Otwórz menu główne

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (gęstość zmiennej losowej) – nieujemna funkcja rzeczywista, określona dla rozkładu prawdopodobieństwa, taka że całka z tej funkcji, obliczona w odpowiednich granicach, jest równa prawdopodobieństwu wystąpienia danego zdarzenia losowego. Funkcję gęstości definiuje się dla rozkładów prawdopodobieństwa jednowymiarowych i wielowymiarowych. Rozkłady mające gęstość nazywane są rozkładami ciągłymi.

Spis treści

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie rozkładem prawdopodobieństwa w przestrzeni   (w szczególności na prostej rzeczywistej  ).

Gęstością rozkładu prawdopodobieństwa   nazywa się nieujemną funkcję borelowską   taką że dla każdego zbioru borelowskiego   zachodzi równość:

 

tzn. całka z funkcji   obliczona na zbiorze   jest równa prawdopodobieństwu   przypisanemu zbiorowi  

W szczególnych przypadkach konieczne jest użycie całki Lebesgue’a.

Unormowanie gęstościEdytuj

Tw. 1 (o unormowaniu gęstości) Jeśli   jest gęstością rozkładu   to w szczególności, na mocy powyższej definicji:

 

tzn. całka z funkcji gęstości, obliczona na całej przestrzeni   jest równa 1.

Tw. 2 (o istnieniu rozkładu dla danej gęstości)

Każda nieujemna funkcja borelowska   spełniająca powyższy warunek, jest gęstością jakiegoś rozkładu prawdopodobieństwa  

Gęstość a dystrybuanta – przypadek 1-wymiarowyEdytuj

Tw. 3 (o obliczaniu dystrybuanty)

Załóżmy, że   jest gęstością rozkładu   Wówczas dystrybuantę   rozkładu   można wyznaczyć z gęstości

 

Jeśli więc istnieje gęstość, to za jej pomocą można w prosty sposób wyrazić dystrybuantę rozkładu. Jest to przydatne, gdy dystrybuanty nie daje się wyrazić w sposób elementarny (np. dla rozkładu normalnego).

Tw. 4. Warunkiem koniecznym i wystarczającym na istnienie gęstości dla danego rozkładu   jest bezwzględna ciągłość jego dystrybuanty.

Sama ciągłość nie jest warunkiem wystarczającym – istnieją dystrybuanty ciągłe, które nie mają gęstości (np. dystrybuanta Cantora).

Tw. 5. Jeśli   jest dystrybuantą, to jest ona prawie wszędzie różniczkowalna oraz jeśli   (określona prawie wszędzie) jest prawie wszędzie różna od zera, to jest ona gęstością.

Gęstość a wartość oczekiwana – przypadek 1-wymiarowyEdytuj

Tw. 6. Jeżeli   jest jednowymiarową zmienną losową o rozkładzie ciągłym z gęstością   to jej wartość oczekiwana wyraża się wzorem:

 

Gęstość sumy zmiennych losowychEdytuj

Tw. 7

a) Jeżeli   i  niezależnymi zmiennymi losowymi oraz przynajmniej jedna ma rozkład ciągły, to ich suma ma rozkład ciągły.

b) Jeśli ponadto obydwie zmienne losowe mają rozkłady ciągłe, to gęstość ich sumy jest splotem ich gęstości.

Własności gęstości – przypadek 2-wymiarowyEdytuj

Objętość bryły ograniczonej funkcją gęstościEdytuj

Tw. 8. Objętość bryły ograniczonej od góry funkcją gęstości dwóch zmiennych, a od dołu płaszczyzną   jest zawsze równe   tzn.

 

Wkład do całki z wartości funkcji równych   wynosi   dlatego można zawęzić powyższe całkowanie do niezerowych obszarów funkcji gęstości. Np. jeśli obszar ten ma postać prostokąta   to

 

Prawdopodobieństwo wystąpienia wartości z pewnego obszaru płaszczyznyEdytuj

Aby obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania wyniku z pewnego obszaru   płaszczyzny, to trzeba dokonać całkowania z funkcji gęstości po tym obszarze, tj.

 

Jeżeli np. liczymy sumaryczne prawdopodobieństwo otrzymania wartości należącej do prostokąta   to jest równa wartości całki z funkcji gęstości oznaczonej granicami przedziałów:

 

Twierdzenie o niezależności zmiennych losowychEdytuj

Zmienne losowe   posiadające swoje funkcje gęstości

 
 

są niezależne, jeżeli funkcja   jest gęstością wektora losowego   czyli prawdziwe jest równanie:

 

Mechanika kwantowaEdytuj

W mechanice klasycznej stan układu fizycznego opisuje się np. przez podanie wzajemnych położeń i pędów poszczególnych części układu. Układy fizyczne uznaje się za identyczne, gdy złożone są z takich samych cząstek, mających odpowiednio takie same wzajemne położenia i pędy. Mechanika klasyczna opiera się tu na założeniu, że położenia i pędy można w zasadzie dowolnie dokładnie zmierzyć. Jednak nie jest to prawdą w przypadku, gdy mamy do czynienia z cząstkami o małych masach. W tym wypadku dokładniejszy opis rzeczywistego zachowania się układów fizycznych daje mechanika kwantowa.

W mechanice kwantowej z konieczności rezygnuje się z jednoczesnego przypisywania cząstkom położeń i pędów. W zamian za to stan układu fizycznego opisywany jest za pomocą funkcji falowej. Układy fizyczne są uznawane za identyczne, jeśli przypisuje się im identyczne funkcje falowe. Jednak pomiar wielkości mierzalnej (tzw. obserwabli) przeprowadzany na identycznych układach może prowadzić do różnych wyników. Np. mierząc położenia, pędy, energie cząstek opisywanych taką samą funkcją falową   otrzymamy wyniki o pewnym rozkładzie losowym, przy tym np. gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie   jest równa kwadratowi modułu funkcji falowej:

 

gdzie   oznacza sprzężenie zespolone.

W ogólności wyniki każdego pomiaru dokonywanego na identycznych układach są wielowymiarową zmienną losową o określonym rozkładzie prawdopodobieństwa.