Otwórz menu główne

Aksjomaty Zermela-Fraenkla

układ aksjomatów teorii mnogości

Spis treści

Aksjomaty Zermela[a]-Fraenkla[b], aksjomatyka Zermela-Fraenkla – powszechnie przyjmowany układ aksjomatów teorii mnogości zaproponowany przez Ernsta Zermela w 1904 roku i później uzupełniony przez Abrahama Fraenkla. Tym, co w istocie Fraenkel dodał do teorii Zermela, były funkcje[c].

Dla aksjomatyki Zermela-Fraenkla stosuje się często wygodną symbolikę ZF. Ze względu na specyfikę jednego z jej aksjomatów zwanego aksjomatem wyboru, stosuje się także obok ZF oznaczenie ZFC dla zaznaczenia, że dowód jakiegoś twierdzenie wymaga lub nie wymaga zastosowania aksjomatu wyboru.

HistoriaEdytuj

W przeszłości zbiory pojmowano intuicyjnie. Uważano na przykład, że każda właściwość pociąga za sobą istnienie odpowiadającego jej zbioru elementów, którym ta właściwość przysługuje. Takie pojmowanie teorii mnogości prowadziło jednak do sprzeczności, wśród których wymienić można antynomię Russela (mianowicie przyjmując za cechę niebycie własnym elementem   otrzymuje się zbiór, który należy do siebie samego wtedy i tylko wtedy, kiedy do siebie nie należy[1]. W toku dyskusji nad rozwijaną teorią matematycy przekonali się, że ich intuicje dotyczące pojęcia zbioru różnią się między sobą. Stało się jasne, że teoria mnogości wymaga oparcia na jakimś systemie aksjomatycznym[2].

Pierwszą próbę skonstruowania takiego systemu podjął Zermelo w 1904. Wprowadził jako pojęcia pierwotne swej teorii zbiór oraz relację bycia elementem  . Pomysł Zermelo obejmował aksjomaty jednoznaczności, zbioru pustego, sumy zbiorów, zbioru potęgowego, nieskończoności oraz aksjomat o pozdbiorach dla danej formuły. Sformułowanie tego ostatniego zostało w pracy Zermela uznane za niejasne[3].

W 1908 roku Ernst Zermelo zaproponował pierwszy zestaw aksjomatów teorii mnogości: teorię mnogości Zermela. Ta aksjomatyczna teoria nie umożliwiała konstrukcji liczb porządkowych. Choć większość „zwykłej matematyki” można wyprowadzić bez ich używania, jednak liczby porządkowe są nieodzowne w większości badań teoriomnogościowych[c]. Ponadto jeden z aksjomatów Zermela odwoływał się do bliżej niewyjaśnionego pojęcia „określonej” właściwości. W 1922 roku Abraham Fraenkel i Thoralf Skolem zaproponowali, niezależnie, uściślenie pojęcia „określoności” właściwości jako takich, które mogą zostać sformułowane w rachunku predykatów z równością, w którym jedynym symbolem spoza logiki jest binarny predykat „należenia do”, oznaczany symbolem ∈. Również niezależnie od siebie, zaproponowali oni zastąpienie aksjomatu podzbiorów przez aksjomat zastępowania. Stosując wspomniany schemat oraz dodając do teorii mnogości Zermela aksjomat regularności, zaproponowany przez Zermela w 1930 roku, otrzymuje się teorię ZF.

Aksjomaty Zermela-FraenklaEdytuj

Aksjomat ekstensjonalnościEdytuj

Główny artykuł: Aksjomat ekstensjonalności.
Jeżeli zbiory   i   mają te same elementy, to są identyczne:
 

Aksjomat zbioru pustegoEdytuj

Główny artykuł: Aksjomat zbioru pustego.
Istnieje zbiór, który nie ma żadnego elementu:
 
Na mocy aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden zbiór posiadający taką właściwość: zbiór pusty, oznaczany symbolem  

Aksjomat podzbiorówEdytuj

Główny artykuł: Aksjomat podzbiorów.
Inne nazwy: aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania.
Dla każdego zbioru   istnieje zbiór   złożony z tych i tylko tych elementów   zbioru   które mają własność  :
 
Aksjomat podzbiorów daje się wyprowadzić z aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu zastępowania.

Aksjomat paryEdytuj

Główny artykuł: Aksjomat pary.
Dla dowolnych zbiorów   i   istnieje zbiór   którego elementami są dokładnie zbiory   oraz  :
 

Aksjomat sumyEdytuj

Główny artykuł: Aksjomat sumy.
Dla dowolnej rodziny zbiorów   istnieje zbiór   do którego należą dokładnie te elementy   które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny  :
 

Aksjomat zbioru potęgowegoEdytuj

Główny artykuł: Aksjomat zbioru potęgowego.
Dla każdego zbioru   istnieje zbiór   którego elementami są dokładnie podzbiory zbioru  :
 

Aksjomat nieskończonościEdytuj

Główny artykuł: Aksjomat nieskończoności.
Istnieje zbiór induktywny:
 
 
Istnieje wiele takich zbiorów.
Część wspólna wszystkich takich zbiorów jest najmniejszym zbiorem o tych właściwościach i określa zbiór liczb naturalnych.

Aksjomat zastępowaniaEdytuj

Główny artykuł: Aksjomat zastępowania.
Aksjomat podzbiorów jest jego słabszą wersją.
Jeżeli dla każdego   istnieje dokładnie jeden   dla którego zachodzi   to dla dowolnego zbioru   istnieje taki zbiór   że:
 
 
 
przy czym:  

Aksjomat regularnościEdytuj

Główny artykuł: Aksjomat regularności.
Inna nazwa: aksjomat ufundowania.
Każdy niepusty zbiór   ma element rozłączny z  :
 
Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów. Rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory noszą nazwę hiperzbiorów.

Aksjomat wyboruEdytuj

Główny artykuł: Aksjomat wyboru.
Dla dowolnej rodziny   zbiorów niepustych parami rozłącznych istnieje selektor   (zbiór, do którego należy dokładnie jeden element z każdego zbioru należącego do rodziny).
 
 
 
przy czym:  
Za pomocą pozostałych aksjomatów można udowodnić równoważność tego aksjomatu z lematem Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzeniem, że w każdym zbiorze istnieje relacja dobrego porządku, a także z aksjomatem multiplikacji głoszącym, że dla dowolnej indeksowanej rodziny niepustych zbiorów   istnieje funkcja wyboru
  taka, że:
  dla wszystkich  

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. W literaturze przedmiotu dominuje dopełniacz nazwiska w postaci nieodmienionej, czyli „aksjomaty Zermelo”, co jest niezgodne z polskimi zasadami deklinacji; sporadycznie pojawia się, również niepoprawna, forma „Zermeli”.
  2. Znacznie rzadziej występuje oboczność „Fraenkela”.
  3. a b Umożliwiają one m.in. konstrukcję   Przykładowo   może być równe m.in.   czy  … (jedynym ograniczeniem na   jest   zob. współkońcowość). Pierwszym zbiorem, którym nie może być   jest  

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj

Artykuły na Stanford Encyclopedia of Philosophy (ang.) [dostęp 2018-01-29]: