Zbiór doskonały

Zbiór doskonałyzbiór domknięty i wszędzie gęsty.

Przykładem zbioru doskonałego jest dowolny przedział domknięty zbioru liczb rzeczywistych. Innym, nietrywialnym już przykładem jest zbiór Cantora.

Jeżeli oznacza pochodną zbioru to w przestrzeni T1 zbiór jest doskonały wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczny ze swoją pochodną:

Okazuje się, że każda przestrzeń T1 jest rozłączną sumą dwóch zbiorów, z których jeden jest doskonały, a drugi nie zawiera żadnego niepustego podzbioru w sobie gęstego.

Zbiory doskonałe w przestrzeniach polskichEdytuj

Przestrzeń topologiczną   nazywamy przestrzenią polską jeśli jest metryzowalna w sposób zupełny i ośrodkowa.

Jeśli   jest doskonałą przestrzenią polską, to zawiera kopię homeomorficzną zbioru Cantora. W szczególności oznacza to, że   jest mocy  

Twierdzenie Cantora-Bendixsona. Niech   będzie przestrzenią polską. Wówczas   można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci   gdzie   jest zbiorem doskonałym a   zbiorem przeliczalnym otwartym. W szczególności każda nieprzeliczalna przestrzeń polska jest mocy  [1].

PrzypisyEdytuj

  1. Alexander S Kechris: Classical descriptive set theory. New York: Springer-Verlag, 1995, seria: Graduate Texts in Mathematics, 156. ​ISBN 0-387-94374-9​.