Aksjomat pary

założenie w teorii mnogości; jeden z aksjomatów ZF

Aksjomat pary (nieuporządkowanej) – jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla. Stwierdza on istnienie, dla dowolnych dwóch elementów, zbioru złożonego wyłącznie z tych dwóch elementów. Został wprowadzony przez Zermela[1] jako część aksjomatu gwarantującego istnienie trzech zbiorów elementarnych: jedynego zbioru pustego, singletonu oraz pary nieuporządkowanej.

Postać formalna

edytuj

Dla dowolnych zbiorów   i   istnieje zbiór   którego jedynymi elementami są   i   Formalnie[2]:

 

Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności, łatwo można pokazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru dla dowolnych danych   i   Zbiór ten nazywamy parą nieuporządkowaną   i   i oznaczamy   Warto zaznaczyć, że jeśli  , to w rzeczywistości powstały zbiór jest jednoelementowy.

Związek z innymi aksjomatami ZF

edytuj

W teorii Zermela

Zakładając aksjomaty teorii Z, niektóre pary (nieuporządkowane) zbiorów możemy utworzyć bez powołania się na aksjomat pary. Jeśli ograniczymy zakres rozważanych zbiorów do elementów pewnego ustalonego z góry zbioru   i wybierzemy dwa z nich, to potrafimy stworzyć zbiór zawierający tylko te 2 wybrane elementy. Formalniej, niech  ,  ,   będą takie, że

 

Wówczas do utworzenia pary z tych zbiorów nie jest potrzebny aksjomat pary. Możemy to zrobić, korzystając jedynie z aksjomatu wycinania. Mianowicie rozważmy predykat:

 

wtedy na mocy aksjomatu wycinania istnieje zbiór  , który, jak łatwo sprawdzić, spełnia warunek

 

a zatem  .

W teorii Zermela-Fraenkla

Zakładając aksjomaty teorii ZF, aksjomat pary staje twierdzeniem wynikającym z aksjomatu zastępowania, który jest silniejszą wersją aksjomatu wycinania, oraz aksjomatu zbioru potęgowego, aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu ekstensjonalności[3].

Rozważmy dowolne zbiory  ,   oraz formułę  , w której   jest zmienną związaną, daną przez
 
gdzie   oznacza zbiór potęgowy zbioru pustego. Sprawdzamy, że formuła   spełnia warunek
 
co wynika z faktu, że  . Spełnione jest zatem założenie aksjomatu zastępowania, a więc
 
W powyższym, ustalamy   i uzyskujemy
 
Zauważmy, że   oznacza  . Zatem formuła z prawej strony spełniona jest tylko, gdy   albo  . Stąd, uzyskujemy żądany zbiór   taki, że
 
czyli innymi słowy  .

W powyższym dowodzie, aksjomat zbioru pustego i aksjomat zbioru potęgowego są nam potrzebne do skonstruowania dwóch różnych zbiorów, tj.   oraz  , a także zbioru, który zawiera tylko te dwa zbiory, czyli  . Możliwa jest również konstrukcja korzystająca z aksjomatu nieskończoności. Wtedy, ze zbioru induktywnego możemy wyciąć podzbiory   i  , które odpowiadają kolejno   i  .

Dalsze konstrukcje

edytuj

Singleton

edytuj

Mając już daną parę zbiorów, możemy teraz zdefiniować zbiór złożony tylko z jednego elementu   czyli zbiór jednoelementowy:

 [4]

Zbiór   należy oczywiście odróżniać od zbioru  .

Nieuporządkowana n-ka

edytuj

Mając dane zbiory       możemy zatem skonstruować zbiory     i dalej wobec aksjomatu pary   Korzystając z aksjomatu sumy, otrzymamy stąd zbiór   zwany trójką nieuporządkowaną. Postępując dalej analogicznie, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech itd. elementów[5].

Przy pomocy tej konstrukcji możemy skonstruować dowolne zbiory skończone. Istnienie zbioru nieskończonego wynika z aksjomatu nieskończoności i jest niezależne od aksjomatu pary[potrzebny przypis].

Para uporządkowana

edytuj
Osobny artykuł: Para uporządkowana.

Dzięki aksjomatowi pary, możemy także zdefiniować parę uporządkowaną zbiorów   i  

 [6]

którą charakteryzuje istniejący na niej porządek elementów, tj. dwie pary uporządkowane   i   są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy   i  .

Aksjomat pary zapewnia istnienie, a aksjomat ekstensjonalności jednoznaczność tej definicji. Jest to standardowa definicja pary uporządkowanej zaproponowana przez Kuratowskiego, chodź istnieją też inne definicje (patrz: Definicje pary uporządkowanej).

Przypisy

edytuj
  1. Mathematische Annalen, Göttinger Digitalisierungszentrum, 1908, s. 261-281 [dostęp 2025-01-30] (niem.), Axiom II.
  2. Guzicki i Zbierski 1978 ↓, s. 19.
  3. Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek, Teoria mnogości, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007, s. 101, ISBN 978-83-01-15232-1 [dostęp 2025-01-29] (pol.).
  4. Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 63.
  5. Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 64.
  6. Guzicki i Zbierski 1978 ↓, s. 10.

Bibliografia

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj