Niech
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
prawdopodobieństwem warunkowym
P
A
.
{\displaystyle P_{\boldsymbol {A}}.}
X
∈
L
1
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle X\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
zmienną losową ,
gdzie
L
1
(
Ω
,
F
,
P
)
:=
{
X
:
Ω
→
R
:
X
{\displaystyle L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},P):=\{X:\Omega \to \mathbb {R} :X}
jest mierzalna
∧
E
|
X
|
<
+
∞
}
.
{\displaystyle \land \ \mathbb {E} |X|<+\infty \}.}
A
∈
F
{\displaystyle \mathbf {A} \in {\mathcal {F}}}
P
(
A
)
>
0.
{\displaystyle \mathbf {P} (A)>0.}
Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem zdarzenia A nazywamy liczbę:
E
(
X
|
A
)
=
∫
Ω
X
(
ω
)
d
P
A
{\displaystyle \mathbb {E} (X|A)=\int \limits _{\Omega }X(\omega )d\mathbb {P} _{A}}
Jednak znacznie poręczniejszy w użyciu jest następujący, równoważny wzór:
E
(
X
|
A
)
=
1
P
(
A
)
∫
A
X
(
ω
)
d
P
{\displaystyle \mathbb {E} (X|A)={\frac {1}{P(A)}}\int \limits _{A}X(\omega )d\mathbb {P} }
Niech
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
σ-ciałem . Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem σ-ciała
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
nazywamy zmienną losową spełniającą warunki: 1)
E
(
X
|
G
)
{\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
mierzalna ,
2)
∫
A
E
(
X
|
G
)
d
P
=
∫
A
X
d
P
,
{\displaystyle \int \limits _{A}E(X|{\mathcal {G}})d\mathbb {P} =\int \limits _{A}Xd\mathbb {P} ,}
A
∈
G
.
{\displaystyle A\in {\mathcal {G}}.}
Dla dowolnego σ-ciała
G
⊆
F
{\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}
X
∈
L
1
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle X\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
E
(
X
|
G
)
{\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})}
Szczególny przypadek poprzedniego. Niech
Ω
=
⋃
i
∈
I
A
i
,
{\displaystyle \Omega =\bigcup _{i\in I}A_{i},}
A
i
∩
A
j
=
∅
,
i
≠
j
,
{\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ,i\neq j,}
G
=
σ
(
{
A
i
:
i
∈
I
}
)
.
{\displaystyle {\mathcal {G}}=\sigma (\{A_{i}:i\in I\}).}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
E
(
X
|
G
)
=
∑
i
∈
I
E
(
X
|
A
i
)
⋅
1
A
i
{\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})=\sum _{i\in I}\mathbb {E} (X|A_{i})\cdot \mathbf {1} _{A_{i}}}
Spełnia ona oba warunki warunkowej wartości oczekiwanej pod warunkiem σ-ciała.
Niech
X
,
Y
∈
L
1
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle X,Y\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
G
⊆
F
{\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}
Jeśli
X
{\displaystyle X}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
E
(
X
|
G
)
=
X
,
{\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})=X,}
X
⩽
Y
⇒
E
(
X
|
G
)
⩽
E
(
Y
|
G
)
,
{\displaystyle X\leqslant Y\ \Rightarrow \ \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})\leqslant \mathbb {E} (Y|{\mathcal {G}}),}
a
,
b
∈
R
⇒
E
(
a
X
+
b
Y
|
G
)
=
a
E
(
X
|
G
)
+
b
E
(
Y
|
G
)
,
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \ \Rightarrow \ \mathbb {E} (aX+bY|{\mathcal {G}})=a\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})+b\mathbb {E} (Y|{\mathcal {G}}),}
|
E
(
X
|
G
)
|
⩽
E
(
|
X
|
|
G
)
,
{\displaystyle |\ \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})\ |\leqslant \mathbb {E} (\ |X|\ |{\mathcal {G}}),}
Dla dowolnego
H
⊆
G
{\displaystyle {\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {G}}}
E
(
X
|
H
)
=
E
(
E
(
X
|
H
)
|
G
)
=
E
(
E
(
X
|
G
)
|
H
)
,
{\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {H}})=\mathbb {E} {\bigg (}\mathbb {E} (X|{\mathcal {H}})\ {\bigg |}\ {\mathcal {G}}{\bigg )}=\mathbb {E} {\bigg (}\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})\ {\bigg |}\ {\mathcal {H}}{\bigg )},}
X
n
→
X
⟹
E
(
X
n
|
G
)
→
E
(
X
|
G
)
,
{\displaystyle X_{n}\to X\ \ \Longrightarrow \ \ \mathbb {E} (X_{n}|{\mathcal {G}})\to \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}}),}
E
(
E
(
X
|
G
)
)
=
E
X
,
{\displaystyle \mathbb {E} {\bigg (}\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}}){\bigg )}=\mathbb {E} X,}
Jeśli
X
{\displaystyle X}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
(
X
)
{\displaystyle (X)}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
E
(
X
|
G
)
=
E
X
,
{\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})=\mathbb {E} X,}
Jeśli
Y
{\displaystyle Y}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
E
(
Y
X
|
G
)
=
Y
E
(
X
|
G
)
.
{\displaystyle \mathbb {E} (YX|{\mathcal {G}})=Y\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}}).}
