Przestrzeń rozproszona

Przestrzeń rozproszonaprzestrzeń topologiczna o tej własności, że każdy jej domknięty podzbiór zawiera gęsty podzbiór złożony z punktów izolowanych. Za motywacje do rozważań przestrzeni o tych własnościach można uznać badania Georga Cantora nad zbieżnością szeregów Fouriera[1]. Dla przestrzeni rozproszonych definiuje się tzw. szerokość Cantora-Bendixsona przestrzeni rozproszonej poprzez indukcję pozaskończoną. Niech:

gdzie oznacza operację brania pochodnej zbioru

gdy jest graniczną liczbą porządkową. W przypadku przestrzeni rozproszonych ciąg taki (numerowany liczbami porządkowymi) stabilizuje się. Najmniejszą liczbę porządkową taką, że

nazywa się szerokością Cantora-Bendixsona przestrzeni rozproszonej Jeśli jest ponadto przestrzenią zwartą, to liczba jest następnikowa, to znaczy jest ona postaci dla pewnej liczby porządkowej Zbiór jest skończony. Klasyczne twierdzenie Mazurkiewicza-Sierpińskiego mówi, że jeżeli jest przeliczalną, zwartą przestrzenią rozproszoną, to przestrzeń jest jednacznonie wyznaczona przez liczbę gdzie oraz (skończoną) liczbę elementów zbioru Dokładniej, jeśli to jest homeomorficzna z przestrzenią

z topologią porządkową[2].

Pod założeniem diamentu Jensena, Adam Ostaszewski podał przykład[3] doskonale normalnej, przeliczalnie zwartej, rozproszonej i zerowymiarowej topologii na zbiorze takiej że dla ustalonej niezerowej liczby naturalnej wymiar pokryciowy przestrzeni = wymiar induktywny przestrzeni = Ponadto, wymiar pokryciowy uzwarcenia jednopunktowego tej przestrzeni jest równy zero.

PrzypisyEdytuj

  1. G. Cantor. Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, Math. Ann., 5 (1872) s. 123–132.
  2. S. Mazurkiewicz, W. Sierpiński. Contribution a la topologie des ensembles dénombrables, Fundamenta Mathematicae, 1 (1920) s. 17–27.
  3. A.J. Ostaszewski. On countably compact perfectly normal spaces, „Journal of the London Mathematical Society”, 14 (1976), no. 2, s. 505–516.