Otwórz menu główne

Grupa przemienna, grupa abelowagrupa, w której działanie jest przemienne. Zwyczajowo w przypadku grup przemiennych stosuje się zapis addytywny.

Nazwa abelowa pochodzi od nazwiska Nielsa Abela, norweskiego matematyka, w którego pracach implicite pojawia się to pojęcie. Grupę, która nie jest przemienna, nazywamy nieprzemienną lub nieabelową.

DefinicjaEdytuj

Grupę   nazywamy przemienną (abelową), gdy dla każdych   zachodzi:

Przemienność
 
Łączność
 
Istnienie elementu neutralnego
 
Istnienie elementu przeciwnego
  gdzie   jest elementem neutralnym

PrzykładyEdytuj

  • Każda grupa cykliczna jest abelowa, ponieważ dla   zachodzi   Dlatego przemienne są liczby całkowite   z dodawaniem, podobnie jak liczby całkowite modulo n   (tzw. addytywna grupa klas reszt).
  • Każdy pierścień jest ex definitione grupą abelową ze względu na działanie dodawania. W pierścieniu przemiennym elementy odwracalnemultiplikatywną grupą abelową. W szczególności grupa addytywna liczb rzeczywistych (tzn. z dodawaniem) jest grupą abelową, podobnie multiplikatywna (tzn. niezerowe z mnożeniem) jest abelowa.
  • Grupa symetryczna   dla   jest przemienna, co nie zachodzi już dla  
  • Grupa addytywna macierzy ustalonego wymiaru nad danym ciałem jest przemienna; jednakże macierze, nawet odwracalne, z mnożeniem nie są grupą abelową, ponieważ mnożenie macierzy nie jest w ogólności przemienne.
  • Grupa czwórkowa Kleina będąca najmniejszą niecykliczną grupą abelową.

WłasnościEdytuj

  • Jeżeli   jest przemienna, to dla każdego   oraz   zachodzi
     
  • Każda podgrupa grupy abelowej jest normalna, dlatego z każdej z nich można utworzyć grupę ilorazową. Podgrupy, ilorazy i iloczyny proste grup przemiennych są przemienne.
  • Jeżeli   jest liczbą naturalną, a   elementem grupy abelowej   w zapisie addytywnym, to   można zdefiniować jako   (n czynników) oraz   W ten sposób   staje się modułem nad pierścieniem liczb całkowitych   W rzeczywistości, moduły nad   mogą być utożsamiane z grupami abelowymi.
  • Twierdzenia o grupach abelowych (które są modułami nad dziedziną ideałów głównych  ) mogą być częstokroć uogólnione do twierdzeń o modułach nad dowolnymi dziedzinami ideałów głównych. Typowym przykładem jest klasyfikacja skończenie generowanych grup abelowych.
  • Jeżeli  homomorfizmami między grupami abelowymi, to ich suma   określona „punktowo” wzorem   również jest homomorfizmem. (Nie jest to prawdą, jeśli   nie jest abelowa). Zbiór   wszystkich homomorfizmów grupowych z   w   sam staje się grupą przemienną.
  • Podobnie do wymiaru przestrzeni liniowych, każda grupa przemienna ma rangę. Jest ona zdefiniowana jako liczba kardynalna największego zbioru liniowo niezależnych elementów grupy. Liczby całkowite i liczby wymierne, jak również każda podgrupa liczb wymiernych mają rangę równą jeden.
  • Jeżeli dla każdego   zachodzi   (rząd każdego elementu jest co najwyżej 2), to   jest przemienna. Jeżeli dla każdego   zachodzi   i   to   nie musi być abelowa (przykład to grupa macierzy kwadratowych   trójkątnych górnych, które na głównej przekątnej mają same jedynki, a nad główną przekątną mają elementy z ciała   gdzie   jest liczbą pierwszą dzielącą n).

Skończone grupy przemienneEdytuj

Twierdzenie o klasyfikacji skończonych grup przemiennych mówi, że każda skończona grupa przemienna może być wyrażona jako suma prosta podgrup cyklicznych rzędu będącego potęgą liczby pierwszej. Jest to przypadek szczególny twierdzenia o klasyfikacji skończenie generowanych grup przemiennych w przypadku, gdy rozważana grupa ma beztorsyjną rangę równą zeru.

Grupa   jest izomorficzna z iloczynem prostym   przez   wtedy i tylko wtedy, gdy   i  względnie pierwsze.

Dlatego można zapisać dowolną skończoną grupę abelową   jako iloczyn prosty postaci

 

na dwa różne sposoby:

  • gdzie liczby   są potęgami liczb pierwszych
  • gdzie   dzieli   które dzieli   i tak dalej, aż do  

Na przykład   może być wyrażona jako suma prosta dwóch podgrup cyklicznych rzędów odpowiednio 3 i 5:   To samo można powiedzieć o dowolnej grupie przemiennej rzędu 15, co prowadzi do ciekawego wniosku, iż wszystkie grupy przemienne rzędu 15 są izomorficzne.

Innym przykładem jest fakt, że każda grupa abelowa rzędu 8 jest izomorficzna z   (liczby całkowite od 0 do 7 z dodawaniem modulo 8),   (nieparzyste liczby całkowite od 1 do 15 z mnożeniem modulo 16) bądź  

Zobacz też listę małych grup zawierającą skończone grupy przemienne rzędu 16 lub mniejszego.

Automorfizmy skończonych grup przemiennychEdytuj

Twierdzenie klasyfikacji można zastosować do zliczania (czasami również wyznaczenia) automorfizmów danej skończonej grupy przemiennej   Aby tego dokonać, należy skorzystać z faktu (który nie zostanie tu udowodniony), że jeżeli   rozkłada się na sumę prostą   podgrup o względnie pierwszych rzędach, to  

Wtedy twierdzenie o klasyfikacji mówi, że aby wyznaczyć grupę automorfizmów grupy   wystarczy wyznaczyć grupy automorfizmów p-podgrup Sylowa (tj. wszystkich sum prostych podgrup cyklicznych, z których rząd każdej jest potęgą  ). Dalej   jest ustalone i założono, że wykładniki   czynników cyklicznych p-podgrup Sylowa są ułożone w porządku rosnącym:

 

dla pewnego   Szukane są automorfizmy grupy

 

Przypadek szczególny, dla   czyli taki w którym istnieje tylko jeden cykliczny czynnik mający potęgę będącą liczbą pierwszą w p-podgrupie Sylowa   Wtedy można skorzystać z teorii automorfizmów skończonych grup cyklicznych. Kolejny przypadek szczególny obejmuje dowolne   ale   dla   Tutaj   jest postaci

 

tak więc elementy tej podgrupy można postrzegać jako składające się na n-wymiarową przestrzeń liniową nad skończonym ciałem o   elementach   Automorfizmami tej grupy są więc odwracalne przekształcenia liniowe, dlatego

 

o których łatwo pokazuje się, że mają rząd

 

W najogólniejszym przypadku, gdzie tak   jak i   są dowolne, wyznaczenie grupy automorfizmów jest trudniejsze. Wiadomo jednak, że zdefiniowanie

 

oraz

 

daje w szczególności     oraz

 

Można sprawdzić, że wzór ten uogólnia rzędy z poprzednich przykładów (zob. [Hillar, Rhea]).

Związki z innymi działami matematykiEdytuj

Zbiór wszystkich grup abelowych wraz z homomorfizmem między nimi stanowi kategorię   prototyp kategorii abelowej.

Prawie wszystkie dobrze znane struktury algebraiczne różne od algebr Boole’a, są nierozstrzygalne. Dlatego zaskakującym jest, że studentka Alfreda Tarskiego, Wanda Szmielew, udowodniła (1955), że teoria pierwszego rzędu grup abelowych, w przeciwieństwie do nieabelowych, jest rozstrzygalna. Rozstrzygalność ta, wraz z podstawowym twierdzeniem skończonych grup przemiennych opisanych wyżej podkreślają pewne sukcesy teorii grup abelowych, jednakże nadal istnieje wiele obszarów w których prowadzi się badania:

  • wśród beztorsyjnych grupa abelowych skończonego rzędu, dobrze zrozumiane są tylko przypadki grup skończenie generowanych oraz rangi 1;
  • istnieje wiele nierozwiązalnych problemów w teorii beztorsyjnych grup abelowych nieskończonej rangi;
  • choć przeliczalne torsyjne grupy abelowe są dobrze rozumiane dzięki prostym przedstawieniom i niezmiennikom Ulma, to badania nad przeliczalnymi grupami mieszanymi są o wiele mniej zaawansowane;
  • o wielu łagodnych rozszerzeniach teorii pierwszego rzędu grup abelowych wiadomo jest, iż są nierozstrzygalne
  • Skończone grupy przemienne są przedmiotem badań obliczeniowej teorii grup.

Co więcej, grupy abelowe nieskończonego rzędu prowadzą, całkiem zaskakująco, do poważnych pytań dotyczących teorii mnogości, o której powszechnie uważa się, że jest podstawą całej matematyki. Przykładem może być problem Whiteheada: czy wszystkie grupy Whiteheada nieskończonego rzędu są także grupami abelowymi wolnymi? W latach siedemdziesiątych ubiegłego wieku Saharon Szelach udowodnił, że problem Whiteheada jest:

  • nierozstrzygalny w ZFC, tradycyjnej aksjomatycznej teorii zbiorów, z której wyprowadzona może być prawie cała współczesna matematyka
  • nierozstrzygalny również, jeżeli ZFC rozszerzy się przez przyjęcie uogólnionej hipotezy continuum jako aksjomat
  • rozstrzygalny, jeśli ZFC rozszerzy się o aksjomat konstruowalności.

Unormowane grupy abeloweEdytuj

Pojęcie normy określanych na przestrzeniach liniowych można przenieść na grunt teorii grup abelowych. Odmienność struktury przestrzeni liniowej oraz grupy abelowej wymaga modyfikacji drugiego aksjomatu normy, jednak obydwa odwzorowania – normy przestrzeni liniowej i normy grupy abelowej – mają wiele korespondujących ze sobą własności i dlatego są ciekawe z punktu widzenia matematyki.

Niech   będzie grupą abelową. Odwzorowanie   które dla dowolnych   spełnia warunki:

  •  
  •  
  •  

nazywa się normą grupy abelowej   Parę   nazywa się unormowaną grupą abelową.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Fuchs, László (1970) Infinite abelian groups, Vol. I. Pure and Applied Mathematics, Vol. 36. New York-London: Academic Press, s. xi+290.
  • Fuchs, László (1973) Infinite abelian groups, Vol. II. Pure and Applied Mathematics. Vol. 36-II. New York-London: Academic Press, s. ix+363.
  • Hillar, Christopher oraz Rhea, Darren, Automorphisms of Finite Abelian Groups (Automorfizmy skończonych grup abelowych).
  • Szmielew, Wanda, Elementary properties of abelian groups (Podstawowe własności grup abelowych), „Fundamenta Mathematica” 41/1955, s. 203–271.