Przedział (matematyka)

Zobacz też: inne znaczenia słowa „przedział”.

Przedziałzbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Definicje formalneEdytuj

Niech   będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech   oraz  

Przedziałem wyznaczonym przez   jest jeden z następujących zbiorów:

  •  przedział (obustronnie) otwarty,
  •   przedział lewostronnie domknięty (prawostronnie otwarty),
  •  przedział (obustronnie) domknięty,
  •  przedział prawostronnie domknięty (lewostronnie otwarty).

Ponadto

  •  przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie otwarty,
  •  przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie domknięty,
  •   przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie otwarty,
  •  przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie domknięty.

Jeśli w zbiorze uporządkowanym   istnieje element największy, to definicja przedziału prawostronnie nieograniczonego jest zbędna; jeśli istnieje element najmniejszy, to definicja przedziału lewostronnie nieograniczonego jest zbędna.

Dla pełności należy dodać jeszcze następujące dwie definicje:

  •  przedział obustronnie nieograniczony, czyli cały zbiór  
  •  przedział pusty, czyli przedział niezawierający żadnego elementu; takim przedziałem są np.  

OznaczeniaEdytuj

Niektórzy autorzy używają oznaczeń     itp. dla podkreślenia, że rozpatrywane są przedziały w danym porządku.

Często zamiast   stosuje się oznaczenie   i analogicznie dla przedziałów jednostronnie domkniętych. Należy jednak zwrócić uwagę, że zarówno   jak i   do oznaczenia przedziałów mogą być pomylone z podobnymi notacjami używanymi do oznaczenia par uporządkowanych.

Norma międzynarodowa ISO31-11 przewiduje zamiast oznaczeń   dla przedziałów lewo- i prawo- lub obustronnie otwartych stosowanie następujących oznaczeń  

Stosowanie średnika lub przecinka wynika z zastosowanej konwencji dla separatora dziesiętnego.

PrzykładyEdytuj

  • Najczęściej spotykane przykłady przedziałów to przedziały w zbiorze liczb rzeczywistych:
    •   – zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych mniejszych niż  
    •   – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych   ale mniejszych niż  
    • przedział nieskończony   złożony z wszystkich liczb większych niż  
    •   – przedziały puste,
    •   – przedział jednopunktowy  
  • Przedziały zależą od porządków, w których są rozważane:   jest zbiorem skończonym (jest to  ), ale   jest zbiorem nieskończonym (jest to zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od –5 a mniejszych niż 5). Zwyczajowo, przedział   pomiędzy liczbami rzeczywistymi   oznacza przedzial w liczbach rzeczywistych, tzn.   podobnie dla innych przedziałów.
  • Rozważmy płaszczyznę   z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez   i   gdzie relacja   jest naturalnym porządkiem na prostej   Wówczas przedział domknięty   jest domkniętym kwadratem o wierzchołkach w   tzn. zbiorem  

WłasnościEdytuj

Wprawdzie definicja przedziału jest poprawna dla dowolnego porządku częściowego, to jednak w praktyce matematycznej przedziały najczęściej rozpatruje się w porządkach liniowych.

Niech   będzie porządkiem liniowym.

  • Część wspólna dwóch przedziałów jest przedziałem.
  • Dopełnienie przedziału jest albo przedziałem, albo sumą dwóch przedziałów.
  • Suma dwóch przedziałów o niepustej części wspólnej jest przedziałem.
  • Otwarte przedziały w   tworzą bazę pewnej topologii na   – ta topologia nazywana jest topologią przedziałową na   albo topologią porządkową na  .
  • Topologia porządkowa na zbiorze liczb rzeczywistych jest naturalną topologią na   Bazę tej topologii tworzą przedziały otwarte o końcach wymiernych.

Zobacz teżEdytuj