Otwórz menu główne

Część wspólna, przekrój, iloczyn mnogościowy, przecięciezbiór zawierający te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do obu/wszystkich wybranych zbiorów. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.

DefinicjeEdytuj

 
Przekrój zbiorów   i   oznaczony kolorem fioletowym

Część wspólna zbiorów   i   to zbiór, do którego należą te elementy zbioru   które należą również do  [1][2]. Część wspólna zbiorów   i   jest oznaczana przez   Tak więc:

 [1][3][4],

co jest równoważne zapisowi

 [5][6],

gdzie   jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią[7][8] lub uniwersum[9].

Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli   jest niepustą rodziną zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór   elementów należących jednocześnie do wszystkich zbiorów z rodziny  [10]:

 

Można to równoważnie zapisać jako

 [11].

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów   gdzie zbiór indeksów   jest niepusty, część wspólną definiuje się jako

 

co jest równoważne

 [12][13].

PrzykładyEdytuj

  • Niech   będzie zbiorem liczb naturalnych, a   niech będzie zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas   jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych, tzn.
  dzieli  
  •   ale  
  •  
  • Niech   będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek   Wówczas
 

WłasnościEdytuj

Operacje skończoneEdytuj

Dla dowolnych zbiorów   zachodzą następujące równości:

  •  
  •  
  •  [1]     (łączność),
  •  [1]     (przemienność),
  •   oraz  [14]     (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego),
  •   oraz  [15]     (prawo De Morgana).

Ponadto,

  •   wtedy i tylko wtedy, gdy  

Operacje nieskończoneEdytuj

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech     oraz   będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów   są niepuste. Niech   będzie dowolnym zbiorem. Wówczas

  •  [16]
  •  
  •  [17]
  •  [17]
  •  [18]
  •  
  •  

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę w pewnym sensie ilustrującą dlaczego zapis z rodzinami indeksowanymi jest czytelniejszy. Niech   będzie niepustą rodziną (rodzin) zbiorów. Wówczas

 

Na przykład niech   gdzie   oraz   Wtedy z jednej strony:

 

a z drugiej

 

Związek z funkcjamiEdytuj

Dla dowolnej funkcji   dowolnej rodziny indeksowanej   podzbiorów zbioru   oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej   podzbiorów zbioru   zachodzą następujące dwa stwierdzenia:

  •  [19] (inaczej mówiąc, przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazów);
  •  [20] (czyli obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).

W zbiorze potęgowymEdytuj

Zobacz też: zbiór potęgowy.

Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego   (tzw. uniwersum) oraz   jest rodziną wszystkich podzbiorów, tzw. zbiorem potęgowym, zbioru   to

 

jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole’a). Algebra Boole’a ta jest zupełna. Zbiór   jest elementem neutralnym operacji części wspólnej  

Zapis

 

gdy   (tzn. gdy   jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu[21].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj