Otwórz menu główne
Diagram Venna: jest dopełnieniem względem .

Dopełnienie zbioruzbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą. W niektórych pozycjach można spotkać się również z alternatywną nazwą uzupełnienie zbioru[1][2][3][4].

Spis treści

Definicja formalnaEdytuj

Niech dany będzie zbiór   zwany dalej przestrzenią[1][2][4][5], zbiorem uniwersalnym[4] lub uniwersum[4], oraz jego podzbiór   Dopełnieniem zbioru   nazywa się różnicę

 

oznaczaną zwykle symbolem  [1][2][3][5] lub  [2][4], a w starszych pozycjach także   lub, jeśli   jest znane, krótko   (litera „c” w niektórych oznaczeniach pochodzi od ang. complement, dopełniać).

Niekiedy spotyka się również oznaczenie  [5], jednak jeżeli   jest zbiorem, na którym określono pewną (addytywną) strukturę algebraiczną, to   może oznaczać wtedy  

  • Z definicji wynika, że dopełnienie zbioru zależy od wyboru przestrzeni.
  • Korzystając z pojęcia dopełnienia zbiorów, różnicę zbiorów   można zapisać w postaci:
 .

WłasnościEdytuj

Dla dowolnego uniwersum   prawdziwe są równości

 

Dla ustalonego   i dowolnego   zachodzi

 

co oznacza, że operacja dopełnienia jest inwolucją.

Prawdą jest też, iż zbiór i jego dopełnienie są rozłączne,

 

a ich suma daje całe uniwersum,

 

co oznacza, że   jest rozbiciem zbioru  

Dla danych   zachodzą prawa

 
 

znane jako prawa de Morgana[6]. Dodatkowo

  pociąga  

PrzykładyEdytuj

  • Dopełnieniem zbioru   w zbiorze   jest zbiór  
  • Dopełnieniem zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych jest zbiór liczb niewymiernych.
  • Dopełnieniem prostej na płaszczyźnie euklidesowej jest suma dwóch rozłącznych otwartych półpłaszczyzn.
  • Dopełnieniem zbioru   w przestrzeni liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych większych od   natomiast w przestrzeni   jest to zbiór  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b c Rozdział I (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1952, s. 18. [dostęp 2008-12-30 r].
  2. a b c d Kazimierz Kuratowski, Ryszard Engelking: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004, s. 16,17. ISBN 83-01-14215-4.
  3. a b Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 15. ISBN 83-01-14415-7.
  4. a b c d e Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996, s. 27–31. ISBN 83-01-12129-7.
  5. a b c Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz: Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach. Warszawa: Państwowe wydawnictwo naukowe, 1975, s. 19.
  6. Angielski logik Augustus De Morgan odkrył przedstawione prawa rachunku zbiorów. Analogiczne prawa rachunku zdań sformułowano później, ale zwykło się je nazywać również nazwiskiem de Morgana Rozdział IV. Algebra zbiorów i relacji (pdf). W: Andrzej Mostowski: Logika matematyczna. T. 18. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1948, s. 100. [dostęp 2008-12-30 r].