Otwórz menu główne

Szereg Fourieraszereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań oraz przetwarzaniu sygnałów obrazu (kompresja jpeg) i dźwięku (kompresja mp3)[1].

DefinicjaEdytuj

Niech dana będzie funkcja okresowa   o okresie   bezwzględnie całkowalna w przedziale  

Trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji   nazywamy szereg funkcyjny następującej postaci:

 
(1.1)

o współczynnikach określonych następującymi wzorami:

 
(1.2)
 
(1.3)

Powyższe wzory po raz pierwszy ujrzały światło dzienne w pracach Jeana-Baptiste Josepha Fouriera. Niemniej jednak po raz pierwszy wyprowadził je Leonhard Euler (prac na ten temat nie opublikował). Z tego względu wzory te noszą nazwę wzorów Eulera-Fouriera.

W fizyce i technice często spotykane jest następujące oznaczenie (  oznacza okres funkcji)     nosi nazwę pulsacji lub częstości kołowej. Przy zastosowaniu takiego oznaczenia powyższe wzory przyjmują postać:

 
(1.1a)
 
(1.2a)
 
(1.3a)
 
Aproksymacja fali prostokątnej szeregiem Fouriera
 
Aproksymacja fali piłokształtnej szeregiem Fouriera
 
Aproksymacja fali trójkątnej szeregiem Fouriera

WłasnościEdytuj

Poniższe twierdzenia dot. rozwijalności funkcji w szereg Fouriera. W dalszym ciągu zakładamy, że okres funkcji wynosi 2T.

Lemat I (całki pomocnicze)Edytuj

  •   jest liczbą całkowitą
 
 
  •   są liczbami naturalnymi
 
 
 

Lemat IIEdytuj

 

DowódEdytuj

 

więc mamy (biorąc cześć rzeczywistą i stosując podstawowe wzory trygonometryczne):

 

q. e. d.

Lemat IIIEdytuj

Osobny artykuł: Lemat Riemanna.

Jeżeli   jest funkcją ciągłą w przedziale   z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów i bezwzględnie całkowalną w tym przedziale to

 

Twierdzenie (Eulera–Fouriera)Edytuj

Jeżeli szereg o postaci (1.1) jest jednostajnie zbieżny do funkcji   to współczynniki   wyrażają się wzorami (1.2), (1.3).

DowódEdytuj

 

Mnożąc powyższą równość przez   całkując szereg w granicach od   do   (uwzględniając zbieżność jednostajną szeregu stosujemy twierdzenie o całkowaniu szeregu wyraz po wyrazie) otrzymujemy:

 

Na mocy lematu I zerują się wszystkie całki po prawej stronie takie że   (gdy   zeruje się cała suma uogólniona). W związku z tym mamy:

 

Stąd otrzymujemy wzór (1.2).

Dowód wzoru (1.3) przebiega analogicznie (tym razem mnożymy przez  )

Twierdzenie (o rozwijalności funkcji w szereg Fouriera)Edytuj

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie   to jej szereg Fouriera jest zbieżny do wartości funkcji w tym punkcie. Innymi słowy: w punktach różniczkowalności funkcję da się rozwinąć w szereg Fouriera.

DowódEdytuj

Niech   będzie punktem, w którym funkcja f(x) jest różniczkowalna; mamy:

 

Suma cząstkowa szeregu Fouriera przedstawia się w następujący sposób:

 

Stosując do tego wyrażenia lemat II, otrzymujemy następujący wzór:

 

Funkcja podcałkowa w powyższym wzorze jest funkcją o okresie 2T, możemy więc dokonać przesunięcia w dziedzinie i otrzymujemy:

 

Funkcja tożsamościowo równa 1 na całym zbiorze liczb rzeczywistych jest rozwijalna w szereg Fouriera w każdym punkcie, kładąc   mamy:

 

Mnożąc powyższą równość przez   i odejmując obustronnie od równania przedstawiającego sumę cząstkową szeregu, otrzymujemy:

 
(2)

Rozważmy następującą granicę:

 

przy obliczaniu której korzystamy z różniczkowalności funkcji f(x) w punkcie  

Możemy określić następującą funkcję:

 

Mając na uwadze fakt, iż zmiana skończonej ilości wartości funkcji podcałkowej nie wpływa na wartość całki, wzór (2) możemy zapisać w postaci:

 

Funkcja podcałkowa spełnia założenia lematu Riemanna, tak więc:

 

czyli:

 

q. e. d.

PrzypisyEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj