Algebra ogólna
Algebra ogólna (algebra uniwersalna lub abstrakcyjna) – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej (zwanej też algebrą ogólną)[1][2].
Szczególnie ważną klasę algebr stanowią algebry równościowo definiowalne[3].
DefinicjeEdytuj
Definicja 1Edytuj
Niech będzie zbiorem i niech
Algebrą sygnatury jest para gdzie jest zbiorem (zwykle niepustym), a jest funkcją, która elementowi zbioru przyporządkowuje -argumentowe działanie w zbiorze Zbiór nazywamy uniwersum algebry funkcję interpretacją zbioru w algebrze
Dla danej algebry jej uniwersum oznacza się zazwyczaj jako Tak, że zamiast pisać pisze się albo
Definicja 2Edytuj
Algebrą[1] nazywamy zbiór na którym określony jest skończony lub nieskończony zbiór operacji -arnych.
Zbiór symboli operacji dla których wskazane są ich arności nazywa się sygnaturą algebry. Jeżeli operacja jest -arna, to używa się zapisu
Powyższe dwie definicje opisują ten sam obiekt – algebrę W pierwszej definicji zbiór jest zbiorem nazw (symboli) operacji algebry, jest funkcją przypisującą nazwie operację -arną algebry, a funkcja przypisuje nazwie operacji jej arność.
Definicja 3Edytuj
Algebrą[4] (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaci:
gdzie:
- jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (albo uniwersum algebry),
- są pewnymi elementami zbioru (nazywanymi elementami wyróżnionymi),
- są działaniami określonymi w zbiorze przy czym jest działaniem -argumentowym, tzn. oraz
Dwie algebry:
i
nazywamy algebrami podobnymi (lub algebrami tego samego typu) jeśli oraz oraz dla każdego działania oraz są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn. oraz
Przykłady algebrEdytuj
1. Algebra Peana arytmetyki liczb naturalnych,
2. Algebra Presburgera arytmetyki samego dodawania,
3. Algebra Cegielskiego arytmetyki samego mnożenia,
4. Algebra arytmetyki liczb całkowitych,
5. Algebra podzbiorów zbioru ,
6. Krata podzielności w ,
Redukty i wzbogaceniaEdytuj
Niech będzie algebrą sygnatury i niech
Reduktem prostym algebry do nazywamy algebrę
Algebra jest wzbogaceniem (prostym) algebry jeśli jest reduktem (prostym) algebry
PrzykładyEdytuj
- i są reduktami prostymi
- Algebrę nazywamy kratą podzbiorów zbioru
W niektórych wypadkach wprowadzone wyżej pojęcie reduktu prostego może być niewystarczające. Będzie tak np. w sytuacji, gdy na jednym uniwersum będziemy potrzebowali wprowadzić równolegle kilka struktur wzajemnie ze sobą powiązanych jak jest np. w przypadku pierścieni czy ciał. Wtedy pomocnym okaże się następujące pojęcie reduktu nieprostego:
Redukty nieprosteEdytuj
Niech będzie algebrą sygnatury i niech będzie różnowartościowe.
Reduktem nieprostym algebry do nazywamy algebrę sygnatury której uniwersum jest i w której
PrzykładyEdytuj
Pierścień to taka algebra sygnatury że redukt jest grupą przemienną, a jest półgrupą oraz spełnione są równości:
gdzie:
Tutaj zastosowana jest konwencja notacyjna wedle której jest innym zapisem funkcji
Ciało to taka algebra sygnatury że jest pierścieniem, a jest grupą.
Dla wygody przyjmuje się następujące oznaczenia:
PodalgebryEdytuj
Algebra jest podalgebrą algebry jeśli
- oraz
- Uwaga 1
Niech będzie algebrą. Na to, aby było uniwersum podalgebry algebry potrzeba i wystarcza, aby
- Uwaga 2
Niech będzie algebrą i niech Wówczas wśród podalgebr algebry których uniwersum zawiera istnieje algebra najmniejsza.
Algebrę tę nazywamy podalgebrą wyznaczoną przez i oznacza się albo
PrzykładyEdytuj
- Algebra jest podalgebrą algebry
- Podalgebrą algebry generowaną przez jest
- Podalgebrą algebry generowaną przez jest
- Uniwersum podalgebry algebry generowanej przez jest
- Podalgebrą algebry generowanej przez jest
HomomorfizmyEdytuj
Niech i będą algebrami tej samej sygnatury
Funkcja jest homomorfizmem algebr i jeśli
Rodzinę wszystkich homomorfizmów z do oznaczamy
Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem. Rodzinę wszystkich monomorfizmów z do oznaczamy
Homomorfizm „na” nazywamy epimorfizmem. Rodzinę wszystkich epoimorfizmów z do oznaczamy
Różnowartościowy epimorfizm, to izomorfizm. Rodzinę wszystkich izomorfizmów z do oznaczamy
Homomorfizmy algebry w siebie, to endomorfizmy. Izomorfizmy w siebie, to automorfizmy.
Rodzinę wszystkich endomorfizmów algebry oznaczamy Rodzinę wszystkich automorfizmów algebry oznaczamy
Rodzina automorfizmów algebry w siebie tworzy z działaniem składania odwzorowań grupę.
Zauważmy, że algebra jest podalgebrą algebry wtedy i tylko wtedy, gdy
Jeśli to podalgebrę algebry wyznaczoną przez nazywamy obrazem homomorfizmu i oznaczamy
PrzykładyEdytuj
- Odwzorowanie jest w
ale nie jest ani w ani w - Odwzorowanie jest w ale nie jest w
- Jedynym homomorfizmem w jest
- Jedynymi homomorfizmami w są i
- Jedynym homomorfizmem w jest
- Jedynymi homomorfizmami i są postaci dla pewnego
Kongruencje, zasadnicze twierdzenie algebryEdytuj
Niech będzie algebrą sygnatury
Relacja równoważności w jest kongruencją algebry, gdy
PrzykładEdytuj
Niech i niech
Wówczas jest kongruencją algebry
Algebra ilorazowaEdytuj
Niech będzie algebrą sygnatury i niech będzie kongruencją w
Algebrą ilorazową przez jest algebra której uniwersum jest zbiór ilorazowy i w której:
Przyporządkowanie nazywamy odwzorowaniem kanonicznym i oznaczamy je symbolem Jest ono homomorfizmem algebr i
Zasadnicze twierdzenie algebryEdytuj
Niech wówczas i są izomorficzne.
Szczególne algebryEdytuj
W poniższej sekcji opisano ważne z punktu widzenia matematyki algebry ogólne.
ZbiórEdytuj
Zbiór to algebra sygnatury
Jest to przypadek zdegenerowany, z punktu widzenia algebry – nieistotny.
Zbiór z wyróżnionym punktemEdytuj
Zbiór z wyróżnionym punktem to algebra sygnatury gdzie element nazywa się elementem bądź punktem wyróżnionym algebry
Element ten oznacza się niekiedy symbolem Zazwyczaj jednak element wyróżniony oznacza się małą literą, która służy do oznaczania uniwersum algebry (czasem z indeksem dolnym ).
Algebra unarnaEdytuj
Algebra unarna to algebra sygnatury gdzie może mieć wiele różnych oznaczeń w zależności od zastosowań, np. czy w notacji prefiksowej, w notacji postfiksowej, czy też z wykorzystaniem znaków diakrytycznych.
GrupoidEdytuj
Grupoid to algebra sygnatury czyli inaczej mówiąc zbiór z działaniem dwuargumentowym.
Zamiast zwykle pisze się lub nawet (tzw. notacja multiplikatywna) lub (tzw. notacja addytywna), gdzie
W notacji multiplikatywnej działanie grupoidu nazywa się mnożeniem, a w notacji addytywnej – dodawaniem. Notacja addytywna używana jest zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.
Quasi-grupaEdytuj
Quasi-grupa to wzbogacenie grupoidu do sygnatury w którym spełnione są równości:
gdzie:
- gdzie
Działania „ ” i „ ” nazywa się odpowiednio dzieleniem prawo- i lewostronnym.
PętlaEdytuj
Pętla to wzbogacenie quasi-grupy do sygnatury które spełnia równości
gdzie
Innymi słowy, pętla to quasi-grupa z elementem neutralnym mnożenia.
PółgrupaEdytuj
Półgrupa to grupoid z działaniem łącznym.
MonoidEdytuj
Monoid to wzbogacenie półgrupy do sygnatury które spełnia równości
gdzie w notacji multiplikatywnej, często też W notacji addytywnej zamiast pisze się zwykle
Monoid można określić jako półgrupę z elementem neutralnym działania tej półgrupy.
GrupaEdytuj
Grupa jest wzbogaceniem monoidu do sygnatury które spełnia równości
- dla
Standardowym oznaczeniem jest niekiedy również w notacji multiplikatywnej; element ten nazywa się wtedy elementem odwrotnym do W notacji addytywnej element ten oznacza się symbolem i nazywa elementem przeciwnym do
Grupa to, innymi słowy, monoid z operacją brania elementu odwrotnego/przeciwnego.
PierścieńEdytuj
Pierścień to algebra sygnatury dla której redukt jest grupą przemienną, a jest półgrupą oraz spełnione są równości:
- i dla
gdzie:
dla
Działanie nazywamy dodawaniem pierścienia, a działanie jego mnożeniem.
- Uwaga
- W dowolnym pierścieniu zachodzi
- Ponieważ to Podobnie
Pierścień, w którym działanie jest przemienne nazywa się pierścieniem przemiennym.
Pierścień z jedynkąEdytuj
Pierścień z jedynką to algebra sygnatury że jest pierścieniem, a jest monoidem.
Element nazywamy jedynką pierścienia Oznaczamy go zazwyczaj symbolem
Pierścień z dzieleniemEdytuj
Pierścień z dzieleniem to algebra sygnatury że jest pierścieniem, a jest grupą.
Dla wygody przyjmuje się oznaczenie:
- gdzie
CiałoEdytuj
Ciało to pierścień z dzieleniem z przemiennym działaniem mnożenia.
KrataEdytuj
Kratą nazywamy algebrę sygnatury w której spełnione są równości:
gdzie użyto oznaczeń
oraz
Krata rozdzielna to krata spełniająca co najmniej jedną z równości (pozostała równość wynika z przyjętej):
bądź
Innym warunkiem, tak koniecznym, jak i dostatecznym, na rozdzielność kraty jest zachodzenie równości:
- gdzie
Krata jest nierozdzielna, gdy zawiera podkratę izomorficzną z jedną z poniższych krat:
Należy jednak być przezornym, niżej zaprezentowane kraty są rozdzielne:
Krata dualnaEdytuj
Redukt jest także kratą. Kratę tę nazywamy kratą dualną do Krata dualna do kraty rozdzielnej jest kratą rozdzielną.
Krata z „zerem”Edytuj
Krata z „zerem” to wzbogacenie kraty do sygnatury w której spełnione są równości:
- oraz
gdzie element nazywa się spodem lub zerem kraty
Krata z „jedynką”Edytuj
Krata z „jedynką” to wzbogacenie kraty do sygnatury w której spełnione są równości:
- oraz
gdzie element nazywa się szczytem lub jedynką kraty
Krata ograniczonaEdytuj
Krata ograniczona to wzbogacenie kraty do sygnatury że jest kratą z zerem, a jest kratą z jedynką.
Krata komplementarnaEdytuj
Krata komplementarna to wzbogacenie kraty ograniczonej do sygnatury w której spełnione są równości:
- oraz
gdzie nazywa się uzupełnieniem elementu w
Komplementarną kratę rozdzielną nazywa się algebrą Boole’a.
Redukt jest także algebrą Boole’a. Algebrę tę nazywamy dualizacją algebry
Krata implikacyjnaEdytuj
Relacja zdefiniowana wzorem
definiuje w każdej kracie porządek zwany porządkiem kratowym, w którym operacje i są tożsame z operacjami infimum i supremum. Równoważnie porządek ten można zadać wzorem
Krata implikacyjna to wzbogacenie kraty do sygnatury w której zachodzi:
gdzie element nosi nazwę relatywnego pseudouzupełnienia elementu względem
W kracie implikacyjnej zachodzi m.in. związek:
- dla dowolnego
Każda krata implikacyjna jest rozdzielna.
Algebra HeytingaEdytuj
Algebra Heytinga to wzbogacenie kraty implikacyjnej do sygnatury której redukt jest kratą z zerem i w której zachodzi równość:
gdzie dla
Zobacz teżEdytuj
PrzypisyEdytuj
- ↑ a b А.Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974, s. 11.
- ↑ Л.А. Скорняков: Элементы общей алгебры. Wyd. 1. Наука, 1983, s. 31, 32.
- ↑ Algebrom tym poświęcone są: rozdz. XIV, § 7 w książce: H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968 oraz § 5.5 w książce: Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
- ↑ Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Warszawa: Wydawnictwo naukowe PWN, 2012, s. 164, 165. ISBN 978-83-01-14415-9.