Kostka kantora w trójwymiarze

Kostka Cantora (ciężaru gdzie jest nieskończoną liczbą kardynalną) – przestrzeń produktowa kopii zbioru z topologią dyskretną. Kostka Cantora ciężaru oznacza jest zwykle symbolem – dokładniej:

gdzie jest dowolnym zbiorem mocy oraz dla każdego zbiór jest dwuelementową przestrzenią dyskretną, np.

Dla przestrzeń nazywamy zbiorem Cantora.

WłasnościEdytuj

  • Ciężar kostki   wynosi   dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej  
  • Kostka Cantora jest ciągowo zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jej ciężar jest przeliczalny.
  • Kostka Cantora   jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni zerowymiarowych o ciężarze  
  • Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa o ciężarze   jest ciągłym obrazem domkniętej podprzestrzeni kostki Cantora  

Przestrzenie diadyczneEdytuj

Przestrzeń Hausdorffa, która jest ciągłym obrazem kostki Cantora nazywana jest przestrzenią diadyczną.

  • Nikołaj Szanin udowodnił, że jeżeli X jest nieskończoną przestrzenią diadyczną, to najmniejszą liczbą kardynalną   dla której X jest obrazem kostki Cantora ciężaru   jest ciężar przestrzeni X, tzn.  [1].
  • Każda przestrzeń diadyczna ciężaru   zawiera podprzestrzeń diadyczną dowolnego mniejszego ciężaru[2].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. B. Efimov, R. Engelking, Remarks on dyadic spaces. II. Colloq. Math. 13 (1965) s. 181–197.
  2. H. LeRoy Peterson. On dyadic subspaces. Pacific J. Math. Volume 31, Number 3 (1969), s. 773–775. [1].