Zbiór dyskretny

Zbiór dyskretny – podzbiór przestrzeni topologicznej którego każdy punkt ma takie otoczenie otwarte że

tj. każdy punkt zbioru jest jego punktem izolowanym[1]. Innymi słowy, podzbiór przestrzeni topologicznej jest dyskretny wtedy i tylko wtedy, gdy z przestrzenią dziedziczoną z jest przestrzenią dyskretną[2].

WłasnościEdytuj

  • Zbiór dyskretny nie zawiera więc żadnego swojego punktu skupienia (o ile takie w ogóle istnieją). Rzeczywiście, jeżeli   jest punktem skupienia zbioru podzbioru   przestrzeni topologicznej   oraz   to każde otoczenie punktu   zawiera punkt zbioru   różny od  
  • W dowolnej przestrzeni topologicznej każdy zbiór jednopunktowy jest zbiorem dyskretnym.
  • W przestrzeniach T1 każdy zbiór skończony jest zbiorem dyskretnym.
  • W przestrzeniach dyskretnych każdy podzbiór jest dyskretny.
  • Każdy podzbiór zbioru dyskretnego oraz część wspólna zbiorów dyskretnych są również dyskretne. Suma dwóch zbiorów dyskretnych nie musi być zbiorem dyskretnym (jeżeli dany zbiór dyskretny ma punkt skupienia to jego suma wraz ze zbiorem jednoelementowym złożonym z tego punktu nie będzie zbiorem dyskretnym).

PrzykładyEdytuj

  • W zbiorze liczb rzeczywistych z naturalną topologią następujące zbiory są dyskretne:
    •  
    •  [2].
  • Lemat Riesza implikuje, że sfera jednostkowa każdej nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej zawiera nieskończony, domknięty zbiór dyskretny.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Willard 2004 ↓, s. 37.
  2. a b Weisstein 2002 ↓, s. 781.

BibliografiaEdytuj

  • Eric W. Weisstein: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
  • Willard Stephen: General Topology. Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 2004.
  • Eric W. Weisstein, Discrete Set, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2009-04-04] (ang.).