Algebra ogólna

Algebra (ogólna) czasem: algebra uniwersalna lub abstrakcyjna – to ciąg postaci

$(A,f_{1},\dots ,f_{m},a_{1},\dots ,a_{n}),$

gdzie:

• $A$ – pewien zbiór,
• $a_{1},\dots ,a_{m}\in A$ – pewne wyróżnione elementy,
• $f_{i}\colon A^{k_{i}}\to A$ – pewne funkcje, które interpretuje się jako $k_{i}$-argumentowe działania w $A.$

Przykładami algebr są grupa addytywna

$(G,+,0),$

grupa multiplikatywna

$(G,\cdot ,1),$

oraz pierścień

$(R,+,\cdot ,0).$

Algebra ogólna jest przedmiotem badań algebry uniwersalnej (zwanej też algebrą ogólną).

Szczególnie ważną klasę algebr stanowią algebry równościowo definiowalne.

Definicja

Algebrą (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaci:

$(A,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}),$

gdzie:

$A$ jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (albo uniwersum algebry),

$a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ są pewnymi elementami zbioru $A$ (nazywanymi elementami wyróżnionymi),

$f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}$ są działaniami określonymi w zbiorze $A,$ przy czym $f_{i}$ jest działaniem $k_{i}$-argumentowym, tzn. jest funkcją postaci $f_{i}\colon A^{k_{i}}\to A$ oraz $k_{i}>0.$

Zwykle żąda się aby elementy wyróżnione i działania spełniały pewne własności.

Algebry podobne

Dwie algebry:

$(A,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$

i

$(B,g_{1},g_{2},\dots ,g_{r},b_{1},b_{2},\dots ,b_{s})$

nazywamy algebrami podobnymi (lub algebrami tego samego typu) jeśli $m=r$ oraz $n=s,$ oraz dla każdego $i\in \{1,2,\dots ,m\}$ działania $f_{i}$ oraz $g_{i}$ są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn. $f_{i}\colon A^{k_{i}}\to A$ oraz $g_{i}\colon B^{k_{i}}\to B.$

Działania zgodne z relacją równoważności

Niech $\sim$ będzie relacją równoważności w zbiorze $A.$ $k$-argumentowe działanie $f$ w $A$ nazywa się zgodnym z relacją $\sim$ jeśli dla każdych $x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\in A$

$x_{1}\sim y_{1}\wedge \ldots \wedge x_{k}\sim y_{k}\Rightarrow f(x_{1},\dots ,x_{k})\sim f(y_{1},\dots ,y_{k}).$

W szczególności gdy $f$ jest działaniem jednoargumentowym oznacza to, że dla każdych $x_{1},y_{1}$

$x_{1}\sim y_{1}\Rightarrow f(x_{1})\sim f(y_{1}),$

a gdy $f=\circ$ jest działaniem dwuargumentowym, to

$x_{1}\sim y_{1}\wedge x_{2}\sim y_{2}\Rightarrow x_{1}\circ x_{2}\sim y_{1}\circ y_{2}.$

Innymi słowy działanie $f$ w zbiorze $A$ jest zgodne z relacją $\sim$ jeśli daje równoważne wyniki na równoważnych argumentach.

Kongruencje

Relację równoważności $\sim$ w algebrze $(A,f_{1},\dots ,f_{m},a_{1},\dots ,a_{n})$ nazywa się kongruencją jeżeli dla każdego $1\leqslant i\leqslant m$ działanie $f_{i}$ jest zgodne z relacją $\sim$.

Algebra ilorazowa

Dysponując kongruencją $\sim$ na algebrze ${\mathcal {A}}=(A,f_{1},\dots ,f_{m},a_{1},\dots ,a_{n})$ można skonstruować algebrę podobną do ${\mathcal {A}}.$ Niech $A/_{\sim }$ będzie zbiorem ilorazowym. Algebrę ${\mathcal {B}}$ definiujemy jako

${\mathcal {B}}:=(A/_{\sim },g_{1},\dots ,g_{m},b_{1},\dots ,b_{n}),$

gdzie elementy wyróżnione $b_{j},\ 1\leqslant j\leqslant n$ są skonstruowane jako klasy abstrakcji elementów $a_{j}$ względem relacji $\sim$ tzn.

$b_{j}:=[a_{j}]_{\sim }.$

a działania $g_{1},\dots ,g_{m}$ są zdefiniowane wzorami:

$g_{i}([x_{1}]_{\sim },\dots ,[x_{k_{i}}]_{\sim }):=[f_{i}(x_{1},\dots ,x_{k_{i}})]_{\sim }.$

Aby działania $g_{i}$ były dobrze zdefiniowane muszą nie zależeć od wyboru reprezentantów $x_{1},\dots ,x_{k_{i}}.$ Jest to równoważne żądaniu aby dla każdych $x_{1},\dots ,x_{k_{i}},y_{1},\dots ,y_{k_{i}}\in A$

$x_{1}\sim y_{1}\wedge \ldots \wedge x_{k_{i}}\sim y_{k_{i}}\Rightarrow f_{i}(x_{1},\dots ,x_{k_{i}})\sim f_{i}(y_{1},\dots ,y_{k_{i}})$

co z kolei jest równoważne żądaniu aby relacja $\sim$ była kongruencją.

Homomorfizm algebr

Homomorfizmem algebr podobnych $(A,f_{1},\dots ,f_{m},a_{1},\dots ,a_{n})$ i $(B,g_{1},\dots ,g_{m},b_{1},\dots ,b_{n})$ nazywa się funkcję $h\colon A\to B$ taką, że

$h(f_{i}(x_{1},\dots ,x_{k_{i}}))=g_{i}(h(x_{1}),\dots ,h(x_{k_{i}}))$

dla $i=1,\dots ,m.$ W szczególności, gdy $f_{i}=\circ ,\ g_{i}=\bullet$ są działaniami dwuargumentowymi oznacza to

$h(x_{1}\circ x_{2})=h(x_{1})\bullet h(x_{2}).$

Alternatywne definicje algebry

W algebrze uniwersalnej stosuje się bardziej abstrakcyjną definicję algebry. Niech ${\textstyle D=\operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i=0}^{n}D_{i}}$ będzie rozłączną sumą zbiorów. Elementy zbioru $D$ nazywamy symbolami i interpretujemy jako symbole działań, przy czym $d_{k}\in D_{k}$ są symbolami działań $k$-argumentowych. Algebrą nazwiemy zbiór $A$ wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi $d_{k}\in D_{k}$ $k$-argumentowego działania $\phi _{k}\colon A^{k}\to A.$ Bardzo często wygodnie jest utożsamiać symbole $d_{k}$ z działaniami $\phi _{k}.$

Algebrę można zdefiniować jeszcze inaczej. Parę ${\mathcal {F}}=(F,\mu ),$ gdzie $F$ jest zbiorem, a $\mu \colon F\to \mathbb {N}$ nazywa się typem algebry. Parę ${\mathcal {A}}=(A,F_{A})$ nazywa się algebrą typu ${\mathcal {F}}$ jeśli zbiory $F_{A}$ i $F$ są równoliczne i każdemu $f\in F$ odpowiada $f_{A}\in F_{A}$ taki, że $f_{A}\colon A^{\mu (f)}\to A.$ Element $f_{A}$ nazywa się działaniem lub operacją $\mu (f)$-argumentową.

Przykłady

Półgrupa

Algebrę $(G,\circ )$ nazywa się półgrupą jeśli działanie $\circ$ jest łączne, tzn. dla każdych $a,b,c\in G$

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c).$

Grupa

Algebrę $(G,\circ ,e)$ nazywa się grupą jeśli jest półgrupą oraz ponadto

• Dla każdego $a\in G$ zachodzi

$a\circ e=a.$

• Dla każdego $a\in G$ istnieje $b\in G$ takie, że

$a\circ b=e.$

Element $e$ nazywa się elementem neutralnym działania $\circ ,$ a $b$ elementem odwrotnym do $a$ lub elementem przeciwnym do $a$ i oznacza odpowiednio $a^{-1}$ lub $-a.$

Grupa abelowa

Grupę $(G,\circ ,e)$ w której działanie jest przemienne, tzn. dla każdych $a,b\in G$ zachodzi

$a\circ b=b\circ a$

nazywa się grupą przemienną lub abelową.

Grupa addytywna i multiplikatywna

Grupę w której działanie interpretuje się jako dodawanie oznacza się $(G,+,0)$ i nazywa się grupą addytywną, a grupę w której działanie interpretuje się jako mnożenie oznacza się $(G,\cdot ,1)$ i nazywa grupą multiplikatywną.

Pierścień (łączny)

Algebrę $(R,+,\cdot ,0)$ nazywa się pierścieniem (łącznym) jeśli

• $(R,+,0)$ jest grupą przemienną,
• $(R,\cdot )$ jest półgrupą,

ponadto mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, tzn. dla każdych $a,b,c\in R$

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,$

$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c.$

Zobacz też

• algebra nad ciałem

Bibliografia

• W. Guzicki, P. Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. PWN, 2012.brak strony w książce