Ciągłość bezwzględna

Ciągłość bezwzględna, absolutna – jedno z uogólnień, obok całki Lebesgue’a, związku między dwiema centralnymi operacjami analizy matematycznejróżniczkowaniem i całkowaniem – wyrażonego podstawowym twierdzeniem rachunku całkowego. Dla funkcji o wartościach rzeczywistych określonych na prostej rzeczywistej wyróżnia się dwa powiązane ze sobą pojęcia: bezwzględną ciągłość funkcji oraz bezwzględną ciągłość miar, które uogólniane są w różnych kierunkach. Zwykła pochodna funkcji ma związek z pochodną Radona-Nikodýma, zwaną również gęstością miary.

Ciągłość bezwzględna funkcjiEdytuj

Może się zdarzyć, że funkcja ciągła   jest różniczkowalna prawie wszędzie na   jej pochodna   jest całkowalna w sensie Lebesgue’a, ale całka   różni się od przyrostu   Dzieje się tak, na przykład, dla funkcji Cantora, co oznacza, że funkcja ta nie jest bezwzględnie ciągła. Tak więc bezwzględna ciągłość funkcji jest własnością gładkości silniejszą od ciągłości czy jednostajnej ciągłości.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie przedziałem na prostej   Funkcja   jest bezwzględnie ciągła na   jeżeli dla każdej liczby dodatniej   istnieje liczba dodatnia   taka, że o ile skończony ciąg parami rozłącznych podprzedziałów   przedziału   spełnia[1]

 

to

 

Zbiór funkcji bezwzględnie ciągłych na przedziale   oznacza się niekiedy (od ang. absolutely continuous) symbolem  

Definicje równoważneEdytuj

Dla funkcji   o wartościach rzeczywistych określonej na zbiorze zwartym   następujące warunki są równoważne[2]:

  1.   jest bezwzględnie ciągła;
  2.   ma pochodną   prawie wszędzie, która jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz dla wszystkich   zachodzi
     
  3. istnieje na   funkcja całkowalna w sensie Lebesgue’a taka, że dla wszystkich   jest
     

Jeżeli powyższe równoważne warunki są spełnione, to musi zachodzić   prawie wszędzie. Równoważność między 1. a 3. znana jest jako podstawowe twierdzenie rachunku całkowego Lebesgue’a udowodnionego przez Henriego Lebesgue’a[3]. Równoważna definicja w języku miar znajduje się w sekcji Związek między dwoma pojęciami ciągłości bezwzględnej.

WłasnościEdytuj

  • Suma i różnica dwóch bezwzględnie ciągłych funkcji także jest bezwzględnie ciągła. Jeżeli dwie funkcje określone są na ograniczonym przedziale domkniętym, to ich iloczyn również jest ciągły bezwzględnie[4].
  • Jeżeli funkcja bezwzględnie ciągła jest określona na ograniczonym przedziale domkniętym i nigdzie nie przyjmuje zera, to jej odwrotność również jest bezwzględnie ciągła[5].
  • Każda funkcja bezwzględnie ciągła jest jednostajnie ciągła, a stąd ciągła. Każda funkcja ciągła lipschitzowsko jest bezwzględnie ciągła[6]. Żadnej z tych implikacji nie można odwrócić.
  • Jeżeli   jest bezwzględnie ciągła, to ma ona ograniczone wahanie na przedziale  [7].
  • Jeżeli   jest bezwzględnie ciągła, to spełnia ona warunek Łuzina, tj. dla każdego   takiego, że   zachodzi   gdzie   oznacza miarę Lebesgue’a na  
  • Funkcja   jest bezwzględnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła, ma ograniczone wahanie i spełnia warunek Łuzina.

PrzykładyEdytuj

Następujące funkcje są wszędzie ciągłe, ale nie bezwzględnie ciągłe:

  • funkcja Cantora,
  • funkcja określona na skończonym przedziale zawierającym początek dana wzorem
     
  • funkcja   na przedziale nieograniczonym.

UogólnieniaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią metryczną, zaś   będzie przedziałem na prostej rzeczywistej   Funkcja   jest bezwzględnie ciągła na   jeżeli dla każdej liczby dodatniej   istnieje liczba dodatnia   taka, że o ile skończony ciąg parami rozłącznych podprzedziałów   przedziału   spełnia

 

to

 

Zbiór wszystkich funkcji bezwzględnie ciągłych   w   oznaczany jest symbolem   Dalszym uogólnieniem jest przestrzeń   krzywych   takich, że[8]

 

dla pewnego   w przestrzeni Lp(I).

Własności uogólnieńEdytuj

  • Każda funkcja bezwzględnie ciągła jest jednostajnie ciągła, a więc i ciągła. Każda funkcja ciągła lipschitzowsko jest bezwzględnie ciągła.
  • Jeżeli   jest bezwzględnie ciągła, to ma ograniczone wahanie na  
  • Dla   jej pochodna metryczna istnieje dla  -prawie wszędzie w   a pochodna metryczna jest najmniejszym   takim, że[9]
     

Ciągłość bezwzględna miarEdytuj

DefinicjaEdytuj

Miara   określona na podzbiorach borelowskich prostej liczb rzeczywistych jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue’a   (jest zmajoryzowana przez  ), jeżeli   dla każdego zbioru   dla którego   Własność tę zapisuje się symbolem  

W większości zastosowań, jeżeli o mierze mówi się, że jest „bezwzględnie ciągła” (bez wskazywania miary względem której jest bezwzględnie ciągła), to ma się zwykle na myśli bezwzględną ciągłość względem miary Lebesgue’a. To samo tyczy się   dla wszystkich  

Równoważne definicjeEdytuj

Następujące warunki nałożone na skończoną miarę   określone na podzbiorach borelowskich prostej rzeczywistej są równoważne[10]:

  1. miara   jest bezwzględnie ciągła;
  2. dla każdej liczby dodatniej   istnieje dodatnia liczba   taka, że   dla każdego zbioru borelowskiego   miary Lebesgue’a mniejszej niż  
  3. istnieje funkcja   całkowalna w sensie Lebesgue’a na prostej rzeczywistej taka, że dla każdego podzbioru   prostej rzeczywistej zachodzi
     

Równoważną definicję w języku funkcji można znaleźć w sekcji Związek między dwoma pojęciami ciągłości bezwzględnej. Każda inna funkcja spełniająca 3. jest równa   prawie wszędzie. Funkcja taka nazywana jest pochodną Radona-Nikodýma lub gęstością bezwzględnie ciągłej miary   Równoważności między 1., 2. a 3. są spełnione również dla   dla wszystkich   Miary bezwzględnie ciągłe na   są zatem dokładnie tymi, które mają gęstości; w szczególności bezwzględnie ciągłe miary prawdopodobieństwa to dokładnie te miary, które mają gęstości.

UogólnieniaEdytuj

Jeśli   oraz   są dwiema miarami określonymi na tej samej przestrzeni mierzalnej, to o   mówi się, że jest bezwzględnie ciągła względem  , lub zmajoryzowana przez   jeżeli   dla każdego zbioru   dla którego  [11]. Własność tę zapisuje się symbolicznie jako  

Wprost z tej definicji wynika, iż jeśli   to nośnik miary   zawiera się w nośniku miary  

Bezwzględna ciągłość miar jest zwrotna i przechodnia, ale nie jest antysymetryczna, zatem jest ona praporządkiem, lecz nie porządkiem częściowym. Jeśli   oraz   to o miarach   i   mówi się, że są równoważne. W ten sposób bezwzględna ciągłość wprowadza porządek częściowy takich klas równoważności.

Jeżeli   jest miarą ze znakiem lub zespoloną, to mówi się, że   jest bezwzględnie ciągła względem   jeśli jej wahanie   spełnia   równoważnie, gdy każdy zbiór   dla którego   jest zbiorem  -miary zero.

Twierdzenie Radona-Nikodýma[12] zapewnia, że jeżeli   jest bezwzględnie ciągła względem   i obie miary są σ-skończone, to   ma gęstość, lub pochodną Radona-Nikodýma, względem   co oznacza, że istnieje  -mierzalna funkcja   przyjmująca wartości w   oznaczana   taka, że dla każdego zbioru  -mierzalnego   zachodzi

 

Miary osobliweEdytuj

Zgodnie z twierdzeniem Lebesgue’a o rozkładzie[13] każda miara może być rozłożona na sumę miar bezwzględnie ciągłych i osobliwych.

Związek między dwoma pojęciami ciągłości bezwzględnejEdytuj

Miara skończona   określona na podzbiorach borelowskich prostej rzeczywistych jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue’a wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja

 

jest lokalnie rzeczywistą funkcją bezwzględnie ciągłą. Innymi słowy funkcja jest lokalnie bezwzględnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna dystrybucyjna jest miarą, która jest bezwzględnie ciągłą względem miary Lebesgue’a. Jeżeli miara   jest bezwzględnie ciągłą, to pochodna Radon-Nikodýma   jest prawie wszędzie równa pochodnej  [14].

Ogólniej, o mierze   zakłada się, że jest lokalnie skończona (zamiast tylko skończona), a   jest dana jest wzorem

 

Wówczas   jest miarą Lebesgue’a-Stieltjesa generowaną przez  [15]. Nadal zachodzi związek między dwoma pojęciami bezwzględnej ciągłości[16].

PrzypisyEdytuj

  1. Royden 1988, rozdz. 5.4, strona 108; Nielsen 1997, definicja 15.6 na stronie 251; Athreya i Lahiri 2006, definicje 4.4.1, 4.4.2 na stronach 128, 129. W pierwszych dwóch książkach o przedziale   zakłada się, że jest ograniczony i domknięty, ale nie czyni się tego w ostatniej.
  2. Nielsen 1997, twierdzenie 20.8 na stronie 354; także Royden 1988, rozdz. 5.4, strona 110 oraz Athreya i Lahiri 2006, twierdzenia 4.4.1, 4.4.2 na stronach 129, 130.
  3. Athreya i Lahiri 2006, przed twierdzeniem 4.4.1 na stronie 129.
  4. Royden 1988, zadanie 5.14(a, b) na stronie 111.
  5. Royden 1988, zadanie 5.14(c) na stronie 111.
  6. Royden 1988, zadanie 5.20(a) na stronie 112.
  7. Royden 1988, lemat 5.11 na stronie 108.
  8. Ambrosio, Gigli i Savaré 2005, definicja 1.1.1 na stronie 23.
  9. Ambrosio, Gigli i Savaré 2005, twierdzenie 1.1.2 na stronie 24.
  10. Równoważność między 1. a 2. jest przypadkiem szczególnym Nielsen 1997, stwierdzenie 15.5 na stronie 251; równoważność między 1. a 3. jest przypadkiem szczególnym twierdzenia Radona-Nikodýma, zob. Nielsen 1997, twierdzenie 15.4 na stronie 251, czy Athreya i Lahiri 2006, punkt (ii) twierdzenia 4.1.1 na stronie 115.
  11. Nielsen 1997, definicja 15.3 na stronie 250; Royden 1988, rozdz. 11.6, strona 276; Athreya i Lahiri 2006, definicja 4.1.1 na stronie 113.
  12. Royden 1988, twierdzenie 11.23 na stronie 276; Nielsen 1997, twierdzenie 15.4 na stronie 251; Athreya i Lahiri 2006, punkt (ii) twierdzenia 4.1.1 na stronie 115.
  13. Royden 1988, stwierdzenie 11.24 na stronie 278; Nielsen 1997, twierdzenie 15.14 na stronie 262; Athreya i Lahiri 2006, punkt (i) twierdzenia 4.1.1 na stronie 115.
  14. Royden 1988, zadanie 12.17(b) na stronie 303.
  15. Athreya i Lahiri 2006, rozdz. 1.3.2, strona 26.
  16. Nielsen 1997, stwierdzenie 15.7 na stronie 252; Athreya i Lahiri 2006, twierdzenie 4.4.3 na stronie 131; Royden 1988, zadanie 12.17(a) na stronie 303.

BibliografiaEdytuj

  • Luigi Ambrosio, Nicola Gigli, Guiseppe Savaré: Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, 2005. ISBN 3-7643-2428-7.
  • Krishna B. Athreya, Soumendra N. Lahiri: Measure theory and probability theory. Springer, 2006. ISBN 0-387-32903-X.
  • Ole A. Nielsen: An introduction to integration and measure theory. Wiley-Interscience, 1997. ISBN 0-471-59518-7.
  • H.L. Royden: Real Analysis. Wyd. III. Collier Macmillan, 1988. ISBN 0-02-404151-3.
  • V.I. Bogachev: Measure theory Vol. 1. Springer, 2007. ISBN 978-3-540-34513-8.
  • Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1976.