Aksjomat ekstensjonalności

aksjomat

Aksjomat ekstensjonalności, aksjomat jednoznaczności[1], aksjomat równości – jeden z aksjomatów Zermela-Fraenkla w aksjomatycznej teorii mnogości, sformułowany przez Ernsta Zermela w 1908 roku[2][3]. Aksjomat ten postuluje, że dwa zbiory złożone z tych samych elementów są identyczne.

Formalnie aksjomat ten to następujące zdanie języka pierwszego rzędu (gdzie jest binarnym symbolem relacyjnym):

InterpretacjaEdytuj

Aksjomat ekstensjonalności postuluje, że jeśli dwa zbiory mają te same elementy, to są równe. Ponieważ dwa równe zbiory mają te same elementy, to możemy sformułować ten aksjomat tak:

dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy.

Zatem każdy zbiór jest wyznaczony jednoznacznie przez swoje elementy. W szczególności jeśli   jest formułą języka teorii mnogości   i wiemy, że istnieje zbiór złożony ze wszystkich obiektów   dla których jest spełnione   to zbiór ten jest wyznaczony jednoznacznie. Pisząc „ ” na oznaczenie tego zbioru, odwołujemy się także do aksjomatu ekstensjonalności.

Czasami aksjomat ekstensjonalności podaje się jako stwierdzenie, że relacja należenia jest ekstensjonalna. Przypomnijmy, że relacja dwuczłonowa   na zbiorze X jest ekstensjonalna, gdy następujący warunek jest spełniony:

dla wszystkich   jeśli   to  

(Warto wspomnieć, że twierdzenie Mostowskiego o kolapsie stwierdza, że każda relacja dobrze ufundowana i ekstensjonalna jest izomorficzna z relacją należenia ograniczoną do pewnego zbioru przechodniego.)

Inne sformułowania aksjomatuEdytuj

  • Logikę pierwszego rzędu można rozwijać bez użycia symbolu równości jako jednego z symboli logicznych. Przy tym podejściu nie możemy w sformułowaniu aksjomatu napisać   i wtedy aksjomat ekstensjonalności formułuje się w następujący, bardziej skomplikowany sposób:
 
  • W teorii mnogości z urelementami aksjomat ekstensjonalności formułuje się tylko w odniesieniu do zbiorów.
  • W teorii klas (zarówno Kelleya-Morse’a, jak i NBG) również formułuje się odpowiedni aksjomat extensjonalności. John L. Kelley[4] podaje ten aksjomat jako pierwszy na jego liście. Postulat ten może być wyrażony za pomocą tej samej fomuły co podana przez nas wcześniej, ale znaczenie teraz jest, że klasy o tych samych elementach są równe. W systemie von Neumanna-Bernaysa-Gödla formułuje się dwa postulaty: ekstensjonalność dla klas i ekstensjonalność dla zbiorów.

PrzypisyEdytuj

  1. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski, Teoria Mnogości, „Monografie”, trzecie zmienione, 27, Monografie Matematyczne, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 65.
  2. Zermelo, Ernst: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. „Math. Ann.” 65 (1908), strony 261-281.
  3. Jech, Thomas: Set theory. Wydanie drugie. „Perspectives in Mathematical Logic”. Springer-Verlag, Berlin, 1997. ISBN 3-540-63048-1. Strony 1 oraz 579.
  4. Kelley, John: General topology. 1976 (1955). ISBN 0-387-90125-6.