Szereg Fouriera

Szereg Fouriera – szereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową lub nieokresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania przewodnictwa ciepła dla metalowej płyty. Równanie to jest równaniem różniczkowym cząstkowym i nie da się go rozwiązać bezpośrednio dla większości funkcji; jednak rozkładając funkcję początkową na szereg Fourier łatwo znalazł rozwiązania równania przewodnictwa dla poszczególnych składowych harmonicznych, ponieważ pochodne funkcji trygonometrycznych dają proste wzory, a następnie obliczył rozwiązanie dla funkcji wejściowej, sumując rozwiązania dla jej składowych harmonicznych. W 1829 r. Dirichlet określił ściśle warunki, jakie muszą spełniać funkcje, by szereg Fouriera był do nich zbieżny.

Szeregi Fouriera są np. ściśle powiązane z transformatą Fouriera, odkrytą przez Fouriera, którą można wykorzystać do znalezienia informacji o częstotliwościach składowych funkcji nieokresowych.

Od czasów Fouriera odkryto wiele różnych podejść do definiowania i rozumienia szeregu Fouriera. Niektóre z bardziej wydajnych i eleganckich podejść opierają się na pomysłach i narzędziach matematycznych, które nie były dostępne w czasach Fouriera. Fourier pierwotnie zdefiniował szereg Fouriera dla funkcji argumentów rzeczywistych o wartościach rzeczywistych i użył funkcji sinus i cosinus w dekompozycji. Od tego czasu zdefiniowano wiele innych transformacji, rozszerzając jego początkowy pomysł na wiele zastosowań i tworząc dział matematyki zwany analizą Fourierowską.

Metoda Fouriera doprowadziła do przewrotu w matematyce i zainicjowała powstanie wielu nowych teorii. Dziś szeregi Fouriera mają wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań oraz przetwarzaniu sygnałów obrazu (kompresja jpeg) i dźwięku (kompresja mp3).

Definicje szeregu Fouriera

Definicja za pomocą funkcji sin i cos

Niech dana będzie funkcja okresowa $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ o okresie $T>0,$ bezwzględnie całkowalna w przedziale $\left[{\tfrac {-T}{2}},{\tfrac {T}{2}}\right]$. Trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji $f$ nazywamy szereg funkcyjny postaci

$S(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}\,nx\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2\pi }{T}}\,nx\right)\right]$

(1.1)

o współczynnikach określonych wzorami:

$a_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\cos \left({\frac {2\pi }{T}}\,nx\right)dx,\quad n=0,1,2,\dots ,$

(1.2)

$b_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\sin \left({\frac {2\pi }{T}}\,nx\right)dx,\quad n=1,2,3,\dots$

(1.3)

Powyższe wzory po raz pierwszy opublikował Jeana-Baptiste Joseph Fourier. Niemniej jednak po raz pierwszy wyprowadził je Leonhard Euler (prac na ten temat nie opublikował). Wzory te noszą nazwę wzorów Eulera-Fouriera.

Wprowadzając dla uproszczenia oznaczenie $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ w powyższych wzorach, gdzie $\omega$ to tzw. pulsacja lub częstość kołowa, otrzymamy:

$S(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(n\omega x\right)+b_{n}\sin \left(n\omega x\right)\right],$

(1.1a)

$a_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\cos \left(n\omega x\right)dx,\quad n=0,1,2,\dots ,$

(1.2a)

$b_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\sin \left(n\omega x\right)dx,\quad n=1,2,3,\dots$

(1.3a)

Definicja za pomocą funkcji zespolonych

Niech dana będzie funkcja okresowa $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ o okresie $T>0$ bezwzględnie całkowalna w przedziale $\left[-{\tfrac {T}{2}},{\tfrac {T}{2}}\right]$. Zespolonym szeregiem Fouriera funkcji $f$ nazywamy szereg funkcyjny

$S(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{in\omega x}$

gdzie

$c_{n}={\tfrac {1}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-in\omega x}dx$

Związek między współczynnikami rozwinięcia trygonometrycznego i zespolonego

$c_{n}=\left\{{\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})&&{\text{gdy}}~~n>0\\&{\tfrac {1}{2}}a_{0}&&{\text{gdy}}~~n=0\\&{\tfrac {1}{2}}(a_{-n}+ib_{-n})&&{\text{gdy}}~~n<0\end{aligned}}\right.$

Obliczanie szeregu Fouriera funkcji nieciągłej. Twierdzenie Dirichleta

Wykres funkcji piłokształtnej, która składa się z powtórzeń funkcji $s(x)=x/\pi$ określonej na przedziale $(-\pi ,\pi >$.

Animacja pięciu kolejnych wyrazów szeregu Fouriera aproksymującego funkcję piłokształtną

Rozważmy funkcję piłokształtną:

$\left\{{\begin{aligned}&s(x)={\tfrac {x}{\pi }}\,&&-\pi <x<\pi \,,\\&s(x+2\pi k)=s(x),&&-\pi <x<\pi ,k=0,\pm 1,\pm 2,\dots \end{aligned}}\right.$

Obliczając jej współczynniki szeregu Fouriera otrzymamy:

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0$

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx,\quad n\geq 1$

$b_{n}=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )$

i ostatecznie

$b_{n}={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},n\geq 1$

Można pokazać, że szereg Fouriera zbiega do funkcji $s(x)$ we wszystkich punktach $x$, w których funkcja $s$ jest ciągła, tj.

Wykres funkcji signum, w punkcie x=0 nieciągłej w sposób odosobniony, nieusuwalny i pierwszego rodzaju (zwyczajny).

${\begin{aligned}S(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {dla} \ x\neq \pm \pi ,\pm 3\pi ,\pm 5\pi ,\dots \end{aligned}}$

Dla $x=\pi$ (i ogólnie dla $x=\pm \pi ,\pm 3\pi ,\pm 5\pi ,\dots$) szereg Fouriera zbiega do wartości 0. Wartość ta jest równa połowie sumy wartości granic lewo- i prawostronnych funkcji $s(x)$ w punkcie $x=\pi$. W punkcie $x=\pi$ funkcja nie została zdefiniowana. Jeżeli więc chcielibyśmy, by szereg był zbieżny do funkcji $s(x)$ w tym punkcie (i ogólnie dla $x=\pm \pi ,\pm 3\pi ,\pm 5\pi ,\dots$), to należałoby uzupełnić jej definicję przyjmując:

$\left\{{\begin{aligned}&s(x)={\tfrac {x}{\pi }}\,&&-\pi <x<\pi \,,\\&s(x+2\pi k)=s(x),&&-\pi <x<\pi ,k=0,\pm 1,\pm 2,\dots \\&s(x)=0,&&x=\pm \pi ,\pm 3\pi ,\pm 5\pi ,\dots \end{aligned}}\right.$

Wniosek ten jest zawarty w twierdzeniu Dirichleta, które orzeka, iż

Jeżeli funkcja jest w przedziale $-{\tfrac {T}{2}}<x<{\tfrac {T}{2}}$ ograniczona i ciągła lub posiada nieciągłości najwyższej 1-go rodzaju (tj. spełniające warunek: w punkcie nieciągłości istnieją granice funkcji lewo- i prawostronna) i w skończonej liczbie, to (1) szereg Fouriera zbiega do funkcji w punktach ciągłości (2) w punktach nieciągłości szereg zbiega do wartości równej połowie sumy granic lewo- i prawostronnej funkcji w tych punktach.

Uwaga 1: Z powyższego przykładu widać, że funkcja rozwijana w szereg Fouriera może nie być zdefiniowana w punktach nieciągłości 1-go rodzaju - brak wartości funkcji w tych punktach nie przeszkadza w obliczaniu współczynników Fouriera $a_{n},b_{n},$ ani nie ma wpływu na ich wartość (bowiem wartości całek nie zależą od wartości funkcji na zbiorze miary zero, a takiej miary jest zbiór punktów nieciągłości funkcji).

Uwaga 2: Powyższy przykład prowadzi do rozwiązania tzw. problemu bazylejskiego.

Funkcja nieokresowa $s(x)$ o dziedzinie $[0,L]$ i generowany przez nią szereg Fouriera $S(x)$

Szereg Fouriera funkcji nieokresowej

Funkcję nieokresową $s(x)$, określoną dla $x\in [-{\tfrac {L}{2}},{\tfrac {L}{2}}]$ można rozwinąć w szereg Fouriera, obliczając współczynnika Fouriera jak dla funkcji okresowej o okresie $T=L$. Szereg Fouriera jest zawsze funkcją okresową, nawet jeśli oryginalna funkcja $s(x)$ nią nie jest. Jednak ograniczając się do wartości szeregu dla $x\in [-{\tfrac {L}{2}},{\tfrac {L}{2}}]$ otrzymamy rozkład oryginalnej funkcji na szereg Fouriera.

Funkcja $s(x)$ musi przy tym spełniać na przedziale zmienności te same warunki ograniczoności i ciągłości, co funkcja okresowa na przedziale $T=L$.

Uwaga:

Jeżeli funkcja $f(x)$ jest okresowa, to rozwinięcia w szereg Fouriera można dokonać na dowolnym przedziale $x\in [-{\tfrac {L}{2}}+x_{0},{\tfrac {L}{2}}+x_{0}]$, gdzie $x_{0}$ - dowolne przesunięcie powyższego zakresu; np. dla $x\in [0,L]$. Wtedy wystarczy obliczać całki na współczynniki rozwinięcia w innym zakresie. Analogicznie dotyczy to rozwinięć funkcji nieokresowych na innych przedziałach zmienności zmiennej $x.$

Dokładność aproksymacji funkcji szeregiem Fouriera. Efekt Gibbsa

Twierdzenie nt. dokładności aproksymacji

Tw. Przy zastąpieniu funkcji $f(x)$ przybliżoną sumą trygonometryczną

$S_{N}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\,[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)]$

średni błąd kwadratowy

$\delta ^{2}={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}[f(x)-S_{N}(x)]^{2}dx$

jest najmniejszy, jeżeli za współczynniki $a_{n},b_{n}$ przyjmie się współczynniki Fouriera funkcji $f(x)$ .

Przykład

Zależność $\theta (t)$ położenia kątowego wahadła od czasu (drgania silnie nieliniowe; amplituda 179.98°; niebieski) oraz przybliżenie sumą częściową szeregu Fouriera (niebieski przerywany) i rozwiązaniem $\theta (t)_{\text{Maclaurin-3}}$, w którym człon nieliniowy $\sin \theta (t)$ równania wahadła przybliżono do trzeciego wyrazu szeregu Maclaurina.

Powyższe twierdzenie orzeka, iż spośród wszystkich funkcji, przybliżających daną funkcję za pomocą skończonej kombinacji liniowej funkcji sinusoidalnych i kosinusoidalnych najmniejszy średni błąd kwadratowy uzyska się dla współczynników będących współczynnikami rozwinięcia danej funkcji w szereg Fouriera. Dla ilustracji pokazano tu przybliżenia funkcji $\theta (t)$ (opisującej kat odchylania wahadła matematycznego od pionu) za pomocą dwóch funkcji o identycznych składowych harmonicznych, ale o różnych współczynnikach

(a) przybliżenie sumą częściową $S_{3}$ szeregu Fouriera funkcji $\theta (t)$

$S_{3}(t)=b_{1}\cdot \sin(\omega t)+b_{3}\cdot \sin(3\omega t)$,

(b) przybliżenie funkcją $\theta (t)_{\text{Maclaurin-3}}$, która jest rozwiązaniem przybliżenia równania nieliniowego ruchu wahadła za pomocą rozwinięcia w szereg Maclaurina członu nieliniowego tego równania:

$\theta (t)_{\text{Maclaurin-3}}={\Big (}\theta _{0}+{\tfrac {\theta _{0}^{3}}{192}}{\Big )}\cdot \sin(\omega t)+{\tfrac {\theta _{0}^{3}}{192}}\cdot \sin(3\omega t),$

gdzie:

• $\theta _{0}$ - amplituda drgań wahadła,
• $\omega =2\pi /T$, gdzie $T(\theta _{0})=4{\sqrt {\tfrac {\ell }{g}}}\,\cdot K(\sin {\tfrac {\theta _{0}}{2}})$ - okres drgań wahadła, słuszny dla dowolnych amplitud,
• $K$ - całka eliptyczna zupełna pierwszego rodzaju

Z obliczeń średniego błędu kwadratowego otrzymano:

(a) dla $S_{3}$: $\delta ^{2}\approx 390$

(a) dla $\theta _{\text{Maclaurin-3}}$: $\delta ^{2}\approx 2201$

Zwiększenie liczby wyrazów w liczeniu sumy częściowej Fouriera zmniejsza średni błąd kwadratowy; dla $S_{100}$ otrzymuje się $\delta ^{2}=4\cdot 10^{-21}\approx 0$. Widać stąd, iż analiza Fouriera stanowi skuteczne narzędzie znajdowania znakomitych aproksymacji rozwiązań równań różniczkowych.

• 
  Cztery sumy częściowe szeregu Fouriera zawierające 1, 2, 3 i 4 wyrazy, pokazujące, jak poprawia się przybliżenie funkcji prostokątnej ze wzrostem liczby wyrazów (tu dokładna animacja)
• 
  Cztery sumy częściowe szeregu Fouriera zawierające 1, 2, 3 i 4 wyrazy, pokazujące, jak poprawia się przybliżenie funkcji piłokształtnej ze wzrostem liczby wyrazów (tu dokładna animacja)

Efekt Gibbsa tj. powstawanie oscylacji o dużych amplitudach sum Fouriera w punktach nieciągłości funkcji aproksymowanej (pionowe odcinki wykresu).

Zależność aproksymacji od liczby wyrazów sumy aproksymującej

Dokładność aproksymacji danej funkcji za pomocą szeregu Fouriera zależy od liczby wyrazów N szeregu - im więcej wyrazów sumy częściowej, tym mniejszy jest średni błąd kwadratowy. Pokazują to poniższe animacje.

Efekt Gibbsa

Dla funkcji nieciągłych pojawia się tzw. efekt Gibbsa w aproksymacji - w punktach nieciągłości (odcinki skoków pionowych) następują silne odchylenia funkcji aproksymującej od wartości średniej, pomimo że maleje średni błąd kwadratowy aproksymacji danej funkcji za pomocą sum częściowych $S_{N}$ szeregu Fouriera wraz ze wzrostem liczby $N$ wyrazów sumy aproksymującej. W związku z tym stosuje się różne techniki wygładzania lokalnego funkcji aproksymującej w pobliży punktów nieciągłości.

Funkcja $s_{6}(x)$ (czerwona) to suma 6 funkcji sinus (niebieskie) i funkcja $S(f)$ ich amplitud $b_{n}$.

Widmo czyli amplitudy składowych harmonicznych

Współczynniki szeregu Fouriera $a_{n},b_{n}$ reprezentują amplitudy składowych harmonicznych $\cos(n\omega x),\sin(n\omega x)$, jakie zawiera dany sygnał. Zbiór tych współczynników nazywa się widmem danej funkcji.

Animacja obok pokazuje widmo funkcji, która ma jedynie składowe sinusoidalne widma.

Dalej pokazano widmo dla ogólnego przypadku.

Funkcja $f(x)=x^{2}-0.1*x^{3}$, jej funkcja aproksymująca - suma $N=20$ wyrazów szeregu Fouriera oraz widmo czyli zestaw współczynników $a_{n},b_{n}$

Obliczenia numeryczne szeregu Fouriera

Poniżej podano kod programu w języku Python, który dla danej funkcji $f(x)$ liczy współczynniki szeregu Fouriera $a_{n},b_{n}$, oblicza funkcję aproksymującą funkcję wyjściową, rysuje funkcję daną i aproksymującą oraz rysuje widmo składowych harmonicznych, którego wartości są równe wartościom składowych szeregu Fouriera.

Użytkownik może ustalić:

1. Parametr $L$ określający zakres $[-L,L]$, na którym jest zdefiniowana funkcja, taki że $T=2L$ (linia 9 kodu)
2. Liczbę $N$ wyrazów funkcji aproksymującej (linia nr 10)
3. Definicję funkcji $f(x)$ (linia nr 14)
4. Program można testować, korzystając np. z darmowego notatnika colab google online.

# JK 2024.08.16 v.1 Program oblicza współczynniki szeregu Fouriera danej funkcji,
# rysuje wykres funkcji i funkcji aproksymujacej, rysuje wykres widma

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import quad

# Parametry
L = np.pi  # Okres (od -L do L)
N = 10     # Liczba wyrazów w szeregu Fouriera

# Definicja funkcji f(x) = x
def f(x):
    return x*x-0.5*x**3

# Współczynniki a_n i b_n
a0 = (1 / L) * quad(f, -L, L)[0]

def a_n(n):
    integrand = lambda x: f(x) * np.cos(n * np.pi * x / L)
    result, _ = quad(integrand, -L, L)
    return result / L

def b_n(n):
    integrand = lambda x: f(x) * np.sin(n * np.pi * x / L)
    result, _ = quad(integrand, -L, L)
    return result / L

# Funkcja rekonstrukcji z szeregu Fouriera
def fourier_series(x, N):
    a0_term = a0 / 2
    sum_terms = sum(a_n(n) * np.cos(n * np.pi * x / L) + b_n(n) * np.sin(n * np.pi * x / L) for n in range(1, N + 1))
    return a0_term + sum_terms

# Zakres x dla wykresu
x_values = np.linspace(-L, L, 500)
f_values = f(x_values)
fs_values = [fourier_series(x, N) for x in x_values]

# Obliczanie współczynników dla widma
n_values = np.arange(1, N + 1)
a_n_values = np.array([a_n(n) for n in n_values])
b_n_values = np.array([b_n(n) for n in n_values])

# Wykres funkcji i szeregu Fouriera
plt.figure(figsize=(14, 6))

# Wykres funkcji i szeregu Fouriera
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x_values, f_values, label="f(x) = x*x-0.5*x**3", color="blue")
plt.plot(x_values, fs_values, label=f"Szereg Fouriera, N = {N}", color="red", linestyle="--")
plt.title("Funkcja f(x) i jej szereg Fouriera")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.legend()
plt.grid(True)

# Wykres widma Fouriera
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.stem(n_values, np.abs(a_n_values), linefmt='b-', markerfmt='bo', basefmt='b-', label='a_n')
plt.stem(n_values, np.abs(b_n_values), linefmt='r-', markerfmt='ro', basefmt='r-', label='b_n')
plt.title("Widmo Fouriera")
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("Amplituda")
plt.legend()
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

Twierdzenia o rozwinięciu funkcji w szereg Fouriera

Aproksymacja funkcji prostokątnej szeregiem Fouriera; N=50. Widoczny efekt Gibbsa w punktach skoków funkcji

Aproksymacja funkcji piłokształtnej szeregiem Fouriera; N=50. Widoczny efekt Gibbsa w punktach skoków funkcji

Aproksymacja funkcji trójkątnej szeregiem Fouriera; N=25. Tu brak efektu Gibbsa, gdyż funkcja nie ma punktów nieciągłości.

Podane tu dwa zasadnicze twierdzenia dotyczą warunków rozwinięcia za pomocą szeregu Fouriera funkcji okresowej. Zakładamy, że funkcja ma okres $T$ i pulsację $\omega ={\tfrac {2\pi }{T}}.$ Twierdzenia poprzedzone są lematami, potrzebnymi do ich dowodów.

Lemat I (całki pomocnicze)

• $n$ jest liczbą całkowitą

$\int \limits _{-T/2}^{T/2}\cos n\omega x\,dx=\left\{{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}}~~n\neq 0\\&T&&{\text{gdy}}~~n=0\end{aligned}}\right.$

$\int \limits _{-T/2}^{T/2}\sin n\omega x\,dx=0$

• $m,\ n$ są liczbami naturalnymi

$\int \limits _{-T/2}^{T/2}\cos n\omega x\cdot \cos m\omega x\,dx=\left\{{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}}~~n\neq m\\&{\tfrac {T}{2}}&&{\text{gdy}}~~n=m\end{aligned}}\right.$

$\int \limits _{-T/2}^{T/2}\sin n\omega x\cdot \sin m\omega x\,dx=\left\{{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}}~~n\neq m\\&{\tfrac {T}{2}}&&{\text{gdy}}~~n=m\end{aligned}}\right.$

$\int \limits _{-T/2}^{T/2}\sin n\omega x\cdot \cos m\omega x\,dx=0$

Lemat II

${\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha ={\frac {\sin \left(N+{\frac {1}{2}}\right)\alpha }{2\sin {\frac {1}{2}}\alpha }}$

Dowód

${\begin{aligned}&\;{\tfrac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha \\=&\ \Re \left(-{\tfrac {1}{2}}+\sum _{n=0}^{N}e^{in\alpha }\right)\\=&\ \Re \left(-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1-e^{i(N+1)\alpha }}{1-e^{i\alpha }}}\right)\\=&-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{|1-e^{i\alpha }|^{2}}}\Re ((1-e^{i(N+1)\alpha })(1-e^{-i\alpha }))\\=&-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{(1-\cos \alpha )^{2}+\sin ^{2}\alpha }}\Re (1-e^{-i\alpha }-e^{i(N+1)\alpha }+e^{iN\alpha })\end{aligned}}$

więc mamy (biorąc cześć rzeczywistą i stosując podstawowe wzory trygonometryczne):

${\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha \\=&-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1-\cos \alpha -\cos(N+1)\alpha +\cos N\alpha }{2(1-\cos \alpha )}}\\=&\;{\tfrac {\cos N\alpha -\cos(N+1)\alpha }{2(1-\cos \alpha )}}\\=&\;{\tfrac {2\sin \left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)\alpha \sin {\tfrac {1}{2}}\alpha }{4\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\=&\;{\tfrac {\sin \left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)\alpha }{2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha }}\end{aligned}}$

q. e. d.

Lemat III

Jeżeli $f$ jest funkcją ciągłą w przedziale $[a,b]$ z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów i bezwzględnie całkowalną w tym przedziale to

$\lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)\sin nx\,{\text{d}}x=0$

Twierdzenie (Eulera–Fouriera)

Jeżeli szereg o postaci (1.1) jest jednostajnie zbieżny do funkcji $f$ to współczynniki $a_{k},\ b_{k}$ wyrażają się wzorami (1.2), (1.3).

Dowód

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos k\omega x+b_{k}\sin k\omega x\right)$

Mnożąc powyższą równość przez $\cos n\omega x,$ całkując szereg w granicach od $-{\tfrac {T}{2}}$ do ${\tfrac {T}{2}}$ (uwzględniając zbieżność jednostajną szeregu stosujemy twierdzenie o całkowaniu szeregu wyraz po wyrazie) otrzymujemy:

$\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\cos n\omega x\,{\text{d}}x={\frac {a_{0}}{2}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}\cos n\omega x\,{\text{d}}x+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\int \limits _{-T/2}^{T/2}\cos n\omega x\cdot \cos k\omega x\,{\text{d}}x+b_{k}\int \limits _{-T/2}^{T/2}\cos n\omega x\cdot \sin k\omega x{\text{d}}x\right)$

Na mocy lematu I zerują się wszystkie całki po prawej stronie takie że $n\neq k$ (gdy $n=0$ zeruje się cała suma uogólniona). W związku z tym mamy:

$\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\cdot \cos n\omega x\,{\text{d}}x=a_{n}{\tfrac {T}{2}}$

Stąd otrzymujemy wzór (1.2).

Dowód wzoru (1.3) przebiega analogicznie (tym razem mnożymy przez $\sin n\omega x$)

Twierdzenie (o rozwijalności funkcji w szereg Fouriera)

Jeżeli funkcja $f(x)$ jest różniczkowalna w punkcie $x_{0},$ to jej szereg Fouriera jest zbieżny do wartości funkcji w tym punkcie.

Innymi słowy: W punktach różniczkowalności funkcję da się rozwinąć w szereg Fouriera.

Dowód

Niech $x_{0}$ będzie punktem, w którym funkcja $f(x)$ jest różniczkowalna; mamy:

${\begin{aligned}&\;a_{n}\cos n\omega x_{0}+b_{n}\sin n\omega x_{0}\\=&\;{\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\,\cos n\omega x\,dx\cos n\omega x_{0}+{\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\sin n\omega xdx\sin n\omega x_{0}\\=&\;{\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)(\cos n\omega x\cos n\omega x_{0}+\sin n\omega x\sin n\omega x_{0})dx\\=&\;{\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\cos n\omega (x-x_{0})dx\end{aligned}}$

Suma cząstkowa szeregu Fouriera przedstawia się w następujący sposób:

${\begin{aligned}S_{N}&={\tfrac {1}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)dx+\sum _{n=1}^{N}{\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\cos n\omega (x-x_{0})dx\\&={\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x)\left({\tfrac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\omega (x-x_{0})\right)dx\end{aligned}}$

Stosując do tego wyrażenia lemat II, otrzymujemy następujący wzór:

$S_{N}={\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x){\tfrac {\sin \omega \left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)(x-x_{0})}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}(x-x_{0})}}dx$

Funkcja podcałkowa w powyższym wzorze jest funkcją o okresie T, możemy więc dokonać przesunięcia w dziedzinie i otrzymujemy:

$S_{N}={\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(x+x_{0}){\tfrac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}dx$

Funkcja tożsamościowo równa 1 na całym zbiorze liczb rzeczywistych jest rozwijalna w szereg Fouriera w każdym punkcie, kładąc $f(x)=1,$ mamy:

$1={\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}{\tfrac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}dx$

Mnożąc powyższą równość przez $f(x_{0})$ i odejmując obustronnie od równania przedstawiającego sumę cząstkową szeregu, otrzymujemy:

$S_{N}-f(x_{0})={\frac {2}{T}}\int \limits _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}(f(x+x_{0})-f(x_{0})){\frac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}dx.$

(2)

Rozważmy następującą granicę:

$\lim _{x\to 0}{\tfrac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{2\sin \omega {\tfrac {1}{2}}x}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{x}}{\tfrac {x}{2\sin \omega {\tfrac {1}{2}}x}}={\tfrac {f'(x_{0})}{\omega }}$

przy obliczaniu której korzystamy z różniczkowalności funkcji f(x) w punkcie $x_{0}.$

Możemy określić następującą funkcję:

$\phi (x)=\left\{{\begin{aligned}&{\tfrac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{2\sin \omega {\tfrac {1}{2}}x}}&&{\text{gdy}}~~x\neq 0\\&{\tfrac {f'(x_{0})}{\omega }}&&{\text{gdy}}~~x=0\end{aligned}}\right.$

Mając na uwadze fakt, iż zmiana skończonej ilości wartości funkcji podcałkowej nie wpływa na wartość całki, wzór (2) możemy zapisać w postaci:

$S_{N}-f(x_{0})={\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}\phi (x)\sin \omega \left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)xdx$

Funkcja podcałkowa spełnia założenia lematu Riemanna, tak więc:

$\lim _{N\to \infty }(S_{N}-f(x_{0}))=\lim _{N\to \infty }{\tfrac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}\phi (x)\sin \omega \left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)xdx=0$

czyli:

$\lim _{N\to \infty }S_{N}=f(x_{0}).$

q. e. d.

Przestrzeń Hilberta a szereg Fouriera

Baza zespolona szeregu Fouriera

Uwaga: W poniższych rozważaniach przyjęto, iż szereg Fouriera jest funkcją o okresie $T=2\pi$. W przypadku $T\neq 2\pi$ wszystkie własności pozostają nadal prawdziwe, gdyż wystarczy przeskalować daną funkcję do funkcji o okresie $2\pi$.

Zbiór funkcji $\left\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \right\}$ tworzy bazę ortonormalną przestrzeni funkcji całkowalnych w kwadracie $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ na przedziale $[-\pi ,\pi ]$, w której iloczyn skalarny $\langle f|\,g\rangle$ dwóch jej elementów $f$ oraz $g$ ma postać całkową:

$\langle f|\,g\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g^{*}(x)\,dx,$

gdzie $g^{*}(x)$ oznacza sprzężenie zespolone funkcji gdyż

$\int _{-\pi }^{\pi }e^{inx}\cdot e^{imx}\,dx={\begin{cases}2\pi ,&{\text{jeśli }}n=-m\\0,&{\text{jeśli }}n\neq -m\end{cases}}$

Przestrzeń funkcyjna z tak zdefiniowanym iloczynem skalarnym jest nazywana przestrzenią Hilberta. Każdą funkcję $f$ tej przestrzeni można rozłożyć w jej bazie ortonormalnej w postaci szeregu

$f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f|e_{n}\rangle \,e_{n}$

Powyższy szereg przedstawia de facto szereg Fouriera funkcji $f$ w jego zespolonym sformułowaniu, gdzie zamiast funkcji bazowych $\sin(nx)$ oraz $\cos(nx)$ mamy funkcje zespolone $e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z}$.

Baza ortogonalna z funkcji sin i cos szeregu Fouriera

Funkcje $f_{m}(x)=\sin(mx),$ $f_{n}(x)=\cos(nx),$$m,n\in N$ wraz z funkcją stałą $f_{0}(x)=1$ tworzą bazę ortogonalną przestrzeni Hilberta, gdyż: (1) całki z iloczynów $\sin(mx)\cdot \cos(nx)$zawsze są równe zero (obszary zielone i czerwone są równe i znoszą się), (2) całki z iloczynów $\sin(mx)\cdot \sin(nx)$ oraz $\cos(mx)\cdot \cos(nx)$ są niezerowe, równe $\pi$, tylko gdy $m=n$. Funkcje te tworzyłyby układ ortonormalny, gdyby całki te były równe 1, co można uzyskać mnożąc każdą funkcję sin i cos przez $1/{\sqrt {\pi }}$.

Jako bazę ortogonalną w przestrzeni funkcji całkowalnych w kwadracie $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ na przedziale $[-\pi ,\pi ]$ można także wybrać funkcję stałą $f_{0}(x)=1$ oraz funkcje $\sin(mx),\cos(nx)$, dla $m,n=1,2,\dots$Analogicznie więc, jak dla bazy zespolonej, także szereg Fouriera z funkcjami sinus oraz cosinus przedstawia rozkład danej funkcji w bazie przestrzeni Hilberta.

Ortogonalność funkcji $\sin(nx)$ oraz $\cos(nx)$ wraz z funkcją stałą $f_{0}(x)=\cos(0x)=1$ wynika z poniższych całek:

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1$$\int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1$

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx=0$

gdzie $\delta _{mn}=0$ gdy $m\neq n$, $\delta _{mn}=1$ gdy $m=n$ (tj. $\delta _{mn}$ oznacza symbol Kroneckera)

Tabela popularnych szeregów Fouriera

W tabeli zestawiono popularne funkcje okresowe i ich współczynniki szeregu Fouriera

• $s(x)$ oznacza funkcję okresową o okresie $P$
• $a_{0},a_{n},b_{n}$ oznaczają współczynniki szeregu Fouriera w formie trygonometrycznej (sin-cos) dla funkcji okresowych $s(x)$.

Funkcja oryginalna $s(x)$	Wykres funkcji	Współczynniki szeregu Fouriera w postaci trygonometrycznej ${\begin{aligned}&a_{0}\\&a_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&b_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}$	Uwagi
$s(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)\right|\quad {\text{dla }}0\leq x<P$		${\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ parzyste}}\\0&\quad n{\text{ nieparzyste }}\end{cases}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}$	wartość bezwzględna funkcji sinus
$s(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)&\quad {\text{dla }}0\leq x<P/2\\0&\quad {\text{dla }}P/2\leq x<P\\\end{cases}}$		${\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ parzyste}}\\0&\quad n{\text{ nieparzyste}}\end{cases}}\\b_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}$	Funkcja sinus połówkowo filtrowana
$s(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{dla }}0\leq x<D\cdot P\\0&\quad {\text{dla }}D\cdot P\leq x<P\\\end{cases}}$		${\begin{aligned}a_{0}=&AD\\a_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\b_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}$	$0\leq D\leq 1$
$s(x)={\frac {Ax}{P}}\quad {\text{dla }}0\leq x<P$		${\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{2}}\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}$
$s(x)=A-{\frac {Ax}{P}}\quad {\text{dla }}0\leq x<P$		${\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{2}}\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}$
$s(x)={\frac {4A}{P^{2}}}\left(x-{\frac {P}{2}}\right)^{2}\quad {\text{dla }}0\leq x<P$		${\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{3}}\\a_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}$

Tabela podstawowych własności

Tabela zestawia operacje matematyczne wykonywane na danych funkcjach i wpływ tych operacji na współczynniki szeregów Fouriera oraz wpływ operacji wykonywanych na współczynnikach Fouriera i ich wpływ na dane funkcje. Notacja:

• Sprzężenie zespolone jest oznaczane gwiazdką.
• $s(x),r(x)$ oznaczają $T$-okresowe funkcje lub funkcje nieokresowe, zdefiniowane tylko dla $x\in [0,T].$
• $S[n],R[n]$ oznaczają współczynniki szeregów Fouriera w postaci zespolonej odpowiednio dla funkcji $s(x)$ oraz $r(x).$

Własności	Dziedzina funkcji	Dziedzina częstotliwości (dla postaci zespolonej szeregu)	Uwagi
Liniowość	$a\cdot s(x)+b\cdot r(x)$	$a\cdot S[n]+b\cdot R[n]$	$a,b\in \mathbb {C}$
Odwrócenie czasu / Odwrócenie częstotliwości	$s(-x)$	$S[-n]$
Sprzężenie w dziedzinie czasu	$s^{*}(x)$	$S^{*}[-n]$
Odwrócenie w dziedzinie czasu i sprzężenie	$s^{*}(-x)$	$S^{*}[n]$
Obliczanie części rzeczywistej funkcji	$\operatorname {Re} {(s(x))}$	${\frac {1}{2}}(S[n]+S^{*}[-n])$
Obliczanie części urojonej funkcji	$\operatorname {Im} {(s(x))}$	${\frac {1}{2i}}(S[n]-S^{*}[-n])$
Obliczanie części rzeczywistej współczynnika częstotliwości	${\frac {1}{2}}(s(x)+s^{*}(-x))$	$\operatorname {Re} {(S[n])}$
Obliczanie części urojonej współczynnika częstotliwości	${\frac {1}{2i}}(s(x)-s^{*}(-x))$	$\operatorname {Im} {(S[n])}$
Przesunięcie w czasie w danej funkcji / modulacja współczynników częstotliwości	$s(x-x_{0})$	$S[n]\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {x_{0}}{P}}n}$	$x_{0}\in \mathbb {R}$
Przesunięcie współczynników częstotliwości / modulacja danej funkcji	$s(x)\cdot e^{i2\pi {\frac {n_{0}}{P}}x}$	$S[n-n_{0}]\!$	$n_{0}\in \mathbb {Z}$

Szereg Fouriera funkcji 2 zmiennych

Szereg Fouriera dla funkcji dwóch zmiennych $x$ oraz $y$ określonych w dziedzinie $[-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]$ w formie zespolonej ma postać:

$f(x,y)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{mn}e^{i\,mx}e^{i\,ny}\,,$

gdzie współczynniki rozwinięcia dane są wzorem

$c_{mn}={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)\,e^{-i\,mx}e^{-i\,ny}\,dx\,dy$

Bibliografia

• I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, PWN, Warszawa 2019, str. 637-647.
• Barbara Piłat, Mariusz. J. Wasilewski, Tablice całek, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1985, s. 83-89 Współczynniki szeregów Fouriera wybranych funkcji. ISBN ISBN 978-83-20-40-525-5
• Tadeusz Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974, str. 534-544.
• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

Zobacz też

• transformata Fouriera
• dyskretna transformata Fouriera
• szybka transformata Fouriera

Inne:

• okno czasowe
• widmowa gęstość mocy

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-17)].

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fourier Series, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Aplet Java obrazujący idee szeregu Fouriera
• Grant Sanderson, But what is a Fourier series? From heat flow to circle drawings, kanał 3blue1brown na YouTube, 30 czerwca 2019 [dostęp 2021-03-15].