Otwórz menu główne

Całka Lebesgue’a

konstrukcja matematyczna rozszerzająca pojęcie całki Riemanna
Ten artykuł dotyczy ścisłej matematycznej definicji całki Lebesgue’a. Zobacz też: poglądowe ujęcie.

Całka Lebesgue’a – konstrukcja matematyczna rozszerzająca pojęcie całki Riemanna na szerszą klasę funkcji, wprowadzona w 1902 r. przez francuskiego matematyka Henriego Lebesgue’a. Rozszerzenie dotyczy także dziedziny, na której mogą być określone funkcje podcałkowe.

Sam Lebesgue tak porównywał swoją definicję z klasyczną całką Riemanna:

Wyobraźcie sobie, że należy zapłacić pewną sumę. Można w tym celu wyciągać pieniądze z portmonetki po kolei, aby uzbierać potrzebną kwotę. To całka Riemanna. Można też wyjąć wszystkie monety naraz, posegregować je według wartości i dopiero teraz zapłacić kilkoma monetami. To moja całka.

Wyjaśnić można to następująco: w metodzie Riemanna przebiega się dziedzinę funkcji i mierzy „wysokość” wykresu po kolei w każdym miejscu, podczas gdy metoda Lebesgue’a bierze pod uwagę najpierw zbiór wartości funkcji i stosownie do tego wybiera kawałki dziedziny.

Jeżeli dla danej funkcji istnieje całka Riemanna, to jest ona równa całce Lebesgue’a tej funkcji. Zasadnicza przewaga całki Lebesgue’a polega na tym, że współgra z pojęciem granicy punktowej ciągu funkcji i w opisie matematycznym można zamieniać kolejność operacji liczenia całki i granicy (nie jest to zawsze możliwe w przypadku całki Riemanna). Obecnie całka Lebesgue’a jest jednym z podstawowych narzędzi współczesnej matematyki i nauk ją wykorzystujących.

Całka Riemanna jest konstrukcją związaną nierozerwalnie z przestrzeniami euklidesowymi; uogólnienie Lebesgue’a umożliwia całkowanie funkcji określonych na ogólniejszych przestrzeniach z miarą. Niżej naszkicowane podejście jest jednym z wielu możliwych.

WprowadzenieEdytuj

 
Konstrukcja zbiorów Ai; liczby ci leżą na wysokości czerwonych odcinków

Całka Riemanna jest związana z miarą Jordana, która jest tylko skończenie addytywną funkcją zbioru. Innymi słowy zakłada się, że miara sumy skończonej liczby zbiorów rozłącznych jest równa sumie miar poszczególnych zbiorów. Jednym z podstawowych kroków na drodze ku rozszerzeniu pojęcia całki Riemanna na funkcje typu funkcji Dirichleta było zastąpienie miary Jordana miarą Lebesgue’a, która jest już przeliczalnie addytywna, tzn. taka, że własność sumowania zachodzi także dla nieskończonej ilości zbiorów rozłącznych (zgodnie z tą obserwacją generalizacji uległo także ogólne pojęcie miary).

Definicja całki związanej z miarą Lebesgue’a wymaga zmiany spojrzenia na proces mierzenia obszaru. W definicji całki Riemanna dziedzina funkcji jest dzielona na krótkie przedziały. Tymczasem przy obliczaniu całki Lebesgue’a to nie dziedzina, ale przeciwdziedzina całkowanej funkcji jest dzielona na skończenie wiele przedziałów.

Dla ułatwienia opisu założone zostanie, iż przeciwdziedzina dodatniej funkcji   jest zawarta w przedziale   Aby znaleźć przybliżenie wartości pola obszaru pod wykresem funkcji   należy podzielić przedział   na rozłączne podprzedziały o końcach w punktach  

Jeżeli przyjąć   (por. rysunek) i wybrać liczby   (na rysunku liczby te znajdują się na wysokości czerwonych odcinków), to każdy z obszarów   ma pole, które równe jest mierze   zbioru   pomnożonej przez   Otrzymane w ten sposób obszary są parami rozłączne, można zatem oczekiwać, że suma ich pól będzie dobrym przybliżeniem do pola obszaru pod funkcją   – tym lepszym im drobniejszy był początkowy podział zbioru wartości za pomocą liczb   Ściśle podejście to realizuje się poprzez przybliżanie zadanej funkcji funkcjami prostymi, czyli takimi, które mają tylko skończenie wiele wartości przyjmowanych na mierzalnych podzbiorach dziedziny.

KonstrukcjaEdytuj

OznaczeniaEdytuj

Dalej stosowana będzie następująca konwencja skracająca zapis: symbole

 

oznaczać będą odpowiednie relacje, tzn.

 

dla wszystkich elementów   należących do ustalonego zbioru lub też całej dziedziny, jeśli nie zostanie zaznaczone inaczej. Podobnie będzie miała się rzecz z funkcjami   (minimum i maksimum) i im podobnymi.

Całkę Lebesgue’a wprowadza się zwykle wraz z miarą Lebesgue’a   jako uogólnienie całki Riemanna w przestrzeniach euklidesowych. Jednak wybór miary zależy od zastosowań, sama zaś konstrukcja obowiązuje dla szerszej klasy przestrzeni. Z tego powodu wszędzie, gdzie będzie to można zrobić bez szkody dla jasności wywodu oznaczenie miary   przy całce, tzn.   będzie konsekwentnie pomijane:

 

co wydatnie wpłynie na przejrzystość wzorów. Na podobnej zasadzie opuszczane będzie też wskazanie miary   w przy mierzalności zbiorów, czy funkcji (zob. niżej).

Funkcje mierzalneEdytuj

Zobacz też: funkcja mierzalna.

Niech dana będzie przestrzeń z miarą   Elementy σ-ciała   określonego na przestrzeni   nazywa się zbiorami  -mierzalnymi względem  [a]

Funkcja   jest  -mierzalna, jeśli  -mierzalny jest przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego/domkniętego   tzn.   dla otwartych/domkniętych  

Zbiór funkcji mierzalnych jest zamknięty ze względu na działania algebraiczne. W szczególności jeżeli mierzalne są funkcje   to mierzalne są także suma, różnica, iloczyn oraz iloraz tych funkcji, tj.

  oraz   (w ostatnim przypadku: iloraz określony tam, gdzie ma to sens).

Ponadto mierzalne są funkcje:

 

oraz

 
 

nazywane odpowiednio częścią dodatnią oraz ujemną funkcji   (moduł, części dodatnia i ujemna są funkcjami nieujemnymi). Wprost z definicji wynika, że:

  oraz  

Zbiór funkcji mierzalnych jest zamknięty ze względu na branie granic punktowych, tzn. jeżeli mierzalne są funkcje należące do ciągu   to mierzalne są również funkcje

 

Funkcje prosteEdytuj

Zobacz też: funkcja prosta.

Funkcję   nazywa się prostą, jeżeli jej obraz jest zbiorem skończonym, zaś każda jej wartość   przyjmowana jest na pewnym zbiorze mierzalnym   tzn.   dla   Innymi słowy funkcję   nazywa się prostą, jeżeli można przedstawić ją w postaci skończonej kombinacji liniowej funkcji charakterystycznych (indykatorów) zbiorów mierzalnych:

 

dla pewnych wartości   oraz zbiorów  

Całka Lebesgue’aEdytuj

Konstrukcja całki Lebesgue’a polega na stopniowym komplikowaniu klasy funkcji całkowalnych poczynając od najprostszych.

Funkcje charakterystyczne

Jedyną rozsądną możliwością przypisania wartości całce z funkcji charakterystycznej   zbioru mierzalnego   jest miara tego zbioru:

 

Wynik może być równy   o ile   nie jest miarą skończoną.

Funkcje proste

Jeżeli   jest nieujemną funkcją prostą (kombinacją liniową funkcji charakterystycznych), to całkę Lebesgue’a tej funkcji definiuje się wzorem

 

Całkę Lebesgue’a z dowolnej funkcji prostej   definiuje się jako

 

Funkcja   jest całkowalna, jeśli przynajmniej jedna z całek z nieujemnych funkcji prostych po prawej stronie jest skończona; brak tego warunku sprawia, że definicja traci sens z powodu możliwego wyrażenia nieoznaczonego postaci   Funkcja   jest sumowalna, jeżeli skończone są obie całki po prawej stronie powyższego wzoru[b].

Funkcje mierzalne

Całkę Lebesgue’a nieujemnej funkcji mierzalnej   określa się jako

  jest nieujemną funkcją prostą taką, że  

Definicja całki Lebesgue’a z funkcji mierzalnej   nie różni się wiele od definicji całki z dowolnej funkcji prostej:

 

przy czym podobnie   jest całkowalna, gdy choć jedna z całek po prawej stronie jest skończona i sumowalna, gdy skończone są obie[b].

Zbiory mierzalne

Całkę z funkcji mierzalnej   na zbiorze mierzalnym   określa się jako

 

gdzie   oznacza funkcję charakterystyczną zbioru  

Własności i podstawowe twierdzeniaEdytuj

Niech dana będzie przestrzeń z miarą   zaś  

Całka Lebesgue „nie odróżnia” funkcji różniących się na zbiorach miary   zero. Precyzyjniej: funkcje   i   są sobie równe prawie wszędzie (p.w.), jeżeli

 [c]

Dlatego jeśli   są nieujemnymi funkcjami mierzalnymi (przyjmującymi być może nieskończoność) takimi, że   prawie wszędzie, to

 

Jeżeli   są równe sobie prawie wszędzie, to funkcja   jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy całkowalna jest funkcja   a ich całki są sobie równe.

Do najprostszych własności całki Lebesgue’a można zaliczyć poniższe:

  • jeżeli   jest mierzalna i równa zero poza zbiorem miary zerowej, to jest ona całkowalna oraz
     
  • jeśli   jest mierzalna i ograniczona na   oraz   to   jest całkowalna na   dodatkowo jeżeli   to
     
  • jeżeli   jest mierzalna, a   całkowalna, oraz   prawie wszędzie, to   także jest całkowalna; ponadto
     

Całka Lebesgue’a ma ponadto następujące ważne własności:

Liniowość

Jeśli   są całkowalne, to ich kombinacja liniowa   również jest całkowalna dla dowolnych rzeczywistych   przy czym

 
Monotoniczność

Jeżeli   są całkowalne oraz   to

 
Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej

Niech   będzie ciągiem nieujemnych funkcji mierzalnych takich, że   dla każdego   Wówczas

 

Uwaga: wartość dowolnej z powyższych całek może być nieskończona.

Lemat Fatou

Jeżeli   jest ciągiem nieujemnych funkcji mierzalnych, to

 

Raz jeszcze wartość dowolnej z całek może być nieskończona.

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej

Jeżeli   jest ciągiem zespolonych funkcji mierzalnych o granicy punktowej   i jeśli istnieje taka funkcja całkowalna   że   dla każdego   to   jest całkowalna oraz

 
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego na prostej

Jeżeli funkcja   jest całkowalna w sensie Lebesgue’a na przedziale   oraz funkcja   jest określona przez   to   jest różniczkowalna prawie wszędzie, a jej pochodna jest prawie wszędzie (tzn. poza zbiorem miary zero) równa   Na odwrót, jeżeli funkcja   jest różniczkowalna w przedziale   a jej pochodna   jest ograniczona w przedziale   to   jest całkowalna w sensie Lebesgue’a i prawdziwy jest wzór

 

PrzykładyEdytuj

Typowym przykładem przewagi całki Lebesgue’a nad całką Riemanna jest funkcja Dirichleta, tzn. funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych, czyli funkcja

 

Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny, poza nim zaś funkcja ta jest stale równa zeru. Dlatego naturalnym jest więc oczekiwanie, że całka tej funkcji („pole pod wykresem”) powinna być równa zeru, w szczególności powinna istnieć sama całka (możliwość „zmierzenia” wspomnianego pola).

Całkowanie Riemanna nie daje sensownego wyniku, w teorii Lebesgue’a jest to natomiast zwykła funkcja prosta, która przyjmuje tylko dwie wartości (0 i 1), tyle że w dość „nieregularny” sposób. Całka Lebesgue’a funkcji   wynosi

 

gdyż miara zbioru liczb wymiernych wynosi zero (co wynika wprost z definicji miary i przeliczalności zbioru liczb wymiernych). W tym przypadku, wychodząc od zbioru wartości, podzielono dziedzinę tylko na dwie części, przy czym żadna z nich nie była odcinkiem.

Istnieją również funkcje niecałkowalne w sensie Lebesgue’a. Całka

 

nie istnieje, czego można dowieść korzystając z twierdzenia Fubiniego.

Porównanie z całką RiemannaEdytuj

Osobny artykuł: całka Riemanna.
 
Przybliżenie całki Riemanna za pomocą sum dolnych (góra) oraz dla całki Lebesgue’a przybliżenie całkowanej funkcji za pomocą niemalejącego ciągu funkcji prostych (dół)

W przypadku całki Riemanna proces mierzenia tego pola jest oparty na dzieleniu dziedziny funkcji na przedziały. Podczas gdy metoda ta działa bardzo dobrze dla funkcji ciągłych, to funkcje których zbiór punktów nieciągłości nie jest miary zero, nie są całkowalne w sensie Riemanna. Co więcej, wśród tych niecałkowalnych znajdują się funkcje dość proste i często spotykane, a możliwość ich całkowania (włączenia do teorii całki) jest istotna zarówno dla teoretyków, jak i dla zastosowań.

Na rysunku obok pokazano poglądowe porównanie całek Riemanna i Lebesgue’a. W całce Riemanna podział na prostokąty pola pod wykresem jest z grubsza „dowolny”: dziedzinę dzieli się na drobne kawałki, w każdym „kawałku” wybiera pewną wysokość prostokąta (wysokością jest dowolna wartość funkcji na tym kawałku).

Typowym wyborem w praktyce jest podział równomierny na osi   jak przedstawiono na górnym rysunku obok. W całce Lebesgue’a przybliża się daną funkcję niemalejącym ciągiem funkcji prostych. Jest to typowy sposób realizacji supremum użytego w jej definicji. Chociaż graficznie wygląda to na pierwszy rzut oka podobnie, to należy zauważyć, że podział na prostokąty jest „sterowany” zbiorem wartości funkcji prostej. Co więcej, wspomniane funkcje proste można wybierać dość dowolnie; typowy wybór w praktyce opiera się na analizie (podziale) zbioru wartości danej funkcji podcałkowej, tak jak to opisano to wcześniej. Skutkuje to podziałem dziedziny na kawałki, które nie są już koniecznie tylko odcinkami: jeden „kawałek” może być np. sumą kilku odcinków (na rysunku obok sumy takie zaznaczono wspólnym kolorem prostokąta). W ogólności, dla mniej regularnych funkcji taki „kawałek” może mieć bardzo skomplikowaną postać i aby go „zmierzyć” wprowadza się miarę Lebesgue’a.

Jeżeli funkcja podcałkowa jest dostatecznie regularna, np. ciągła, obie definicje dadzą ten sam rezultat. W przypadku mniej regularnych funkcji całka Riemanna może w ogóle nie istnieć (zob. powyższy przykład).

Wszystkie wzory na całkowanie funkcji podstawowych w sensie Riemmana przenoszą się na odpowiednie wzory dla całki w sensie Lebesgue’a. Obowiązuje również twierdzenie Fubiniego mówiące o możliwości zamiany całki podwójnej na iterowaną oraz zmianie kolejności obliczania tych całek. Jednak najważniejsze cechy całki Lebesgue’a są związane ze zgodnością pojęcia całki i granicy punktowej ciągu funkcji. Mówiąc najogólniej, przy odpowiednich warunkach całka z granicy ciągu funkcji jest równa granicy ciągu całek tych funkcji. Innymi słowy można zamieniać kolejność liczenia granicy ciągu i całki funkcji. Odpowiednie własności są ujęte precyzyjnie w następujących twierdzeniach:

Żadne z tych twierdzeń nie może być sformułowane w podobnie prosty sposób dla całki Riemanna, gdyż granica ciągu funkcji („regularnych”, prostych) może w ogóle nie być całkowalna w sensie Riemanna. To właśnie przede wszystkim ta zasadnicza różnica przyczyniła się do sukcesu pozornie bardziej skomplikowanej i odchodzącej od intuicyjnego pojęcia pola teorii Lebesgue’a.

Alternatywne sformułowaniaEdytuj

Całkę względem miary Lebesgue’a można określić nie odwołując się do całej skomplikowanej maszynerii teorii miary; jednym z takich podejść jest tzw. całka Daniella.

Istnieje również podejście do teorii całkowania poprzez metody analizy funkcjonalnej. Całka Riemanna istnieje dla dowolnej funkcji ciągłej   o zwartym nośniku określonej na   (lub ustalonym otwartym podzbiorze takiej przestrzeni). Całki ogólniejszych funkcji mogą być skonstruowane za pomocą wspomnianych całek. Otóż niech   będzie przestrzenią wszystkich funkcji o wartościach rzeczywistych zmiennej rzeczywistej o zwartym nośniku. Definiuje się wówczas normę na   wzorem

 

Wówczas   staje się unormowaną przestrzenią liniową (w szczególności jest to przestrzeń metryczna). Wszystkie przestrzenie metryczne mają uzupełnienia Hausdorffa; niech   będzie takim uzupełnieniem. Przestrzeń ta jest izomorficzna z przestrzenią ilorazową funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a przez podprzestrzeń funkcji o zerowej całce. Co więcej całka   Riemanna jest funkcjonałem jednostajnie ciągłym względem normy na   która jest gęsta w   Stąd   ma dokładnie jedno rozszerzenie na całą przestrzeń   Całka ta jest właśnie całką Lebesgue’a.

Podejście powyższe może być uogólnione; może ono służyć konstrukcji całki względem miary Radona na przestrzeniach lokalnie zwartych. Stosuje je m.in. Bourbaki (2004) (zob. miary Radona na przestrzeniach lokalnie zwartych).

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Dzięki temu, że miara   jest określona na zbiorach σ-ciała   a nie dowolnych podzbiorach przestrzeni   unika się problemów z jej określeniem dla jej „nieporządnych” zbiorów, np. zbioru Vitalego.
  2. a b Większość autorów nie wyróżnia funkcji sumowalnych, które nazywane są przez nich „całkowalnymi”.
  3. W rachunku prawdopodobieństwa spotyka się również zapis postaci  

BibliografiaEdytuj

  • Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Łódź: PWN, 1986.
  • Ryszard Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej. PWN. ISBN 83-01-13554-9.
  • G. B. Folland: Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. (ang.)
  • Paul Halmos, P. R. Halmos: Measure Theory. Nowy Jork: D. Van Nostrand Company, 1950. (ang.)