Otwórz menu główne
Zobacz też: inne znaczenia słowa „przedział”.

Przedziałzbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Definicje formalneEdytuj

Niech   będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech   oraz  

Przedziałem wyznaczonym przez   jest jeden z następujących zbiorów:

  •  przedział (obustronnie) otwarty,
  •   przedział lewostronnie domknięty (prawostronnie otwarty),
  •  przedział (obustronnie) domknięty,
  •  przedział prawostronnie domknięty (lewostronnie otwarty).

Ponadto

  •  przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie otwarty,
  •  przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie domknięty,
  •   przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie otwarty,
  •  przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie domknięty.

Jeśli w zbiorze uporządkowanym   istnieje element największy, to definicja przedziału prawostronnie nieograniczonego jest zbędna, jeśli istnieje element najmniejszy, to definicja przedziału lewostronnie nieograniczonego jest zbędna.

Dla kompletności należy dodać jeszcze definicję przedziału, którego nie można zbudować używając powyższych definicji[1].

  •  przedział obustronnie nieograniczony, czyli cały zbiór  

Niektórzy autorzy używają oznaczeń     itp. dla podkreślenia, że rozpatrywane są przedziały w danym porządku.

Często zamiast   stosuje się oznaczenie   i analogicznie dla przedziałów jednostronnie domkniętych. Należy jednak zwrócić uwagę, że zarówno   jak i   do oznaczenia przedziałów mogą być pomylone z podobnymi notacjami używanymi do oznaczenia par uporządkowanych.

Norma międzynarodowa ISO31-11 przewiduje zamiast oznaczeń   dla przedziałów lewo- i prawo- lub obustronnie otwartych stosowanie następujących oznaczeń  

Stosowanie średnika lub przecinka wynika z zastosowanej konwencji dla separatora dziesiętnego.

PrzykładyEdytuj

  • Najczęściej spotykane przykłady przedziałów to przedziały w zbiorze liczb rzeczywistych:
    •   – zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych mniejszych niż  
    •   – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych   ale mniejszych niż  
    • przedział nieskończony   złożony z wszystkich liczb większych niż  
    •   – przedziały puste
    •   – przedział jednopunktowy {4}
  • Przedziały zależą od porządków, w których są rozważane:   jest zbiorem skończonym (jest to  ), ale   jest zbiorem nieskończonym (jest to zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od -5 a mniejszych niż 5). Zwyczajowo, przedział   pomiędzy liczbami rzeczywistymi   oznacza przedzial w liczbach rzeczywistych, tzn.   podobnie dla innych przedziałów.
  • Rozważmy płaszczyznę   z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez   i   gdzie relacja   jest naturalnym porządkiem na prostej   Wówczas przedział domknięty   jest domkniętym kwadratem o wierzchołkach w   tzn. zbiorem  

WłasnościEdytuj

Wprawdzie definicja przedziału jest poprawna dla dowolnego porządku częściowego, to jednak w praktyce matematycznej przedziały najczęściej rozpatruje się w porządkach liniowych.

Niech   będzie porządkiem liniowym.

  • Część wspólna dwóch przedziałów jest przedziałem.
  • Dopełnienie przedziału jest albo przedziałem albo sumą dwóch przedziałów.
  • Suma dwóch przedziałów o niepustej części wspólnej jest przedziałem.
  • Otwarte przedziały w   tworzą bazę pewnej topologii na   – ta topologia nazywana jest topologią przedziałową na   albo topologią porządkową na  .
  • Topologia porządkowa na zbiorze liczb rzeczywistych jest naturalną topologią na   Bazę tej topologii tworzą przedziały otwarte o końcach wymiernych.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Chodzi o możliwość nazwania przedziałem sumy dwóch przedziałów dającej całą przestrzeń