Aksjomat pary

Aksjomat pary (nieuporządkowanej) – jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla. Stwierdza on istnienie, dla dowolnych dwóch elementów, zbioru złożonego wyłącznie z tych dwóch elementów. Został wprowadzony przez Zermela jako część aksjomatu gwarantującego istnienie trzech zbiorów elementarnych: jedynego zbioru pustego, singletonu oraz pary nieuporządkowanej.

Postać formalna

Dla dowolnych zbiorów $A$ i $B$ istnieje zbiór $C,$ którego jedynymi elementami są $A$ i $B.$ Formalnie:

$\forall A\ \forall B\ \exists C\ \forall D\ (D\in C\iff D=A\lor D=B).$

Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności, łatwo można pokazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru dla dowolnych danych $A$ i $B.$ Zbiór ten nazywamy parą nieuporządkowaną $A$ i $B$ i oznaczamy $\{A,B\}.$ Warto zaznaczyć, że jeśli $A=B$, to w rzeczywistości powstały zbiór jest jednoelementowy.

Związek z innymi aksjomatami ZF

W teorii Zermela

Zakładając aksjomaty teorii Z, niektóre pary (nieuporządkowane) zbiorów możemy utworzyć bez powołania się na aksjomat pary. Jeśli ograniczymy zakres rozważanych zbiorów do elementów pewnego ustalonego z góry zbioru $X$ i wybierzemy dwa z nich, to potrafimy stworzyć zbiór zawierający tylko te 2 wybrane elementy. Formalniej, niech $A$, $B$, $X$ będą takie, że

$A,B\in X$

Wówczas do utworzenia pary z tych zbiorów nie jest potrzebny aksjomat pary. Możemy to zrobić, korzystając jedynie z aksjomatu wycinania. Mianowicie rozważmy predykat:

$\varphi (D)\equiv (D=A\lor D=B)$

wtedy na mocy aksjomatu wycinania istnieje zbiór $Y=\{D\in X:\varphi (D)\}$, który, jak łatwo sprawdzić, spełnia warunek

$(D\in Y)\iff (D=A\vee D=B)$

a zatem $Y=\{A,B\}$.

W teorii Zermela-Fraenkla

Zakładając aksjomaty teorii ZF, aksjomat pary staje twierdzeniem wynikającym z aksjomatu zastępowania, który jest silniejszą wersją aksjomatu wycinania, oraz aksjomatu zbioru potęgowego, aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu ekstensjonalności.

Rozważmy dowolne zbiory $A$, $B$ oraz formułę $\varphi$, w której $z$ jest zmienną związaną, daną przez

$\varphi (u,v)\equiv ((u=\emptyset \wedge v=A)\vee (u=P(\emptyset )\wedge v=B)$

gdzie $P(\emptyset )$ oznacza zbiór potęgowy zbioru pustego. Sprawdzamy, że formuła $\varphi$ spełnia warunek

$\varphi (u,v)\wedge \varphi (u,w)\implies v=w$

co wynika z faktu, że $\emptyset \neq P(\emptyset )$. Spełnione jest zatem założenie aksjomatu zastępowania, a więc

$\forall a\ \exists z\ \forall v\ (v\in z\iff [(\exists u\in a):\varphi (u,v)]$

W powyższym, ustalamy $a=P(P(\emptyset ))$ i uzyskujemy

$\exists z\ \forall v\ [v\in z\iff (\ (\ \exists u\in P(P(\emptyset ))\ ):\varphi (u,v)\ )]$

Zauważmy, że $u\in P(P(\emptyset ))$ oznacza $u=\emptyset \ \vee \ u=P(\emptyset )$. Zatem formuła z prawej strony spełniona jest tylko, gdy $u=\emptyset \ \wedge \ v=A$ albo $u=P(\emptyset )\ \wedge \ v=B$. Stąd, uzyskujemy żądany zbiór $z$ taki, że

$v\in z\iff (v=A\vee v=B)$

czyli innymi słowy $z=\{A,B\}$.

W powyższym dowodzie, aksjomat zbioru pustego i aksjomat zbioru potęgowego są nam potrzebne do skonstruowania dwóch różnych zbiorów, tj. $\emptyset$ oraz $P(\emptyset )$, a także zbioru, który zawiera tylko te dwa zbiory, czyli $P(P(\emptyset ))$. Możliwa jest również konstrukcja korzystająca z aksjomatu nieskończoności. Wtedy, ze zbioru induktywnego możemy wyciąć podzbiory $\{\emptyset \}$ i $\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$, które odpowiadają kolejno $P(\emptyset )$ i $P(P(\emptyset ))$.

Dalsze konstrukcje

Singleton

Mając już daną parę zbiorów, możemy teraz zdefiniować zbiór złożony tylko z jednego elementu $A,$ czyli zbiór jednoelementowy:

$\{A\}=\{A,A\}$

Zbiór $\{A\}$ należy oczywiście odróżniać od zbioru $A$.

Nieuporządkowana n-ka

Mając dane zbiory $A,$ $B,$ $C,$ możemy zatem skonstruować zbiory $\{A,B\},$ $\{C\}$ i dalej wobec aksjomatu pary $\{\{A,B\},\{C\}\}.$ Korzystając z aksjomatu sumy, otrzymamy stąd zbiór $\{A,B,C\}$ zwany trójką nieuporządkowaną. Postępując dalej analogicznie, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech itd. elementów.

Przy pomocy tej konstrukcji możemy skonstruować dowolne zbiory skończone. Istnienie zbioru nieskończonego wynika z aksjomatu nieskończoności i jest niezależne od aksjomatu pary.

Para uporządkowana

Dzięki aksjomatowi pary, możemy także zdefiniować parę uporządkowaną zbiorów $A$ i $B{:}$

$(A,B)=\{\{A\},\{A,B\}\}$

którą charakteryzuje istniejący na niej porządek elementów, tj. dwie pary uporządkowane $(A,B)$ i $(C,D)$ są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy $A=C$ i $B=D$.

Aksjomat pary zapewnia istnienie, a aksjomat ekstensjonalności jednoznaczność tej definicji. Jest to standardowa definicja pary uporządkowanej zaproponowana przez Kuratowskiego, chodź istnieją też inne definicje (patrz: Definicje pary uporządkowanej).

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
• Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Axiom of the Unordered Pair, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].