Otwórz menu główne

Wartość oczekiwana

wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego

Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

Definicja formalnaEdytuj

Jeżeli   jest zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej   o wartościach w   to wartością oczekiwaną zmiennej losowej   nazywa się liczbę

 [1] o ile ona istnieje, tzn. jeżeli:
 [2].

Zmienna dyskretnaEdytuj

W przypadku, gdy zmienna losowa   ma rozkład dyskretny i przyjmuje tylko skończenie wiele wartości   z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio   to z powyższej definicji wynika następujący wzór na wartość oczekiwaną  

 [3].

Jeżeli zmienna   przyjmuje nieskończenie, ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje   w miejsce   (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).

WłasnościEdytuj

Jeśli   jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa   to jej wartość oczekiwana wynosi

 

Jeżeli   jest funkcją mierzalną, to

 

Jeśli istnieją   oraz   to:

  •   gdzie   jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
  •   (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
  • jeżeli  niezależne, to  
  • jeżeli   prawie wszędzie, to  
  •  

W mechanice kwantowejEdytuj

Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator   dla stanu kwantowego układu opisywanego znormalizowaną funkcją falową   wynosi   gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.

W notacji Diraca wzór ten można zapisać:

 

Nieoznaczoność wartości oczekiwanej   czyli wariancja   wynosi

 

PrzypisyEdytuj

  1. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 82.
  2. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 81.
  3. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 85.

BibliografiaEdytuj

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.