Otwórz menu główne

Suma zbiorów (rzadko: unia zbiorów) – działanie algebry zbiorów.

Spis treści

Definicje formalneEdytuj

 
Suma zbiorów A i B

Sumą zbiorów nazywa się zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do któregokolwiek z sumowanych zbiorów (i niezawierający innych elementów)[1][2][3].

Suma zbiorów   i   jest oznaczana symbolem   (rzadziej  [3]). Tak więc:

 [1][2][3],

co można równoważnie zapisać jako

 [4][5],

gdzie   i   jest zbiorem wszystkich rozważanych obiektów zwanym przestrzenią[6][7] lub uniwersum[8].

Suma jest zdefiniowana również dla większej ilości zbiorów: sumę rodziny zbiorów (zwaną też sumą uogólnioną) definiujemy jako zbiór elementów, które należą do przynajmniej jednego ze zbiorów z tej rodziny. Tak więc suma rodziny zbiorów   to

 [9].

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów   definiujemy

 

co jest równoważne

 [10][11].

Należy zauważyć, że poza teorią mnogości matematycy używają raczej sum rodzin indeksowanych niż sum zbiorów zbiorów. Jedne mogą zostać zredukowane do drugich, np.   a użycie zapisu indeksowanego jest często bardziej czytelne.

PrzykładyEdytuj

  • Niech   będzie zbiorem liczb wymiernych a   niech będzie zbiorem liczb niewymiernych. Wówczas   jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, tzn.  [1].
  •  
  •  
  • Niech   będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawartych w odcinku   Wówczas
 

Poprawność definicji sumy zbiorówEdytuj

W powyższej definicji zakłada się, że dodawane zbiory są podzbiorami pewnego zbioru Ω zwanego przestrzenią. Definicja sumy dwóch zbiorów jest więc pewnym dwuargumentowym działaniem określonym na zbiorze potęgowym pewnego ustalonego zbioru  

 

Poprawność zdefiniowanego działania tj. istnienie jednoznacznego wyniku dla dowolnych dwóch argumentów wynika np. z aksjomatu podzbiorów.

Takie rozumienie definicji sumy wzmacniają diagramy Venna, w których zbiory obrazowane są owalami rozgraniczającymi elementy przestrzeni Ω na te, które należą do danego zbioru, od tych, które do niego nie należą.

Opuszczenie warunku, aby dodawane zbiory były podzbiorami pewnego wspólnego zbioru, prowadzi do poważnych problemów teoriomnogościowych. Dodawanie zbiorów byłoby wówczas dwuargumentowym działaniem określonym na zbiorze wszystkich zbiorów, co oznacza odwołanie się do nieistniejącego obiektu (patrz paradoks zbioru wszystkich zbiorów). Z kolei definicja postaci   jest konstruowaniem zbioru poprzez podanie formuły, którą muszą spełniać jego elementy, co jest metodą, której należy unikać aksjomatycznej teorii mnogości. Ostatecznie oznacza to nieistnienie dwuargumentowego działania dodawania zbiorów, o których nie ma dodatkowych założeń, a dla stwierdzenia istnienia sumy dwóch danych zbiorów należy powołać na aksjomat sumy.

WłasnościEdytuj

Operacje skończoneEdytuj

Dla dowolnych zbiorów   zachodzą następujące równości:

  •  
  •  [12]     (idempotentność)
  •  
  •  [12]     (zbiór pusty jest elementem neutralnym sumowania zbiorów)
  •  [12]     (łączność)
  •  [12]     (przemienność)
  •   oraz  [13]     (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego)
  •   oraz  [14]     (prawo De Morgana).

Ponadto:

  •   wtedy i tylko wtedy, gdy  
  • Niech   będzie niepustym zbiorem a   niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów zbioru   Wówczas
 
jest zupełną algebrą Boole’a.
  oraz  

Operacje nieskończoneEdytuj

Własności sumy skończenie wielu zbiorów uogólniają się na sumę rodzin indeksowanych zbiorów. Niech     oraz   będą indeksowanymi rodzinami zbiorów. Niech   będzie zbiorem. Wówczas

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Następującą formułę można przytoczyć jako ciekawostkę. Niech   będzie rodziną zbiorów. Wówczas

 

Na przykład niech   gdzie   oraz   Wtedy z jednej strony:

 

a z drugiej

 

Suma a obrazy i przeciwobrazyEdytuj

Dla dowolnej funkcji   dla dowolnej rodziny indeksowanej   podzbiorów zbioru   oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej   podzbiorów zbioru   prawdziwe są następujące dwa stwierdzenia:

  •   (inaczej mówiąc, przeciwobraz sumy jest sumą przeciwobrazów);
  •   (czyli obraz sumy jest sumą obrazów).

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj