Pochodna zbioru

Pochodna zbioru – dla danego zbioru w przestrzeni topologicznej zbiór wszystkich jego punktów skupienia. Pochodną zbioru oznacza się niekiedy także

W przestrzeni T1 pochodna ma następujące własności:

  1. – pochodna jest zbiorem domkniętym
  2. – dla dowolnej rodziny zbiorów przestrzeni [1].

Elementy to punkty izolowane zbioru Punkt wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie otwarte punktu takie, że

PrzykładyEdytuj

  •   gdzie   oznacza zbiór liczb wymiernych,  rzeczywistych.
  •  
  •  

Pochodna Cantora-BendixsonaEdytuj

Niech   będzie liczbą porządkową,   niech będzie przestrzenią topologiczną,   podzbiorem   Pochodną Cantora-Bendixsona rzędu   zbioru   definiujemy przez indukcję pozaskończoną w następujący sposób

  •  
  •  

Dla każdego zbioru   istnieje liczba porządkowa   taka, że   Najmniejszą liczbę porządkową   o tej własności nazywamy rangą Cantora-Bendixsona zbioru   a zbiór   nazywamy jądrem doskonałym zbioru   Jądro doskonałe jest zbiorem doskonałym. Jeśli   jest zbiorem domkniętym, to jego jądro doskonałe jest w nim zawarte.

Jeśli dla przestrzeni topologicznej   istnieje liczba porządkowa   taka, że   to   jest tzw. przestrzenią rozproszoną.

Jeśli   to ranga Cantora-Bendixsona   zbioru   jest przeliczalną liczbą porządkową, symbolicznie   Wynika to z faktu, że ciąg   składa się ze zbiorów domkniętych. Gdyby ten ciąg nie stabilizował się po przeliczalnie wielu krokach, to   byłby nieprzeliczalnym ciągiem zstępującym zbiorów domkniętych, co przeczyłoby ośrodkowości  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962, s. 105.