Wykres funkcji Mertensa dla argumentów od 1 do 10 000

Funkcja Mertensa – w teorii liczb funkcja zdefiniowana przez:

gdzie jest funkcją Möbiusa[1][2][3].

Dla każdej liczby naturalnej zachodzi zatem [2].

Przypuszczenie MertensaEdytuj

Franciszek Mertens wysunął przypuszczenie, jako że dla każdego  

 [2][3][4].

Fakt ten implikowałaby hipotezę Riemanna[4]. Jest to powiązane z faktem, iż jeśli podzielimy funkcję Mertensa z danej liczby przez pierwiastek kwadratowy, uzyskamy ciąg zbliżony do sekwencji nietrywialnych zer funkcji dzeta Riemanna[2][3]. Okazuje się jednak, że przypuszczenie jest fałszywe; do dziś nie jest znany kontrprzykład, ale wiadomo, że znajduje się między 1014 a 3,21×1064[3]. Równoważne z hipotezą Riemanna jest zachodzenie dla każdego   wzoru

 [2].

Gdyby funkcja Möbiusa została zastała zastąpiona losowym ciągiem   i   to powyższa własność wynikałaby z prawa iterowanego logarytmu.

Ponadto, jeśli powyższy wzór jest prawdziwy, wynik funkcji pi można by przybliżyć wzorem

  gdzie theta oznacza półpłaszczyznę  
gdzie   to argument funkcji dzeta Riemanna[2].

WzoryEdytuj

 
  •   gdzie   oznacza  -ty ciąg Fareya.
  • M(n) to wyznacznik  -tej macierzy Redheffera, w której   gdy   lub   dzieli   a pozostałe wyrazy są zerowe.

Obliczanie wartości funkcji[3]Edytuj

Osoba Rok Granica obliczeń
Mertens 1897 104
von Sterneck 1897 1,5×105
von Sterneck 1901 5×105
von Sterneck 1912 5×106
Neubauer 1963 108
Cohen, Dress 1979 7,8×109
Dress 1993 1012
Lioen, van de Lune 1994 1013
Kotnik, van de Lune 2003 1014
Hurst 2016 1016

PrzypisyEdytuj

  1. Eric W. Weisstein, „Mertens Function” na MathWorld.
  2. a b c d e f Tadej Kotnik, Jan van de Lune, On the Order of the Mertens Function, „Experimental Mathematics”, 13 (4), 2004, s. 473–481, ISSN 1058-6458 [dostęp 2017-11-10].
  3. a b c d e Greg Hurst, Computations of the Mertens Function and Improved Bounds on the Mertens Conjecture, „arXiv:1610.08551 [math]”, 26 października 2016, arXiv:1610.08551 [dostęp 2017-11-10].
  4. a b Eric W. Weisstein, „Mertens Conjecture” na MathWorld.

BibliografiaEdytuj

  • Pintz J., An Effective Disproof of the Mertens Conjecture, „Astérique” 1987, s. 147–148, 325–333, 346. (fr)