Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

Spis treści

Definicja formalnaEdytuj

Jeżeli   jest zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej   o wartościach w  , to wartością oczekiwaną zmiennej losowej   nazywa się liczbę

 [1]

o ile ona istnieje, tzn. jeżeli:

 [2].

Zmienna dyskretnaEdytuj

W przypadku, gdy zmienna losowa   ma rozkład dyskretny i przyjmuje tylko skończenie wiele wartości   z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio  , to z powyższej definicji wynika następujący wzór na wartość oczekiwaną  

 [3].

Jeżeli zmienna   przyjmuje nieskończenie ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje   w miejsce   (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).

WłaściwościEdytuj

Jeśli   jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa  , to jej wartość oczekiwana wynosi

 .

Jeżeli   jest funkcją mierzalną, to

 .

Jeśli istnieją   oraz  , to:

  •  , gdzie   jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
  •   (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
  • jeżeli  niezależne, to  ,
  • jeżeli   prawie wszędzie, to  ,
  •  .

W mechanice kwantowejEdytuj

Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator   dla stanu kwantowego układu opisywanego znormalizowaną funkcją falową   wynosi  , gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.

W notacji Diraca wzór ten można zapisać:  .

Nieoznaczoność wartości oczekiwanej  , czyli wariancja  , wynosi  .

Przypisy

  1. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 82.
  2. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 81.
  3. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 85.

BibliografiaEdytuj

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.