Aksjomat pary
Aksjomat pary (nieuporządkowanej) – jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla. Stwierdza on istnienie, dla dowolnych dwóch elementów, zbioru złożonego wyłącznie z tych dwóch elementów. Został wprowadzony przez Zermela[1] jako część aksjomatu gwarantującego istnienie trzech zbiorów elementarnych: jedynego zbioru pustego, singletonu oraz pary nieuporządkowanej.
Postać formalna
edytujDla dowolnych zbiorów i istnieje zbiór którego jedynymi elementami są i Formalnie[2]:
Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności, łatwo można pokazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru dla dowolnych danych i Zbiór ten nazywamy parą nieuporządkowaną i i oznaczamy Warto zaznaczyć, że jeśli , to w rzeczywistości powstały zbiór jest jednoelementowy.
Związek z innymi aksjomatami ZF
edytujW teorii Zermela
Zakładając aksjomaty teorii Z, niektóre pary (nieuporządkowane) zbiorów możemy utworzyć bez powołania się na aksjomat pary. Jeśli ograniczymy zakres rozważanych zbiorów do elementów pewnego ustalonego z góry zbioru i wybierzemy dwa z nich, to potrafimy stworzyć zbiór zawierający tylko te 2 wybrane elementy. Formalniej, niech , , będą takie, że
Wówczas do utworzenia pary z tych zbiorów nie jest potrzebny aksjomat pary. Możemy to zrobić, korzystając jedynie z aksjomatu wycinania. Mianowicie rozważmy predykat:
wtedy na mocy aksjomatu wycinania istnieje zbiór , który, jak łatwo sprawdzić, spełnia warunek
a zatem .
W teorii Zermela-Fraenkla
Zakładając aksjomaty teorii ZF, aksjomat pary staje twierdzeniem wynikającym z aksjomatu zastępowania, który jest silniejszą wersją aksjomatu wycinania, oraz aksjomatu zbioru potęgowego, aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu ekstensjonalności[3].
- Rozważmy dowolne zbiory , oraz formułę , w której jest zmienną związaną, daną przez
- gdzie oznacza zbiór potęgowy zbioru pustego. Sprawdzamy, że formuła spełnia warunek
- co wynika z faktu, że . Spełnione jest zatem założenie aksjomatu zastępowania, a więc
- W powyższym, ustalamy i uzyskujemy
- Zauważmy, że oznacza . Zatem formuła z prawej strony spełniona jest tylko, gdy albo . Stąd, uzyskujemy żądany zbiór taki, że
- czyli innymi słowy .
W powyższym dowodzie, aksjomat zbioru pustego i aksjomat zbioru potęgowego są nam potrzebne do skonstruowania dwóch różnych zbiorów, tj. oraz , a także zbioru, który zawiera tylko te dwa zbiory, czyli . Możliwa jest również konstrukcja korzystająca z aksjomatu nieskończoności. Wtedy, ze zbioru induktywnego możemy wyciąć podzbiory i , które odpowiadają kolejno i .
Dalsze konstrukcje
edytujSingleton
edytujMając już daną parę zbiorów, możemy teraz zdefiniować zbiór złożony tylko z jednego elementu czyli zbiór jednoelementowy:
Zbiór należy oczywiście odróżniać od zbioru .
Nieuporządkowana n-ka
edytujMając dane zbiory możemy zatem skonstruować zbiory i dalej wobec aksjomatu pary Korzystając z aksjomatu sumy, otrzymamy stąd zbiór zwany trójką nieuporządkowaną. Postępując dalej analogicznie, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech itd. elementów[5].
Przy pomocy tej konstrukcji możemy skonstruować dowolne zbiory skończone. Istnienie zbioru nieskończonego wynika z aksjomatu nieskończoności i jest niezależne od aksjomatu pary[potrzebny przypis].
Para uporządkowana
edytujDzięki aksjomatowi pary, możemy także zdefiniować parę uporządkowaną zbiorów i
którą charakteryzuje istniejący na niej porządek elementów, tj. dwie pary uporządkowane i są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy i .
Aksjomat pary zapewnia istnienie, a aksjomat ekstensjonalności jednoznaczność tej definicji. Jest to standardowa definicja pary uporządkowanej zaproponowana przez Kuratowskiego, chodź istnieją też inne definicje (patrz: Definicje pary uporządkowanej).
Przypisy
edytuj- ↑ Mathematische Annalen, Göttinger Digitalisierungszentrum, 1908, s. 261-281 [dostęp 2025-01-30] (niem.), Axiom II.
- ↑ Guzicki i Zbierski 1978 ↓, s. 19.
- ↑ Aleksander Błaszczyk , Sławomir Turek , Teoria mnogości, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007, s. 101, ISBN 978-83-01-15232-1 [dostęp 2025-01-29] (pol.).
- ↑ Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 63.
- ↑ Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 64.
- ↑ Guzicki i Zbierski 1978 ↓, s. 10.
Bibliografia
edytuj- Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
- Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.
Linki zewnętrzne
edytuj- Eric W. Weisstein , Axiom of the Unordered Pair, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].