Otwórz menu główne

Spis treści

Algebra ogólna (algebra uniwersalna lub abstrakcyjna) – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej (zwanej też algebrą ogólną)[1][2].

Szczególnie ważną klasę algebr stanowią algebry równościowo definiowalne[3].

DefinicjeEdytuj

Definicja 1Edytuj

Niech   będzie zbiorem i niech  

Algebrą sygnatury   jest para   gdzie   jest zbiorem (zwykle niepustym), a   jest funkcją, która elementowi   zbioru   przyporządkowuje  -argumentowe działanie   w zbiorze   Zbiór   nazywamy uniwersum algebry   funkcję   interpretacją zbioru   w algebrze  

Dla danej algebry   jej uniwersum oznacza się zazwyczaj jako   Także zamiast pisać   pisze się   albo  

Definicja 2Edytuj

Algebrą[1] nazywamy zbiór   na którym określony jest skończony lub nieskończony zbiór   operacji  -arnych.

Zbiór symboli operacji   dla których wskazane są ich arności nazywa się sygnaturą algebry. Jeżeli operacja   jest  -arna, to używa się zapisu  

Powyższe dwie definicje opisują ten sam obiekt – algebrę   W pierwszej definicji zbiór   jest zbiorem nazw (symboli) operacji algebry,   jest funkcją przypisującą nazwie operację  -arną algebry, a funkcja   przypisuje nazwie operacji jej arność.

Definicja 3Edytuj

Algebrą[4] (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaci:

 

gdzie:

  jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (albo uniwersum algebry),
  są pewnymi elementami zbioru   (nazywanymi elementami wyróżnionymi),
  są działaniami określonymi w zbiorze   przy czym   jest działaniem  -argumentowym, tzn.   oraz  

Dwie algebry:

 

i

 

nazywamy algebrami podobnymi (lub algebrami tego samego typu) jeśli   oraz   oraz dla każdego   działania   oraz   są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn.   oraz  

Przykłady algebrEdytuj

1. Algebra Peana arytmetyki liczb naturalnych,  

 
 
 
 
 
 

2. Algebra Presburgera arytmetyki samego dodawania,  

 
 
 
 

3. Algebra Cegielskiego arytmetyki samego mnożenia,  

 
 
 
 

4. Algebra arytmetyki liczb całkowitych,  

 
 
 
 
 
 
 

5. Algebra podzbiorów zbioru  ,  

 
 
 
 
 
 

6. Krata podzielności w  ,  

 
 
  (zob. nww, nwd)
 
 

Redukty i wzbogaceniaEdytuj

Niech   będzie algebrą sygnatury   i niech  

Reduktem prostym algebry   do   nazywamy algebrę  

Algebra   jest wzbogaceniem (prostym) algebry   jeśli   jest reduktem (prostym) algebry  

PrzykładyEdytuj

  •   i   są reduktami prostymi  
  • Algebrę   nazywamy kratą podzbiorów zbioru  

W niektórych wypadkach wprowadzone wyżej pojęcie reduktu prostego może być niewystarczające. Będzie tak np. w sytuacji, gdy na jednym uniwersum będziemy potrzebowali wprowadzić równolegle kilka struktur wzajemnie ze sobą powiązanych jak jest np. w przypadku pierścieni czy ciał. Wtedy pomocnym okaże się następujące pojęcie reduktu nieprostego:

Redukty nieprosteEdytuj

Niech   będzie algebrą sygnatury   i niech   będzie różnowartościowe.

Reduktem nieprostym algebry   do   nazywamy algebrę   sygnatury   której uniwersum jest   i w której

 

PrzykładyEdytuj

Pierścień to taka algebra   sygnatury   że redukt   jest grupą przemienną, a   jest półgrupą oraz spełnione są równości:

 

gdzie:

 

Tutaj zastosowana jest konwencja notacyjna wedle której   jest innym zapisem funkcji  

Ciało to taka algebra   sygnatury   że   jest pierścieniem, a   jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się następujące oznaczenia:

 

PodalgebryEdytuj

Algebra   jest podalgebrą algebry   jeśli

  1.         oraz
  2.  
Uwaga 1

Niech   będzie algebrą. Na to, aby   było uniwersum podalgebry algebry   potrzeba i wystarcza, aby  

Uwaga 2

Niech   będzie algebrą i niech   Wówczas wśród podalgebr algebry   których uniwersum zawiera   istnieje algebra najmniejsza.

Algebrę tę nazywamy podalgebrą wyznaczoną przez   i oznacza się   albo  

PrzykładyEdytuj

  1. Algebra   jest podalgebrą algebry  
  2. Podalgebrą algebry   generowaną przez   jest  
  3. Podalgebrą algebry   generowaną przez   jest  
  4. Uniwersum podalgebry algebry   generowanej przez   jest  
  5. Podalgebrą algebry   generowanej przez   jest  

HomomorfizmyEdytuj

Niech   i   będą algebrami tej samej sygnatury  

Funkcja   jest homomorfizmem algebr   i   jeśli

 

Rodzinę wszystkich homomorfizmów z   do   oznaczamy  

Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem. Rodzinę wszystkich monomorfizmów z   do   oznaczamy  

Homomorfizm „na” nazywamy epimorfizmem. Rodzinę wszystkich epoimorfizmów z   do   oznaczamy  

Różnowartościowy epimorfizm, to izomorfizm. Rodzinę wszystkich izomorfizmów z   do   oznaczamy  

Homomorfizmy algebry w siebie, to endomorfizmy. Izomorfizmy w siebie, to automorfizmy.

Rodzinę wszystkich endomorfizmów algebry   oznaczamy   Rodzinę wszystkich automorfizmów algebry   oznaczamy  

Rodzina automorfizmów algebry w siebie tworzy z działaniem składania odwzorowań grupę.

Zauważmy, że algebra   jest podalgebrą algebry   wtedy i tylko wtedy, gdy  

Jeśli   to podalgebrę algebry   wyznaczoną przez   nazywamy obrazem homomorfizmu   i oznaczamy  

PrzykładyEdytuj

  1. Odwzorowanie   jest w  
    ale nie jest ani w   ani w  
  2. Odwzorowanie   jest w   ale nie jest w  
  3. Jedynym homomorfizmem   w   jest  
  4. Jedynymi homomorfizmami   w    i  
  5. Jedynym homomorfizmem   w   jest  
  6. Jedynymi homomorfizmami   i   są postaci   dla pewnego  

Kongruencje, zasadnicze twierdzenie algebryEdytuj

Niech   będzie algebrą sygnatury  

Relacja równoważności   w   jest kongruencją algebry, gdy

 
 

PrzykładEdytuj

Niech   i niech

 

Wówczas   jest kongruencją algebry  

Algebra ilorazowaEdytuj

Niech   będzie algebrą sygnatury   i niech   będzie kongruencją w  

Algebrą ilorazową   przez   jest algebra   której uniwersum jest zbiór ilorazowy   i w której:

 

Przyporządkowanie   nazywamy odwzorowaniem kanonicznym i oznaczamy je symbolem   Jest ono homomorfizmem algebr    i   

Zasadnicze twierdzenie algebryEdytuj

Niech   wówczas   i   są izomorficzne.

Szczególne algebryEdytuj

W poniższej sekcji opisano ważne z punktu widzenia matematyki algebry ogólne.

ZbiórEdytuj

Osobny artykuł: zbiór.

Zbiór to algebra   sygnatury  

Jest to przypadek zdegenerowany, z punktu widzenia algebry – nieistotny.

Zbiór z wyróżnionym punktemEdytuj

Zbiór z wyróżnionym punktem to algebra   sygnatury   gdzie element   nazywa się elementem bądź punktem wyróżnionym algebry  

Element ten oznacza się niekiedy symbolem   Zazwyczaj jednak element wyróżniony oznacza się małą literą, która służy do oznaczania uniwersum algebry (czasem z indeksem dolnym  ).

Algebra unarnaEdytuj

Algebra unarna to algebra   sygnatury   gdzie   może mieć wiele różnych oznaczeń w zależności od zastosowań, np.     czy   w notacji prefiksowej,     w notacji postfiksowej, czy też   z wykorzystaniem znaków diakrytycznych.

GrupoidEdytuj

Osobny artykuł: grupoid.

Grupoid to algebra   sygnatury   czyli inaczej mówiąc zbiór z działaniem dwuargumentowym.

Zamiast   zwykle pisze się   lub nawet   (tzw. notacja multiplikatywna) lub   (tzw. notacja addytywna), gdzie  

W notacji multiplikatywnej działanie grupoidu nazywa się mnożeniem, a w notacji addytywnej – dodawaniem. Notacja addytywna używana jest zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.

Quasi-grupaEdytuj

Osobny artykuł: quasi-grupa.

Quasi-grupa to wzbogacenie grupoidu   do sygnatury   w którym spełnione są równości:

 

gdzie:

  gdzie  

Działania „ ” i „ ” nazywa się odpowiednio dzieleniem prawo- i lewostronnym.

LupaEdytuj

Zobacz też: quasi-grupa.

Lupa (pętla) to wzbogacenie quasigrupy   do sygnatury   które spełnia równości

 

gdzie  

Innymi słowy, pętla to quasigrupa z elementem neutralnym mnożenia.

PółgrupaEdytuj

Osobny artykuł: półgrupa.

Półgrupa to grupoid z działaniem łącznym.

MonoidEdytuj

Osobny artykuł: monoid.

Monoid to wzbogacenie półgrupy   do sygnatury   które spełnia równości

 

gdzie   w notacji multiplikatywnej, często też   W notacji addytywnej zamiast   pisze się zwykle  

Monoid można określić jako półgrupę z elementem neutralnym działania tej półgrupy.

GrupaEdytuj

Osobny artykuł: grupa (matematyka).

Grupa jest wzbogaceniem monoidu   do sygnatury   które spełnia równości

  dla  

Standardowym oznaczeniem   jest   niekiedy również   w notacji multiplikatywnej; element ten nazywa się wtedy elementem odwrotnym do   W notacji addytywnej element ten oznacza się symbolem   i nazywa elementem przeciwnym do  

Grupa to, innymi słowy, monoid z operacją brania elementu odwrotnego/przeciwnego.

PierścieńEdytuj

Pierścień to algebra   sygnatury   dla której redukt   jest grupą przemienną, a   jest półgrupą oraz spełnione są równości:

  i   dla  

gdzie:

 
 
 
 

dla  

Działanie   nazywamy dodawaniem pierścienia, a działanie   jego mnożeniem.

Uwaga
W dowolnym pierścieniu zachodzi  
Ponieważ   to   Podobnie  

Pierścień, w którym działanie   jest przemienne nazywa się pierścieniem przemiennym.

Pierścień z jedynkąEdytuj

Osobny artykuł: pierścień z jedynką.

Pierścień z jedynką to algebra   sygnatury   że   jest pierścieniem, a   jest monoidem.

Element   nazywamy jedynką pierścienia   Oznaczamy go zazwyczaj symbolem  

Pierścień z dzieleniemEdytuj

Osobny artykuł: pierścień z dzieleniem.

Pierścień z dzieleniem to algebra   sygnatury   że   jest pierścieniem, a   jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się oznaczenie:

  gdzie  

CiałoEdytuj

Osobny artykuł: ciało (matematyka).

Ciało to pierścień z dzieleniem z przemiennym działaniem mnożenia.

KrataEdytuj

Osobny artykuł: krata (matematyka).

Kratą nazywamy algebrę   sygnatury   w której spełnione są równości:

 
 

gdzie użyto oznaczeń

 

oraz

 

Krata rozdzielna to krata spełniająca co najmniej jedną z równości (pozostała równość wynika z przyjętej):

 

bądź

 

Innym warunkiem, tak koniecznym, jak i dostatecznym, na rozdzielność kraty jest zachodzenie równości:

  gdzie  

Krata jest nierozdzielna, gdy zawiera podkratę izomorficzną z jedną z poniższych krat:

 

Należy jednak być przezornym, niżej zaprezentowane kraty rozdzielne:

 

Krata dualnaEdytuj

Redukt   jest także kratą. Kratę tę nazywamy kratą dualną do   Krata dualna do kraty rozdzielnej jest kratą rozdzielną.

Krata z „zerem”Edytuj

Krata z „zerem” to wzbogacenie kraty   do sygnatury   w której spełnione są równości:

  oraz  

gdzie element   nazywa się spodem lub zerem kraty  

Krata z „jedynką”Edytuj

Krata z „jedynką” to wzbogacenie kraty   do sygnatury   w której spełnione są równości:

  oraz  

gdzie element   nazywa się szczytem lub jedynką kraty  

Krata ograniczonaEdytuj

Krata ograniczona to wzbogacenie kraty   do sygnatury   że   jest kratą z zerem, a   jest kratą z jedynką.

Krata komplementarnaEdytuj

Zobacz też: algebra Boole’a.

Krata komplementarna to wzbogacenie kraty ograniczonej do sygnatury   w której spełnione są równości:

  oraz  

gdzie   nazywa się uzupełnieniem elementu   w  

Komplementarną kratę rozdzielną nazywa się algebrą Boole’a.

Redukt   jest także algebrą Boole’a. Algebrę tę nazywamy dualizacją algebry  

Krata implikacyjnaEdytuj

Relacja   zdefiniowana wzorem

 

definiuje w każdej kracie porządek zwany porządkiem kratowym, w którym operacje   i   są tożsame z operacjami infimum i supremum. Równoważnie porządek ten można zadać wzorem

 

Krata implikacyjna to wzbogacenie kraty   do sygnatury   w której zachodzi:

 

gdzie element   nosi nazwę relatywnego pseudouzupełnienia elementu   względem  

W kracie implikacyjnej zachodzi m.in. związek:

  dla dowolnego  

Każda krata implikacyjna jest rozdzielna.

Algebra HeytingaEdytuj

Osobny artykuł: algebra Heytinga.

Algebra Heytinga to wzbogacenie kraty implikacyjnej   do sygnatury   której redukt   jest kratą z zerem i w której zachodzi równość:

 

gdzie   dla  

Uwaga
Algebra Heytinga zazwyczaj nie jest wzbogaceniem algebry Boole’a:
 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b А.Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974, s. 11.
  2. Л.А. Скорняков: Элементы общей алгебры. Wyd. 1. Наука, 1983, s. 31, 32.
  3. Algebrom tym poświęcone są: rozdz. XIV, § 7 w książce: H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968 oraz § 5.5 w książce: Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  4. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Warszawa: Wydawnictwo naukowe PWN, 2012, s. 164, 165. ISBN 978-83-01-14415-9.