Aksjomat pary

Aksjomat pary (nieuporządkowanej) – jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla. Stwierdza on istnienie dla dowolnych dwóch elementów zbioru złożonego wyłącznie z tych dwóch elementów.

Postać formalna

Dla dowolnych zbiorów $A$ i $B$ istnieje zbiór $C,$ którego jedynymi elementami są $A$ i $B.$ Formalnie:

$\forall A\ \forall B\ \exists C\ \forall D\ (D\in C\iff D=A\lor D=B)$

Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności, łatwo można pokazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru dla dowolnych danych $A$ i $B.$ Zbiór ten nazywamy parą nieuporządkowaną $A$ i $B$ i oznaczamy $\{A,B\}.$

Uwaga

Jeśli ograniczyć zakres rozważanych zbiorów do podzbiorów pewnego ustalonego z góry zbioru $X$ i wybrać dwa takie podzbiory, tzn. niech

$A,B\in X$

to wówczas do utworzenia pary z tych zbiorów nie jest potrzebny aksjomat pary. Możemy to zrobić, korzystając jedynie z aksjomatu wyróżniania. Mianowicie rozważmy predykat:

$\varphi (D):D=A\lor D=B$

wtedy istnieje zbiór:

$\{A,B\}=\{D\in X:\varphi (D)\}$

Dalsze konstrukcje

Mając już daną parę zbiorów, możemy teraz zdefiniować zbiór złożony tylko z jednego elementu $A,$ czyli zbiór jednoelementowy:

$\{A\}=\{A,A\}$

Zbiór $\{A\}$ należy oczywiście odróżniać od zbioru $A.$

Mając dane zbiory $A,$ $B,$ $C,$ możemy zatem skonstruować zbiory $\{A,B\},$ $\{C\}$ i dalej wobec aksjomatu pary $\{\{A,B\},\{C\}\}.$ Korzystając z aksjomatu sumy, otrzymamy stąd zbiór $\{A,B,C\}$ zwany trójką nieuporządkowaną. Postępując dalej analogicznie, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech itd. elementów.

Przy pomocy tej konstrukcji możemy skonstruować dowolne zbiory skończone. Istnienie zbioru nieskończonego wynika z aksjomatu nieskończoności i jest niezależne od aksjomatu pary.

Para uporządkowana

Możemy także zdefiniować parę uporządkowaną zbiorów $A$ i $B{:}$

$\langle A,B\rangle =\{\{A\},\{A,B\}\}$

Aksjomat pary zapewnia istnienie, a aksjomat ekstensjonalności jednoznaczność tej definicji.

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
• Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.