Aksjomat pary

założenie teorii mnogości

Aksjomat pary (nieuporządkowanej) – jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla. Stwierdza on istnienie dla dowolnych dwóch elementów zbioru złożonego wyłącznie z tych dwóch elementów.

Postać formalna

edytuj

Dla dowolnych zbiorów   i   istnieje zbiór   którego jedynymi elementami są   i   Formalnie[1]:

 

Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności, łatwo można pokazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru dla dowolnych danych   i   Zbiór ten nazywamy parą nieuporządkowaną   i   i oznaczamy  

Uwaga

Jeśli ograniczyć zakres rozważanych zbiorów do podzbiorów pewnego ustalonego z góry zbioru   i wybrać dwa takie podzbiory, tzn. niech
 
to wówczas do utworzenia pary z tych zbiorów nie jest potrzebny aksjomat pary. Możemy to zrobić, korzystając jedynie z aksjomatu wyróżniania. Mianowicie rozważmy predykat:
 
wtedy istnieje zbiór:
 

Dalsze konstrukcje

edytuj

Mając już daną parę zbiorów, możemy teraz zdefiniować zbiór złożony tylko z jednego elementu   czyli zbiór jednoelementowy:

 [2]

Zbiór   należy oczywiście odróżniać od zbioru  

Mając dane zbiory       możemy zatem skonstruować zbiory     i dalej wobec aksjomatu pary   Korzystając z aksjomatu sumy, otrzymamy stąd zbiór   zwany trójką nieuporządkowaną. Postępując dalej analogicznie, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech itd. elementów[3].

Przy pomocy tej konstrukcji możemy skonstruować dowolne zbiory skończone. Istnienie zbioru nieskończonego wynika z aksjomatu nieskończoności i jest niezależne od aksjomatu pary[potrzebny przypis].

Para uporządkowana

edytuj
Osobny artykuł: Para uporządkowana.

Możemy także zdefiniować parę uporządkowaną zbiorów   i  

 [4]

Aksjomat pary zapewnia istnienie, a aksjomat ekstensjonalności jednoznaczność tej definicji.

Przypisy

edytuj

Bibliografia

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj