Otwórz menu główne

MotywacjaEdytuj

Wskazanie dobrego pojęcia miary na przestrzeni topologicznej, która byłaby w pewnym sensie zgodna z topologią na niej określoną bywa problematyczne. Jednym ze sposobów jest zdefiniowanie miary na zbiorach borelowskich takiej przestrzeni. W ogólności istnieje kilka problemów z tym związanych: przykładowo taka miara może nie mieć dobrze określonego nośnika. Innym podejściem do teorii miary jest ograniczenie się do lokalnie zwartych przestrzeni Hausdorffa i rozważanie miar, które odpowiadają dodatnim funkcjonałom liniowym na przestrzeni funkcji ciągłych o zwartym nośniku (niektórzy autorzy przyjmują to za definicję miary Radona). To ujęcie prowadzi do solidnej teorii bez patologii, jednak nie może być przeniesione na przestrzenie, które nie są lokalnie zwarte.

Teoria miar Radona ma większość z dobrych własności zwykłej teorii miary przestrzeni lokalnie zwartych, ale dotyczy wszystkich przestrzeni topologicznych Hausdorffa. Ideą definicji miary Radona jest wskazanie pewnych własności, które charakteryzowałyby miary na przestrzeniach lokalnie zwartych odpowiadające funkcjonałom dodatnim i wykorzystanie ich jako definicji miary Radona na dowolnej przestrzeni Hausdorffa.

DefinicjeEdytuj

Niech   oznacza miarę na σ-algebrze zbiorów borelowskich przestrzeni topologicznej Hausdorffa  

Miarę   nazywa się

  • wewnętrznie regularną, ciasną bądź jędrną, jeżeli   jest supremum   gdzie   jest zbiorem zwartym zawartym w zbiorze borelowskim  
  • zewnętrznie regularną, jeżeli   jest infimum   gdzie   jest zbiorem otwartym zawierającym zbiór borelowski  
  • lokalnie skończoną, jeżeli każdy punkt ma otoczenie skończonej miary.
  • miarą Radona, jeżeli jest wewnętrznie regularna i lokalnie skończona.

Teorię miar Radona można rozszerzyć na przestrzenie niehausdorffowskie zmieniając wszędzie „zwarty” na „domknięty i zwarty”, jednakże zdaje się, iż rozszerzenie to nie ma ciekawszych zastosowań.

Miary Radona na przestrzeniach lokalnie zwartychEdytuj

Jeżeli rozpatrywana przestrzeń mierzalna jest lokalnie zwartą przestrzenią topologiczną, to definicję miary Radona można wyrazić w języku ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeni funkcji ciągłych o zwartym nośniku. Umożliwia to skonstruowanie miary i całki w języku analizy funkcjonalnej; podejście to stosowane jest przez Bourbakiego (2004) i wielu innych autorów.

MiaryEdytuj

Niżej   oznaczać będzie lokalnie zwartą przestrzeń topologiczną. Ciągłe funkcje o zwartym nośniku na   o wartościach rzeczywistych tworzą przestrzeń liniową   która może być wyposażona w naturalną topologię lokalnie zwartą. Istotnie,   jest sumą (mnogościową) przestrzeni   funkcji ciągłych o nośnikach zawartych w zbiorach zwartych   Każda z przestrzeni   niesie ze sobą naturalną topologię zbieżności jednostajnej, co czyni z nich przestrzenie Banacha. Ponieważ suma przestrzeni topologicznych jest szczególnym przypadkiem granicy prostej przestrzeni topologicznych, przestrzeń   może być wyposażona w topologię granicy prostej indukowaną przez przestrzenie  

Jeżeli   jest miarą Radona na   to odwzorowanie

 

jest ciągłym dodatnim przekształceniem liniowym z   w   Dodatniość oznacza, że   o ile tylko   jest funkcją nieujemną. Ciągłość względem topologii granicy prostej zdefiniowanej wyżej jest równoważna następującemu warunkowi: dla każdego zbioru zwartego   przestrzeni   istnieje stała   taka, że dla każdej funkcji ciągłej   o wartościach rzeczywistych określonej na   o nośniku zawartym w   że

 

Odwrotnie, z twierdzenia Riesza o reprezentacji każda dodatnia forma liniowa na   powstaje jako całkowanie względem miary Radona i stąd jest ciągłą, dodatnią formą liniową na  

Rzeczywistą miarę Radona (tzn. miarę Radona o wartościach rzeczywistych) definiuje się jako dowolną ciągłą formę liniową na   są to w istocie różnice dwóch miar Radona. Umożliwia to utożsamienie rzeczywistych miar Radona z przestrzenią dualną przestrzeni lokalnie zwartej   Wspomniane rzeczywiste miary Radona nie muszą być miarami ze znakiem – przykładowo   jest rzeczywistą miarą Radona, ale nie jest to nawet rozszerzona miara ze znakiem, ponieważ nie może być zapisana jako różnica dwóch miar, z których przynajmniej jedna jest skończona.

Niektórzy autorzy korzystają z poprzedniego podejścia, mianowicie definiują (dodatnie) miary Radona jako dodatnie formy liniowe na   zob. Bourbaki (2004), Hewitt i Stromberg (1965), czy Dieudonné (1970). Wówczas miary Radona w powyższym sensie nazywa się miarami dodatnimi, a wyżej opisane rzeczywiste miary Radona nazywa się miarami (rzeczywistymi).

CałkowanieEdytuj

Aby ukończyć budowanie teorii miary dla przestrzeni lokalnie zwartych z punktu widzenia analizy funkcjonalnej, należy rozszerzyć miarę (całkę) określoną dla funkcji ciągłych o zwartym nośniku. Można to zrobić dla funkcji o wartościach rzeczywistych lub zespolonych w kilku poniższych krokach:

  1. definicja całki górnej   półciągłej z dołu dodatniej funkcji   (o wartościach rzeczywistych) jako supremum (być może nieskończone) liczb dodatnich   dla funkcji ciągłych   o zwartym nośniku;
  2. definicja całki górnej   dla dowolnej dodatniej funkcji   (o wartościach rzeczywistych) jako infimum całek górnych   dla półciągłych z dołu funkcji  
  3. definicja przestrzeni liniowej   jako przestrzeni wszystkich funkcji   określonych na   których całka górna   jej wartości bezwzględnej jest skończona; całka órna wartości bezwzględnej definiuje półnormę na   która jest przestrzenią zupełną względem topologii wyznaczonej przez półnormę;
  4. definicja przestrzeni   funkcji całkowalnych jako domknięcie przestrzeni funkcji ciągłych o nośniku zwartym wewnątrz  
  5. definicja całki dla funkcji z   jako rozszerzenia poprzez ciągłość po uprzednim sprawdzeniu, że   jest ciągła względem topologii na  
  6. definicja miary zbioru jako całki (o ile istnieje) funkcji charakterystycznej zbioru.

Można sprawdzić, że kroki te dają teorię identyczną z tą, w której zaczyna się od miary Radona zdefiniowanej jako funkcja przypisująca liczbę każdemu zbiorowi borelowskiemu przestrzeni  

Miara Lebesgue’a na   może być wprowadzona na kilka sposobów przy użyciu podejścia analizy funkcjonalnej. Po pierwsze można oprzeć się na „elementarnej” całce takiej jak całka Daniella-Stone’a, czy całka Riemanna do całkowania funkcji ciągłych o zwartym nośniku, ponieważ są one całkowalne dla wszystkich elementarnych definicji całek. Miara (w wyżej zdefiniowanym sensie) określona przez elementarne całkowanie jest w istocie miarą Lebesgue’a. Po drugie, chcąc uniknąć korzystania z całki Riemanna lub Daniella, czy innych podobnych teorii można wprowadzić najpierw ogólną teorię miar Haara i zdefiniować miarę Lebesgue’a jako miarę Haara   na   która spełnia warunek normalizacyjny  

PrzykładyEdytuj

Następujące miary są przykładami miar Radona:

Poniższe miary nie są miarami Radona:

  • miara licząca na przestrzeni euklidesowej, gdyż nie jest lokalnie skończona;
  • miara Dieudonnégo na przestrzeni   gdzie   oznacza pierwszą nieprzeliczalną liczbę porządkową.

Podstawowe własnościEdytuj

Moderowane miary RadonaEdytuj

Dla danej miary Radona   określonej na przestrzeni   można zdefiniować inną miarę   (określoną na zbiorach borelowskich) przyjmując

 

Miara   jest zewnętrznie regularna i lokalnie skończona oraz wewnętrznie regularna na zbiorach otwartych. Pokrywa się ona z   na zbiorach zwartych oraz otwartych, przy czym można zrekonstruować   na podstawie   jako wyznaczoną jednoznacznie miarę wewnętrznie regularną, która pokrywa się z   na zbiorach zwartych. Miarę   nazywa się moderowaną (ang. moderated), jeżeli   jest σ-skończona; wówczas miary   i   są identyczne. Należy zaznaczyć, że jeżeli   jest σ-skończona, to nie oznacza to, że σ-skończona jest   w ten sposób bycie miarą moderowaną jest własnością silniejszą niż bycie miarą σ-skończoną.

Na przestrzeni silnie Lindelöfa każda miara Radona jest moderowana.

Przestrzenie RadonaEdytuj

Osobny artykuł: przestrzeń Radona.

Przestrzeń nazywa się przestrzenią Radona, jeżeli każda skończona miara Radona jest miarą Radona oraz silnie Radona (ang. strongly Radon), jeżeli każda lokalnie skończona miara borelowska jest miarą Radona. Każda przestrzeń Suslina jest silnie Radona, co więcej każda miara Radona jest moderowana.

DualnośćEdytuj

Na lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa miary Radona odpowiadają dodatnim funkcjonałom liniowym na przestrzeni funkcji ciągłych o zwartym nośniku. Własność ta nie jest zaskakująca, gdyż stanowi ona główną motywację definicji miary Radona.

Struktura metrycznaEdytuj

Stożek   wszystkich (dodatnich) miar Radona na   może być wyposażony w strukturę zupełnej przestrzeni metrycznej poprzez zdefiniowanie odległości Radona między dwoma miarami   wzorem

 

Metryka ta ma pewne ograniczenia. Na przykład przestrzeń probabilistycznych miar Radona na  

 

nie jest ciągowo zwarta względem metryki Radona, tzn. nie ma gwarancji, że dowolny ciąg miar prawdopodobieństwa będzie miał podciąg zbieżny względem metryki Radona, co sprawia trudności w pewnych zastosowaniach. Aby uczynić z   przestrzeń zwartą należy użyć metryki Wassersteina.

Zbieżność w metryce Radona pociąa słabą zbieżność miar:

 

ale implikacja odwrotna w ogólnym przypadku nie zachodzi. Zbieżność miar w metryce Radona nazywa się czasami silną zbieżnością w opozycji do słabej zbieżności.

BibliografiaEdytuj

Dieudonné również stosuje terminologię Bourbakiego dla miar i zawiera nieco przystępniej opracowane podejście Bourbakiego.
  • Edwin Hewitt, Karl Stromberg: Real and abstract analysis. Springer-Verlag, 1965.
  • Heinz König: Measure and integration: an advanced course in basic procedures and applications. Nowy Jork: Springer, 1997. ISBN 3-540-61858-9.
  • Laurent Schwartz: Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures. Oxford University Press, 1974. ISBN 0-19-560516-0.

Linki zewnętrzneEdytuj