Przestrzeń polska

typ metryzowalnej przestrzeni topologicznej

Przestrzeń polskaośrodkowa przestrzeń topologiczna, która jest metryzowalna w sposób zupełny. Pojęcie przestrzeni polskiej ma charakter topologiczny, a nie metryczny (metryka wyznaczająca topologię przestrzeni polskiej nie jest wyznaczona jednoznacznie) i jako takie jest przedmiotem badań topologii ogólnej i opisowej teorii mnogości.

Nazwa pojęcia została wprowadzona dla uhonorowania wkładu polskiej szkoły matematycznej w rozwój tych dziedzin. Pierwsze intensywne badania w tym kierunku zostały powzięte przez polskich logików i topologów – Wacława Sierpińskiego, Kazimierza Kuratowskiego, Alfreda Tarskiego i innych. W pierwszej połowie XX wieku, przestrzenie polskie odgrywały istotną rolę w analizie funkcjonalnej i teorii miary, później były głównym obiektem zainteresowania w opisowej teorii mnogości, a w ostatnich latach są kluczowym elementem w badaniach borelowskich relacji równoważności oraz działań grup. W ostatnim zastosowaniu szczególną pozycję zajmują tzw. grupy polskie, czyli grupy topologiczne będące przy tym przestrzeniami polskimi.

Przestrzeń polska jest doskonała, gdy nie ma ona punktów izolowanych, czyli jednopunktowych zbiorów otwartych. Ponieważ głównym obiektem zainteresowania większości badań są doskonałe przestrzenie polskie, niektórzy autorzy używają terminu „przestrzeń polska” mając na myśli doskonałą przestrzeń polską. Należy więc uważnie zapoznać się z używaną przez autora terminologią.

PrzykładyEdytuj

 
  jest doskonałą przestrzenią polską.

WłasnościEdytuj

  • Domknięta podprzestrzeń przestrzeni polskiej jest przestrzenią polską.
  • Przestrzenie polskie są przestrzeniami Baire’a: przekrój przeliczalnie wielu otwartych gęstych podzbiorów przestrzeni jest gęsty.
  • Aleksandrow udowodnił, że jeśli   jest przestrzenią polską oraz   jest jej podzbiorem typu Gδ, to   (z topologią podprzestrzeni) też jest przestrzenią polską.
  • Wszystkie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne. Jeśli   jest doskonałą przestrzenią polską, to istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna   która jest funkcją mierzalną względem σ-ciała zbiorów borelowskich. (Wówczas również funkcja odwrotna   jest mierzalna). W szczególności, każda doskonała przestrzeń polska jest mocy continuum.
  • Twierdzenie Kuratowskiego mówi że jeśli   są doskonałymi przestrzeniami polskimi, to można wybrać takie ich borelowskie podzbiory pierwszej kategorii   i   że przestrzenie   i  homeomorficzne.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Nicolas Bourbaki: General Topology. T. 2. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Pub. Co., 1966, s. 195–199.