Otwórz menu główne

Aksjomat pary (nieuporządkowanej) – jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla. Stwierdza on istnienie dla dowolnych dwóch elementów zbioru złożonego wyłącznie z tych dwóch elementów.

Spis treści

Postać formalnaEdytuj

Dla dowolnych zbiorów   i   istnieje zbiór   którego jedynymi elementami są   i   Formalnie:

 [1]

Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności, łatwo można pokazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru dla dowolnych danych   i   Zbiór ten nazywamy parą nieuporządkowaną   i   i oznaczamy  

Uwaga

Jeśli ograniczyć zakres rozważanych zbiorów do podzbiorów pewnego ustalonego z góry zbioru   i wybrać dwa takie podzbiory, tzn. niech
 
to wówczas do utworzenia pary z tych zbiorów nie jest potrzebny aksjomat pary. Możemy to zrobić, korzystając jedynie z aksjomatu wyróżniania. Mianowicie rozważmy predykat:
 
wtedy istnieje zbiór:
 

Dalsze konstrukcjeEdytuj

Mając już daną parę zbiorów, możemy teraz zdefiniować zbiór złożony tylko z jednego elementu   czyli zbiór jednoelementowy:

 [2]

Zbiór   należy oczywiście odróżniać od zbioru  

Mając dane zbiory       możemy zatem skonstruować zbiory     i dalej wobec aksjomatu pary   Korzystając z aksjomatu sumy, otrzymamy stąd zbiór   zwany trójką nieuporządkowaną. Postępując dalej analogicznie, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech itd. elementów[3].

Przy pomocy tej konstrukcji możemy skonstruować dowolne zbiory skończone. Istnienie zbioru nieskończonego wynika z aksjomatu nieskończoności i jest niezależne od aksjomatu pary[potrzebny przypis].

Para uporządkowanaEdytuj

Osobny artykuł: Para uporządkowana.

Możemy także zdefiniować parę uporządkowaną zbiorów   i  

 [4]

Aksjomat pary zapewnia istnienie, a aksjomat ekstensjonalności jednoznaczność tej definicji.

PrzypisyEdytuj

  1. Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 19.
  2. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 63.
  3. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 64.
  4. Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 10.

BibliografiaEdytuj

  • Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
  • Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.