszerzając zakres o inne liczby rzeczywiste, zwłaszcza algebraiczne[1]. Przynajmniej częściowo jest zaliczana do matematyki dyskretnej[2].

Czeski znaczek pocztowy upamiętniający wielkie twierdzenie Fermata i jego dowód przez Andrew Wilesa

Jest to jedna z najstarszych dziedzin matematyki obok geometrii; obie dyscypliny od starożytności nie przestają na siebie oddziaływać. Rozwój teorii liczb miał też wpływ na inne gałęzie matematyki jak algebra[1] – w tym ogólna algebra przemienna – oraz geometria algebraiczna, analiza zespolona i probabilistyka[3]. Kierunek zastosowań jest też odwrotny: teoria liczb sama skorzystała z osiągnięć algebry, geometrii algebraicznej i probabilistyki[1]. Niektóre z wykorzystywanych metod są zaawansowane jak np. algebra homologiczna[1] i abstrakcyjna analiza harmoniczna[3]. Teoria liczb obfituje w problemy otwarte postawione elementarnie – tj. zrozumiałe dla laików, nawet dla dzieci – ale czekające na rozwiązanie wyjątkowo długo, czasem stulecia. Niektóre z pytań zadanych w XVIII wieku – jak hipoteza Goldbacha i hipoteza prostopadłościanu idealnego – w lutym 2022 pozostają bez odpowiedzi. Teorią liczb zajmowali się matematycy zaliczani do najwybitniejszych w historii jak Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss i Bernhard Riemann; wkład w tę dziedzinę nagradzano też najwyższymi zaszczytami w matematyce jak Medal Fieldsa, Nagroda Abela czy Medal Copleya przyznawany także innym naukowcom. Istnieją również nagrody poświęcone tej konkretnej dziedzinie – odpowiednie kategorie Nagrody Cole’a i Nagrody Fermata. Teorię liczb nazywano „królową matematyki”[3][4].

W II połowie XX wieku znaleziono zastosowania tej dyscypliny w kryptologii i fizyce matematycznej, zwłaszcza kwantowej teorii pola, teorii strun oraz teorii kwantowego chaosu[5]. Powstało całe czasopismo naukowe poświęcone związkom teorii liczb z fizyką[6]. Ta dziedzina matematyki wywarła też pewien wpływ na popkulturę; amatorskie badania wielkiego twierdzenia Fermata są motywem powieści młodzieżowej Szatan z siódmej klasy Kornela Makuszyńskiego (1937).

Podział teorii liczbEdytuj

Główne działy teorii liczb to[potrzebny przypis]:

Elementarna teoria liczb jest jej najstarszym działem; nie stosuje się w niej metod teorii funkcji analitycznych. Do najważniejszych osiągnięć elementarnej teorii liczb należą dowody Erdősa i Selberga twierdzenia o dystrybucji liczb pierwszych (ich dowody były niezależne, ale oba oparte na lemacie Selberga). Teoria liczb zajmuje się również rozwiązywaniem równań w dziedzinie liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, algebraicznych (całkowitych i wymiernych) oraz (od niedawna) liczb  -adycznych.

Do analitycznej teorii liczb zalicza się[potrzebny przypis]:

  • teorię liczb pierwszych – część multiplikatywnej teorii liczb;
  • twierdzenia jak to Lagrange’a: każda liczba naturalna jest sumą czterech kwadratów liczb całkowitych; wynik ten należy do addytywnej teorii liczb, ale także do teorii elementarnej;
  • teorię liczb niewymiernych, mającą zastosowania w teorii równań diofantycznych, które z kolei są częścią algebraicznej teorii liczb.

HistoriaEdytuj

Starożytność i średniowieczeEdytuj

 
Gliniana tabliczka zapisana pismem klinowym, być może powiązana z trójkami pitagorejskimi

Początki teorii liczb sięgają starożytności; przykładowo starożytni mieszkańcy Mezopotamii oraz Egiptu mogli rozważać problem trójek pitagorejskich[potrzebny przypis]. Największe postępy w tej dziedzinie zrobiła jednak kultura starogrecka. Odnotowano serię postępów na przestrzeni niecałego tysiąclecia, od okresu klasycznego do czasów cesarskiego panowania rzymskiego:

Teorią liczb mógł się zajmować także Archimedes, ale raczej marginesowo; nowe odkrycia historyczne mogą ten pogląd zmienić[potrzebny przypis].

Równolegle rozwijano matematykę w Indiach, w sposób komplementarny do tego greckiego i znaczący dla teorii liczb. Systemy pozycyjne uprościły wiele obliczeń i pozwoliły na sformułowanie cech podzielności liczb całkowitych. Matematycy chińscy rozważali za to układy kongruencji, na temat których udowodnili chińskie twierdzenie o resztach. Uczeni arabscy mieli w tę dziedzinę ograniczony wkład – w matematyce skupili się na trygonometrii i algebrze[7], choć ta druga dziedzina później wpłynęła na rozwój teorii liczb.

W XIII-wiecznych Włoszech kupiec Leonardo Fibonacci podał jedną z metod generowania trójek pitagorejskich, a oprócz tego opisał ciąg Fibonacciego, również istotny z punktu widzenia teorii liczb. Problem nieskończoności liczb pierwszych w tym ciągu w lutym 2022 pozostaje otwarty.

XVII wiekEdytuj

 
Wykres przykładowego równania Pella; zaznaczono również jego podstawowe rozwiązania

XVII wiek to umowny początek nowożytnej teorii liczb i jej statusu samodzielnej nauki[7]. Rozwijał ją wtedy Pierre de Fermat i miał w tej dziedzinie co najmniej pięć znaczących osiągnięć:

W tym samym stuleciu:

XVII wiek to także narodziny nowych dziedzin matematyki, które okazały się istotne dla teorii liczb:

XVIII wiekEdytuj

 
Wykres ilustrujący stałą Eulera-Mascheroniego (γ) – równą polu niebieskiego obszaru

W XVIII wieku Leonhard Euler – jak wspomniano wyżej – obalił hipotezę Fermata o liczbach nazwanych jego nazwiskiem[8]. Oprócz tego Euler:

Postępy poczynili też inni matematycy:

XIX wiekEdytuj

 
Siedmiokąt foremny. Z twierdzenia Gaussa-Wantzela oraz prostych obliczeń wynika, że figury tej nie da się skonstruować klasycznie. To dlatego, że siedem jest liczbą nieparzystą, która nie jest iloczynem żadnych liczb Fermata (3, 5, 17...)

XIX wiek to narodziny nowych gałęzi w teorii liczb:

Rozwinięto też „klasyczne” badania liczb naturalnych:

Ogłoszone na koniec stulecia 23 problemy Hilberta zawierały kilka pytań z teorii liczb jak hipotezy Riemanna i Golbacha.

XX wiekEdytuj

 
Graf skierowany przedstawiający zachowanie funkcji Collatza dla niektórych nieparzystych argumentów

Postęp w teorii liczb naturalnych był wieloraki – rozwiązano niektóre stare problemy oraz postawiono nowe:

Naświetlono również same fundamenty arytmetyki liczb naturalnych. Kurt Gödel w swoim pierwszym twierdzeniu o niezupełności wykazał, że nie może ona być jednocześnie zupełna i niesprzeczna. Wśród nowo poznanych liczb pierwszych znalazły się osobliwości jak liczba Belfegora. Nie dość, że w zapisie dziesiętnym jest palindromem, to jeszcze zawiera w nim liczbę bestii (666), a liczba zer po obu stronach tego symbolu wynosi 13 – także oznakę nieszczęść.

Posunięto też badania nad niewymiernością i przestępnością:

Wiek XX przyniósł też zastosowania dla teorii liczb – w latach 70. rozbudowano kryptografię klucza publicznego, w tym szyfr RSA; opisano także pierwsze związki teorii liczb z fizyką.

Stulecie zwieńczono ogłoszeniem listy siedmiu problemów millenijnych. Co najmniej dwa z nich mają bezpośredni związek z teorią liczb – jak hipoteza Riemanna.

XXI wiekEdytuj

 
Przykładowe cegiełki Eulera; nie wiadomo, czy wśród figur tego typu znajduje się prostopadłościan idealny (stan na luty 2022)

Nowe tysiąclecie przyniosło między innymi:

Ogłoszono też pewne sukcesy, które w lutym 2022 dalej czekają na pełną weryfikację, choć są aktywnie badane przez społeczność akademicką:

W 2018 roku Michael Atiyah ogłosił, że udało mu się udowodnić hipotezę Riemanna i zaprezentował swoją próbę dowodu. Została ona odrzucona przez matematyków jako błędna. Wiele innych problemów teorii liczb – także postawionych elementarnie – w lutym 2022 pozostaje nierozwiązanych. Niektóre z nich to:

Z tym tematem związana jest kategoria: Otwarte problemy teorii liczb.

Teoria liczb w PolsceEdytuj

 
Przykładowa ilustracja spirali Ulama – na niebiesko zaznaczono liczby pierwsze
Z tym tematem związana jest kategoria: Polscy teoretycy liczb.

Wśród matematyków polskich znaczące wyniki w teorii liczb uzyskali między innymi:

Posiadaczem szeregu wyliczeniowych rekordów światowych jest Jarosław Wróblewski[potrzebny przypis]. Teorii liczb jest poświęcone polskie czasopismo „Acta Arithmetica”, założone w latach 30. XX w., później wydawane przez Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk (IM PAN).

Z polską narodowością i nauką polską bywa też wiązany Franz Mertens – pracownik m.in. Uniwersytetu Jagiellońskiego, zajmujący się analityczną teorią liczb. Jego hipoteza Mertensa, implikująca hipotezę Riemanna, okazała się jednak fałszywa – obalono ją w latach 80. XX w.[potrzebny przypis].

LudzieEdytuj

Zasłużeni dla teorii liczb – w kolejnych wierszach:

Euklides z Aleksandrii (IV w. p.n.e.),
Pierre de Fermat (XVII w.),
Bernhard Riemann (XIX w.),

Andrew Wiles (XX–XXI w.)
Z tym tematem związana jest kategoria: Teoretycy liczb.

Do znaczących naukowców w tej dziedzinie należą[1]:

UwagiEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b c d e f g h i j k l m n Liczb teoria, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-02-15].
  2. Eric W. Weisstein, Discrete Mathematics, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-02-15].
  3. a b c Iwaniec 1993 ↓, s. 698.
  4. 22·5·7 urodziny, [w:] pismo „Delta” [online], deltami.edu.pl, marzec 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-03-15] (pol.).
  5.   Piotr Sułkowski, Fizyka i teoria liczb, 3 września 2016 [dostęp 2022-02-15].
  6.   Communications in Number Theory and Physics (ang.), intlpress.com [dostęp 2022-02-15].
  7. a b Iwaniec 1993 ↓, s. 693.
  8. a b c Iwaniec 1993 ↓, s. 694.
  9. Mariusz Skałba, Popularne książki Sierpińskiego, [w:] pismo „Delta” [online], deltami.edu.pl, marzec 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-03-15] (pol.).

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj