Nierówność Jensena

Nierówność Jensena – nierówność między wartością funkcji wypukłej określonej dla kombinacji wypukłej pewnych argumentów a wypukłą kombinacją wartości funkcji w tych argumentach, przy czym obie kombinacje wypukłe mają te same współczynniki. Nazwa nierówności pochodzi od nazwiska Johana Jensena, duńskiego matematyka i inżyniera.

TwierdzenieEdytuj

Dla dowolnych liczb   nazywanych wagami, spełniających warunek:

 

dla dowolnego przedziału   dowolnych liczb

 

i dowolnej funkcji   wypukłej w   prawdziwa jest nierówność:

 

Dla funkcji wklęsłych prawdziwa jest nierówność w przeciwną stronę.

DowódEdytuj

Dowód indukcyjny ze względu na  

Dla   nierówność jest oczywista. Dla   uzyskujemy definicję funkcji wypukłej.

Niech   Założenie indukcyjne jest następujące:

 

gdzie   należą do przedziału   oraz  

Teza indukcyjna to:

 

gdzie   należą do przedziału   oraz  

Niech   oraz   Bez straty ogólności można założyć, że   Wówczas:

 
 

Korzystając z założenia indukcyjnego:

 

Z definicji funkcji wypukłej:

 
 

co kończy dowód.

Funkcja wklęsłaEdytuj

Aby udowodnić nierówność gdy   jest funkcją wklęsłą, wystarczy zauważyć, że   jest funkcją wypukłą. Stąd oraz nierówności Jensena:

 

co jest równoważne nierówności

 

UwagiEdytuj

  • W szczególności dla   nierówność przyjmuje postać:
     
  • Korzystając z nierówności Jensena, można udowodnić dużą liczbę nierówności, na przykład nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną. Nierówność ma też wiele zastosowań w fizyce i rachunku prawdopodobieństwa.

Nierówność Jensena w rachunku prawdopodobieństwaEdytuj

Niech   będzie funkcją wypukłą,   będzie zmienną losową, oraz   będą całkowalne. Wówczas dla wartości oczekiwanej nierówność ma postać:

  •  

Jeżeli ponadto   jest odpowiednim σ-ciałem zdarzeń, to dla warunkowej wartości oczekiwanej nierówność ma postać:

  •  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj