Otwórz menu główne

Nierównośćrelacja porządku między dwoma wyrażeniami.

Jest to więc jedno z następujących wyrażeń logicznych (formuł logicznych):

  • oznaczająca jest mniejsze od
  • oznaczająca jest większe od
  • oznaczająca jest nie większe (mniejsze lub równe) od
  • oznaczająca jest nie mniejsze (większe lub równe) od

Dwie pierwsze nierówności nazywane są ostrymi lub mocnymi; dwie następne nieostrymi lub słabymi. Ostre są przeciwzwrotne.

Często terminem nierówność określa się także negację równości, czyli oznaczającą jest różne (nie jest równe) od

Wyrażenie nazywa się lewą stroną nierówności, – prawą stroną nierówności.

Wyrażenia po obu stronach są stałymi ze zbioru liniowo uporządkowanego albo przy wartościowaniu stają się stałymi z tego zbioru.

Przykłady nierówności:

Pierwsza nierówność jest prawdziwa, druga fałszywa, trzecia może być – w zależności od wartości – prawdziwa lub fałszywa: dla jest prawdziwa, dla jest fałszywa.

Podstawowe własnościEdytuj

Badanie nierówności   sprowadza się do badania równania (lub równości)   Z tego względu nie będziemy się nią tu zajmować.

Pozostałe rodzaje nierówności można rozpatrywać tylko w zbiorach, w których określono uporządkowanie elementów (tzw. zbiorach liniowo uporządkowanych[1]). Poniżej zajmiemy się tylko nierównościami w dziedzinie liczb rzeczywistych  [2].

Podstawowe własności nierówności:

  • Własność trychotomii dla relacji ostrych. Np.: dokładnie jedno z tych zdań jest prawdziwe:      
  • Spójność dla relacji słabych. Np. dla dowolnych   zachodzi  
  • Antysymetryczność ścisła. Np.  
  • Antysymetryczność słaba. Np.  
  • Nierówności mocne są przeciwzwrotne, tzn. że dla żadnego   nie zachodzi   ani  
  • Nierówności słabe są zwrotne. Np.  
  • Przechodniość dla relacji słabych i mocnych. Np. jeśli   i   to  
  • Do obu stron nierówności można dodać lub odjąć tę samą liczbę.   jest równoważne   a także  
  • Nierówności można dodawać stronami. Jeżeli   i   to  
  • Obie strony nierówności można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę dodatnią. Jeżeli   to   jest równoważne nierówności   a także  
  • Obie strony nierówności można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę ujemną, zmieniając znak nierówności na przeciwny. Jeżeli   to   jest równoważne nierówności   a także  
  • Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny:  
  • Niech   Jeżeli   jest funkcją rosnącą, to   Jeżeli   jest funkcją malejącą, to   Innymi słowy, na obie strony nierówności można nałożyć funkcję monotoniczną, zmieniając znak, jeżeli jest to funkcja nierosnąca. Jeżeli nie jest to funkcja ściśle monotoniczna, to mocną nierówność należy zamienić na jej słabą wersję.

Rozwiązywanie nierównościEdytuj

Rozwiązywanie nierówności to znalezienie wszystkich wartości zmiennych użytych w nierówności, dla których jest ona spełniona. Zmienne te nazywane są niewiadomymi (oprócz nich mogą występować parametry, patrz niżej). Najprostsze nierówności rozwiązuje się, przekształcając je na prostsze, równoważne.

Nierówność liniowaEdytuj

Najprostszą nierównością jest nierówność liniowa (nierówność stopnia pierwszego), tj. nierówność, po której obu stronach występują funkcje liniowe.

Przykład: aby rozwiązać nierówność

 

dodajemy do obu stron nierówności 15:

 

odejmujemy od obu stron nierówności  

 

dzielimy obie strony nierówności przez   zmieniając jej znak:

 

Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba mniejsza od -15, tj. każda liczba z przedziału  

Nierówność kwadratowaEdytuj

Nierówność kwadratowa (nierówność stopnia drugiego) jest nierównością postaci

  dla   przy czym znak   w nierówności kwadratowej można zastąpić którymś ze znaków  

W dziedzinie liczb rzeczywistych rozwiązaniem nierówności kwadratowej może być:

  • cały zbiór liczb rzeczywistych, np.  
  • przedział ograniczony (obustronnie otwarty albo obustronnie domknięty), np.  
  • przedział zdegenerowany (jedna liczba), np.  
  • suma dwu rozłącznych przedziałów nieograniczonych (obu jednostronnie otwartych albo obu jednostronnie domkniętych), np.  
  • zbiór liczb rzeczywistych z wykluczeniem jednej liczby, np.  
  • zbiór pusty, np.  

Nierówność algebraicznaEdytuj

Nierówności liniowe i kwadratowe to szczególne przypadki nierówności algebraicznych, tj. nierówności postaci   (ewentualnie  ) gdzie   jest wielomianem. Stopniem nierówności nazywa się stopień wielomianu  

Aby rozwiązać nierówność algebraiczną, należy rozwiązać równanie algebraiczne   i sprawdzić, czy nierówność zachodzi pomiędzy poszczególnymi miejscami zerowymi, zwracając uwagę na zachowanie   w nieskończoności.

Przykładowo nierówność

 

jest spełniona dla   Zbadajmy zachowanie wielomianu pomiędzy pierwiastkami:

  • dla   lewa strona jest ujemna; nierówność nie zachodzi,
  • dla   lewa strona jest dodatnia; nierówność zachodzi,
  • dla   lewa strona jest ujemna; nierówność nie zachodzi,
  • dla   lewa strona jest dodatnia; nierówność zachodzi.

Tak więc  

Taki sposób postępowania jest przydatny dla nierówności typu   gdzie   jest funkcją ciągłą. Należy wyznaczyć wszystkie miejsca zerowe funkcji   i zbadać jej zachowanie między nimi.

Można mówić o nierówności liniowej, kwadratowej, algebraicznej itp. ze względu na wybrane wiadome. Na przykład nierówność   jest liniowa ze względu na niewiadome   i  

Nierówności z funkcjami wymiernymi doprowadza się do nierówności algebraicznych, korzystając z własności: nierówność

  dla  

jest równoważna nierówności

 

Nierówności trygonometryczneEdytuj

Nierówności trygonometryczne to nierówności zawierające funkcje trygonometryczne, np.

 

Ich rozwiązaniem jest zwykle nieskończona suma przedziałów, np. w tym przypadku  

Nierówności wykładnicze i logarytmiczneEdytuj

Nierówności wykładnicze najczęściej przekształca się do postaci

 

która, po zlogarytmowaniu, jest równoważna nierówności

  dla  

lub

  dla  

Natomiast nierówności logarytmiczne przekształca się do postaci

 

która jest równoważna postaci

  dla  

lub

  dla  

Nierówności z parametremEdytuj

Jeżeli jedną lub kilka zmiennych uznaje się za stałą, to mówi się o nierówności z parametrem (parametrami).

Przykładem może być  

Jeżeli   jest parametrem, to:

  • dla   nierówność nie ma rozwiązań,
  • dla   jedynym rozwiązaniem nierówności jest  
  • dla   rozwiązaniem nierówności są liczby z przedziału  

Jeżeli   jest parametrem, to rozwiązaniem nierówności są liczby z przedziału  

Dowodzenie nierównościEdytuj

Dowodzenie nierówności polega na przedstawieniu dowodu, że nierówność jest spełniona dla wszystkich rozważanych liczb (zwykle rzeczywistych lub dodatnich)

PrzekształceniaEdytuj

Najczęściej przy dowodzeniu nierówności wykorzystuje się przekształcenia algebraiczne i trygonometryczne.

Przykład: udowodnić, że dla każdego   zachodzi

 

Mnożąc obie strony nierówności przez 2, otrzymujemy

 

co jest równoważne nierówności

 

a suma kwadratów liczb rzeczywistych jest zawsze nieujemna.

Redukcja do innych nierównościEdytuj

Często dowodząc nierówności, korzysta się z ogólniejszej, której prawdziwość została już stwierdzona. Do nierówności szczególnie używanych w tym celu zalicza się:

Użycie metod analizy matematycznejEdytuj

Ważnym narzędziem używanym do dowodzenia nierówności jest rachunek różniczkowy. Pozwala on badać monotoniczność funkcji.

Innym źródłem nierówności jest rachunek całkowy, przykładem może być nierówność Younga.

Nierówności geometryczneEdytuj

Nierówności zawierające długości boków trójkąta często udowadnia się, stosując podstawienie   Wówczas       Z nierówności trójkąta wynika, że   i nierówność sprowadza się do nierówności dla liczb dodatnich.

Do ważniejszych nierówności w trójkącie oprócz nierówności trójkąta należą   i nierówność Erdősa.

Nierówności podwójneEdytuj

 
Obszar dopuszczalny w programowaniu liniowym jest zdefiniowany układem nierówności liniowych.

Zapis   oznacza, że   i   Z przechodniości wynika, że   Do wszystkich członów nierówności można dodać/odjąć tę samą liczbę, lub pomnożyć/podzielić przez tę samą liczbę, ewentualnie zmieniając znak. Przykładowo   jest równoważne  

Ten zapis może być uogólniony dla dowolnej liczby członów:   oznacza, że   dla   Z przechodniości, warunek ten jest równoważny   dla wszystkich  

Koniunkcję kilku nierówności nazywa się układem nierówności.

Oznaczenie różnicy rzędów wielkościEdytuj

Czasami (np. w fizyce) stosuje się zapisy oznaczające, że jedna wielkość jest większa od innej, zwykle o kilka rzędów wielkości:

  • Zapis   oznacza, że   jest znacznie większe niż  
  • Zapis   oznacza, że   jest znacznie mniejsze niż  

Przykładem może być zapis   oznaczający, że rozważana prędkość jest znacznie mniejsza od prędkości światła i w związku z tym zamiast praw mechaniki relatywistycznej można stosować prawa mechaniki klasycznej.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Ogólniej zbiór może być częściowo uporządkowany.
  2. Należy pamiętać, że dziedziną nierówności może być dowolny zbiór, np. dziedziną nierówności   jest zbiór macierzy rzeczywistych. Obiekty po lewej i prawej stronie nierówności muszą pochodzić ze zbioru uporządkowanego.