Przestrzeń dyskretna

Przestrzeń dyskretnaprzestrzeń topologiczna z topologią taką, że punkty zbioru są w pewnym sensie od siebie „oddzielone”.

Definicje formalneEdytuj

Niech dany będzie dowolny niepusty zbiór  

  • Topologię dyskretną na   definiuje się przyjmując, że dowolny podzbiór   jest otwarty (a więc i domknięty). Wówczas zbiór   wyposażony w topologię dyskretną nazywa się przestrzenią topologiczną dyskretną.
  • Jednostajność dyskretną na   definiuje się przyjmując, że każdy nadzbiór przekątnej   jest otoczeniem. Zbiór   wyposażony w jednostajność dyskretną nazywa się przestrzenią jednostajną dyskretną.
  • Przestrzeń metryczną   nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną, jeżeli metryka   jest metryką dyskretną, tj.
     
    dla dowolnych  
  • Przestrzeń metryczną   nazywa się jednostajnie dyskretną, jeśli istnieje   takie, że dla dowolnych   jest   bądź   Aby topologia takiej przestrzeni metrycznej była dyskretna, metryka nie musi być jednostajnie dyskretna: przykładem może być standardowa metryka liczb rzeczywistych na zbiorze  

WłasnościEdytuj

Jednostajnością dyskretnej przestrzeni metrycznej jest jednostajność dyskretna, zaś topologią na dyskretnej przestrzeni jednostajnej jest topologia jednostajna. W ten sposób różne pojęcia przestrzeni dyskretnej są ze sobą zgodne.

Z drugiej strony topologia niedyskretnej przestrzeni jednostajnej lub metrycznej może być dyskretna; przykładem może być przestrzeń metryczna   z metryką odziedziczoną z prostej rzeczywistej, która nie dyskretna; przestrzeń ta nie jest przestrzeń zupełna, nie jest więc dyskretna jako przestrzeń jednostajna – mimo to jest ona dyskretna jako przestrzeń topologiczna. O przestrzeni tej można więc powiedzieć, że jest dyskretna topologicznie, ale nie dyskretna jednostajnie, czy dyskretna metrycznie.

TwierdzeniaEdytuj

  • Wymiar topologiczny przestrzeni dyskretnej wynosi 0.
  • Przestrzeń topologiczna jest dyskretna   otwarte są zbiory jednoelementowe
  • Przestrzeń topologiczna jest dyskretna   przestrzeń topologiczna nie zawiera żadnych punktów skupienia (tzn. każdy jego punkt jest izolowany).
  • Zbiory jednoelementowe tworzą bazę topologii dyskretnej.
  • Przestrzeń jednostajna jest dyskretna   przekątna jest otoczeniem.
  • Każda przestrzeń dyskretna spełnia wszystkie aksjomaty oddzielania (w szczególności jest ona przestrzenią Hausdorffa oraz przestrzenią normalną).
  • Przestrzeń dyskretna jest zwarta   przestrzeń jest skończona.
  • Każda dyskretna przestrzeń jednostajna bądź metryczna jest zupełna.
  • Każda dyskretna przestrzeń jednostajna lub metryczna jest całkowicie ograniczona   przestrzeń jest skończona.
  • Każda przestrzeń dyskretna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności;
  • Przestrzeń dyskretna spełnia drugi aksjomat przeliczalności (jest Lindelöfa)   przestrzeń jest przeliczalna.
  • Każda przestrzeń o co najmniej dwóch punktach jest całkowicie niespójna.
  • Każda niepusta przestrzeń dyskretna jest drugiej kategorii.
  • Dowolne dwie równoliczne przestrzenie dyskretne są homeomorficzne.
  • Przestrzeń skończona jest metryzowalna, jeśli jest dyskretna[1].
  • Jeśli   jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś   jest przestrzenią topologiczną dyskretną, to   jest równo pokryta przez   (przekształcenie rzutowe jest żądanym pokryciem).
  • Skończony iloczyn kartezjański przestrzeni dyskretnych wyposażony w topologię produktową jest przestrzenią dyskretną.
  • Dowolne przekształcenie przestrzeni topologicznej dyskretnej w inną przestrzeń topologiczną jest ciągłe.
  • Dowolne odwzorowanie przestrzeni jednostajnej dyskretnej w inną przestrzeń jednostajną jest jednostajnie ciągłe.
  • Odwzorowanie przestrzeni topologicznej   w przestrzeń dyskretną   jest ciągłe   jest lokalnie stałe w tym sensie, że każdy punkt   ma otoczenie, na którym odwzorowanie to jest stałe.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj