Otwórz menu główne

Zbiór

pojęcie pierwotne teorii zbiorów
Ten artykuł dotyczy pojęcia pierwotnego matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Zbiór (dawniej także mnogość[1]) – pojęcie pierwotne aksjomatycznej teorii mnogości (zwanej też teorią zbiorów) leżące u podstaw całej matematyki[1]; idealizacja intuicyjnie rozumianego zbioru (zestawu, kolekcji) utworzonego z elementów (komponentów, składowych), która jest efektem abstrahowania od wewnętrznej struktury modelowanego obiektu i wzajemnych zależności między jego elementami (np. hierarchii, czy kolejności).

WprowadzenieEdytuj

Każdy zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez swoją zawartość (tzn. istnieje tylko jeden zbiór złożony z zadanych elementów), przy czym każdy element może należeć do danego zbioru bądź nie (tzn. element nie może należeć do zbioru np. „dwukrotnie”). Pojęcie zbioru ma charakter dystrybutywny, a nie kolektywny: Mars jest elementem zbioru planet Układu Słonecznego, lecz jakikolwiek element tej planety, np. leżąca na niej skała, nie jest już elementem wspomnianego zbioru planet (dystrybutywność); nadwozie jest elementem zbioru części samochodu, przy czym wycieraczka jest elementem nadwozia, a więc jest elementem samochodu (kolektywność).

W tzw. naiwnej (tj. niezaksjomatyzowanej) teorii mnogości zbiory wprowadza się wraz z relacją   należenia lub przynależności do zbioru[a] oznaczaną zmodyfikowaną małą literą alfabetu greckiego   (dla odróżnienia w matematyce korzysta się z innego jej wariantu typograficznego,  ); przykładowo należenie elementu   do zbioru   zapisuje się zwykle   zaś zaprzeczenie tego zdania („element   nie należy do zbioru  ”) uzyskuje się poprzez przekreślenie znaku relacji należenia:  [b].

Elementy danego zbioru zwykło się zapisywać w nawiasach klamrowych; przykładowo zbiór składający się z czterech elementów   zapisuje się zwykle symbolicznie w postaci

 

jest to jedyny zbiór składający się z tych elementów, co oznacza, że napisy   czy   (kolejność podawania elementów nie ma znaczenia), bądź   (wielokrotne wymienienie tego samego elementu niczego nie przydaje) oznaczają ten sam zbiór. Poniekąd najprostszym, choć dość nieintuicyjnym zbiorem jest zbiór nie zawierający żadnego elementu, tzw. zbiór pusty   oznaczany zwykle symbolem   Elementami zbiorów mogą być również inne zbiory – zbiory złożone ze zbiorów nazywa się zwykle rodzinami (zbiorów). Należy wyraźnie zaznaczyć, że zbiór   nie ma elementów, podczas gdy do zbioru   należy jeden element: zbiór pusty   (jest to więc jednoelementowa rodzina zbiorów złożona ze zbioru pustego).

Nie ma żadnego ograniczenia nałożonego na liczebność zbiorów, nazywaną ich mocą – moc zbioru   oznaczana będzie dalej symbolem   – wyróżnia się nawet różne hierarchie wielkości zbiorów związane z ich licznością (np. skala alefów, czy skala betów).

OkreślanieEdytuj

Wyszczególnienie wszystkich elementów danego zbioru może być co najmniej nużące (gdy zbiór jest skończony), a niekiedy nawet niemożliwe (gdy zbiór jest nieskończony). Jednym ze sposobów skrócenia tego zapisu jest wykorzystanie notacji wielokropkowej, która zakłada pewną domyślność czytelnika; przykładowo zbiór zawierający wszystkie nieparzyste liczby naturalne większe od   lecz mniejsze od   można wskazać zapisując

 

Należy jednak uważać, by zapis był dostatecznie jednoznaczny, np.   może oznaczać także zbiór liczb pierwszych ze wspomnianego przedziału, z kolei   może oznaczać wszystkie liczby naturalne z podanego zakresu.

Innym sposobem jest użycie formuły logicznej (warunku logicznego), jeśli   jest zdaniem logicznym o elemencie   zbioru   to zapis

 

oznacza zbiór wszystkich elementów   które spełniają warunek  

W początkach teorii mnogości stosowano notację   tzn. nie ograniczano się do wybierania elementów z ustalonego zbioru – okazało się jednak, że prowadzi to do sprzeczności takich jak paradoks zbioru wszystkich zbiorów, czy antynomia Russella. Wspomniane problemy związane z konstruowaniem zbiorów były impulsem do formalizacji teorii mnogości poprzez porzucenie naiwnej teorii zbiorów na rzecz różnych aksjomatyzacji pojęć zbioru i relacji należenia; jedną z najczęściej stosowanych jest aksjomatyka Zermela-Fraenkla (w jednym ze swych wariantów)[c].

RelacjeEdytuj

 
Przykładowe relacje pomiędzy zbiorami: rozłączność (A i D), posiadanie pewnych elementów wspólnych (A i C), zawieranie, czyli inkluzja (B w A).

W ogólności, dwa dowolne zbiory   i   mogą:

  • być rozłączne, jeżeli nie posiadają wspólnych elementów;
  • przecinać się, czyli mieć niepustą część wspólną, jeżeli mają pewne elementy wspólne;
  • być w relacji inkluzji, czyli zawierania. Zbiór   jest zawarty w   (jest podzbiorem zbioru  ) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru   należy do zbioru  [2][3]:
 
  • być równe, jeżeli mają wszystkie elementy wspólne:
 [4] [3].

Warunek równości zbiorów nazywany jest aksjomatem ekstensjonalności. Mówi on, że dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy. Zatem każdy zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje elementy.

Równość zbiorów jest przykładem relacji równoważności, natomiast inkluzja jest relacją częściowego porządku. Innym przykładem relacji równoważności wśród zbiorów jest równoliczność.

DziałaniaEdytuj

Niech dane będą dowolne trzy podzbiory   oraz   zbioru   nazywanego przestrzenią lub uniwersum.

Definicje
  • Sumą   nazywa się zbiór tych elementów, które należą przynajmniej do jednego ze zbiorów   lub  [5][6][7],
     
  • Iloczynem   nazywa się zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do obu zbiorów   oraz  [6][8][9],
     
  • Różnicą   nazywa się zbiór tych elementów, które należą do zbioru   ale nie należą do zbioru  [6][7][10],
     
  • Dopełnieniem   nazywa się zbiór tych elementów przestrzeni   które nie należą do zbioru  [11][12],
     
  • Różnicą symetryczną   nazywa się zbiór tych elementów, które należą do jednego i tylko jednego ze zbiorów   oraz  [13][14],
     
Własności
  • łączność sumy i iloczynu (umożliwia wykonywanie jednakowych działań w dowolnej kolejności),
     [15][16][17],
     [8][16][17],
  • przemienność sumy i iloczynu (umożliwia zamianę wykonywania kolejności działania),
     [15][16][17],
     [8][16][17],
  • rozdzielność sumy względem iloczynu i iloczynu względem sumy,
     [16][18][19],
     [16][18][19],
  • I i II prawo De Morgana,
     [12][20][21],
     [12][20][21].
Przykłady

Niech   oraz   a ponadto   Wówczas

 
 
 
 
 
Uwagi

Działania na zbiorach nazywa się często „mnogościowymi” dla odróżnienia od innych działań, np. algebraicznych: „suma mnogościowa”, „iloczyn mnogościowy”, „różnica mnogościowa” (lub nawet „suma, iloczyn, różnica zbiorów”). Działanie dodawania nazywa się niekiedy „unią”, z kolei różnicę nazywa się czasem „dopełnieniem względnym” (względem innego zbioru); dopełnienie bywa nazywane „uzupełnieniem”[21]. Alternatywne nazwy „przekrój”, czy „przecięcie” dla iloczynu są spotykane dużo częściej.

Wraz z osobnymi nazwami działania te mają unikatową symbolikę, choć niekiedy różnicę zbiorów oznacza się znakiem odejmowania[d], zaś dopełnienie oznacza się często apostrofem[e], działanie różnicy symetrycznej wydaje się mieć najmniej ustaloną symbolikę: czasami stosuje się symbol dodawania w okręgu[f]; odpowiednio  

Nazwy i symbole działań na zbiorach odwołujące się do intuicji algebraicznych nie są przypadkowe: niektóre z przedstawionych działań umożliwiają wprowadzenie na podzbiorach danego zbioru różnych struktur algebraicznych (np. ciało zbiorów, pierścień zbiorów itp.), w ogólności wszystkie tworzą one tzw. algebrę Boole’a.

W przypadku działań sumy i iloczynu rozpatruje się również operacje skończone (zdefiniowane indukcyjnie) i nieskończone (zdefiniowane za pomocą kwantyfikatorów, czyli logiki pierwszego rzędu; nazywane też uogólnionymi). Sumę rodziny zbiorów definiuje się jako zbiór tych elementów, dla których istnieje (choć jeden) sumowany zbiór, do którego należą, z kolei iloczyn rodziny zbiorów zawiera wyłącznie te elementy, które należą do wszystkich zbiorów będących czynnikami.

UogólnieniaEdytuj

Zbiór dwuelementowy złożony z dwóch (różnych) elementów   nazywany parą (nieuporządkowaną), nie zawiera w sobie informacji o kolejności swoich elementów, tj.   istnieje jednak obiekt nazywany parą uporządkowaną, który ją niesie, tj.   – w teorii mnogości definiuje się go zwykle jako zbiór dwuelementowy:

 

Iloczynem kartezjańskim   zbiorów   nazywa się zbiór wszystkich par uporządkowanych, których pierwszy element należy do zbioru   a drugi do zbioru   ze względu na uporządkowanie par jest   o ile czynniki są różne. Ponadto  

Zbiór potęgowy   zbioru   to rodzina (zbiór zawierający) wszystkie podzbiory zbioru   zachodzi  

Istnieje wiele uogólnień pojęcia zbioru, wśród nich są m.in.:

  • klasa – skupisko elementów dzielących wspólną właściwość;
  • multizbiór – zestaw bytów, w którym dany element może występować wielokrotnie;
  • n-tka – multizbiór, z określoną kolejnością elementów;
  • zbiór przybliżony – zbiór z trzecią możliwością przynależności elementu (np. należenie nieokreślone, nieznane, czy częściowe[g]);
  • zbiór rozmyty – zbiór, w którym przynależność elementu do zbioru można wyrazić procentowo (tj. od 0% do 100%).

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Formalnie niekiedy określanej w klasie wszystkich zbiorów, zob. paradoks zbioru wszystkich zbiorów.
  2. Czasem korzysta się z zapisu odwróconego, odpowiednio:   oraz  
  3. Innymi są np. kanoniczna teoria mnogości Zermela, czy mniej standardowa teoria mnogości Kripkego-Platka.
  4. Choć może to prowadzić do pomyłki z działaniem wzięcia zbioru elementów przeciwnych dla zbioru, w którym określono pewną strukturę algebraiczną.
  5. Może to prowadzić do konfliktu z działaniami z innych działów matematyki; istnieją również inne sposoby zapisu tego działania, np.   w tej notacji   oznacza  
  6. W algebrze symbolem tym zapisuje się działanie sumy prostej.
  7. Konkretny wybór możliwości odzwierciedla pewną logikę trójwartościową.

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj