Warunkowa wartość oczekiwana

Warunkowa wartość oczekiwana – podstawowe pojęcie rachunku prawdopodobieństwa. Jest to odmiana tradycyjnego pojęcia wartości oczekiwanej, znanej czy to z rachunku prawdopodobieństwa, czy to ze statystyki. Różnica jest taka, że obliczamy ją pod warunkiem, że pewne zdarzenie już zaszło, a więc zamiast standardowego prawdopodobieństwa używamy prawdopodobieństwa warunkowego.

ZałożeniaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią probabilistyczną z zadanym na niej prawdopodobieństwem warunkowym   Niech również   będzie zmienną losową,

gdzie   jest mierzalna  

  jest zdarzeniem takim, że  

DefinicjeEdytuj

  • Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem zdarzenia A nazywamy liczbę:
 

Jednak znacznie poręczniejszy w użyciu jest następujący, równoważny wzór:

 
  • Niech   będzie σ-ciałem. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem σ-ciała   nazywamy zmienną losową spełniającą warunki:

1)   jest  -mierzalna,

2)   dla dowolnego  

Dla dowolnego σ-ciała   i zmiennej losowej całkowalnej   istnieje   i jest ona wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do zdarzeń o prawdopodobieństwie zero.

  • Szczególny przypadek poprzedniego.

Niech   gdzie   i niech   Wówczas warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem σ-ciała   jest równa:

 

Spełnia ona oba warunki warunkowej wartości oczekiwanej pod warunkiem σ-ciała.

WłasnościEdytuj

Niech   i niech   będzie σ-ciałem. Wówczas:

  •  
  •  
  •  
  • Dla dowolnego   mamy:
 
  •  
  •  
  • Jeśli   jest niezależna od   (tzn. σ  i   są niezależne), to:
 
  • Jeśli   jest ograniczoną zmienną  -mierzalną, to:
 

Zobacz teżEdytuj

LiteraturaEdytuj