Zbiór doskonały

Zbiór doskonały – zbiór domknięty i wszędzie gęsty.

Przykładem zbioru doskonałego jest dowolny przedział domknięty zbioru liczb rzeczywistych. Innym, nietrywialnym już przykładem jest zbiór Cantora.

Jeżeli $A^{d}$ oznacza pochodną zbioru $A,$ to w przestrzeni T1 zbiór $A$ jest doskonały wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczny ze swoją pochodną: $A=A^{d}.$

Okazuje się, że każda przestrzeń T1 jest rozłączną sumą dwóch zbiorów, z których jeden jest doskonały, a drugi nie zawiera żadnego niepustego podzbioru w sobie gęstego.

Zbiory doskonałe w przestrzeniach polskich

Przestrzeń topologiczną $X$ nazywamy przestrzenią polską jeśli jest metryzowalna w sposób zupełny i ośrodkowa.

Jeśli $X$ jest doskonałą przestrzenią polską, to zawiera kopię homeomorficzną zbioru Cantora. W szczególności oznacza to, że $X$ jest mocy $2^{\aleph _{0}}.$

Twierdzenie Cantora-Bendixsona. Niech $X$ będzie przestrzenią polską. Wówczas $X$ można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci $X=P\cup C,$ gdzie $P$ jest zbiorem doskonałym a $C$ zbiorem przeliczalnym otwartym. W szczególności każda nieprzeliczalna przestrzeń polska jest mocy $2^{\aleph _{0}}$.