Szereg Fouriera

rozkład funkcji okresowej na trygonometryczne

Szereg Fourieraszereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań oraz przetwarzaniu sygnałów obrazu (kompresja jpeg) i dźwięku (kompresja mp3)[1].

DefinicjaEdytuj

Niech dana będzie funkcja okresowa   o okresie   bezwzględnie całkowalna w przedziale  

Trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji   nazywamy szereg funkcyjny następującej postaci:

 
(1.1)

o współczynnikach określonych następującymi wzorami:

 
(1.2)
 
(1.3)

Powyższe wzory po raz pierwszy ujrzały światło dzienne w pracach Jeana-Baptiste Josepha Fouriera. Niemniej jednak po raz pierwszy wyprowadził je Leonhard Euler (prac na ten temat nie opublikował). Z tego względu wzory te noszą nazwę wzorów Eulera-Fouriera[2].

W fizyce i technice często spotykane jest następujące oznaczenie (  oznacza okres funkcji)     nosi nazwę pulsacji lub częstości kołowej. Przy zastosowaniu takiego oznaczenia powyższe wzory przyjmują postać:

 
(1.1a)
 
(1.2a)
 
(1.3a)

WłasnościEdytuj

 
Aproksymacja fali prostokątnej szeregiem Fouriera
 
Aproksymacja fali piłokształtnej szeregiem Fouriera
 
Aproksymacja fali trójkątnej szeregiem Fouriera

Poniższe twierdzenia dot. rozwijalności funkcji w szereg Fouriera. W dalszym ciągu zakładamy, że okres funkcji wynosi 2T.

Lemat I (całki pomocnicze)Edytuj

  •   jest liczbą całkowitą
 
 
  •   są liczbami naturalnymi
 
 
 

Lemat IIEdytuj

 

DowódEdytuj

 

więc mamy (biorąc cześć rzeczywistą i stosując podstawowe wzory trygonometryczne):

 

q. e. d.

Lemat IIIEdytuj

Osobny artykuł: Lemat Riemanna.

Jeżeli   jest funkcją ciągłą w przedziale   z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów i bezwzględnie całkowalną w tym przedziale to

 

Twierdzenie (Eulera–Fouriera)Edytuj

Jeżeli szereg o postaci (1.1) jest jednostajnie zbieżny do funkcji   to współczynniki   wyrażają się wzorami (1.2), (1.3).

DowódEdytuj

 

Mnożąc powyższą równość przez   całkując szereg w granicach od   do   (uwzględniając zbieżność jednostajną szeregu stosujemy twierdzenie o całkowaniu szeregu wyraz po wyrazie) otrzymujemy:

 

Na mocy lematu I zerują się wszystkie całki po prawej stronie takie że   (gdy   zeruje się cała suma uogólniona). W związku z tym mamy:

 

Stąd otrzymujemy wzór (1.2).

Dowód wzoru (1.3) przebiega analogicznie (tym razem mnożymy przez  )

Twierdzenie (o rozwijalności funkcji w szereg Fouriera)Edytuj

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie   to jej szereg Fouriera jest zbieżny do wartości funkcji w tym punkcie. Innymi słowy: w punktach różniczkowalności funkcję da się rozwinąć w szereg Fouriera.

DowódEdytuj

Niech   będzie punktem, w którym funkcja f(x) jest różniczkowalna; mamy:

 

Suma cząstkowa szeregu Fouriera przedstawia się w następujący sposób:

 

Stosując do tego wyrażenia lemat II, otrzymujemy następujący wzór:

 

Funkcja podcałkowa w powyższym wzorze jest funkcją o okresie 2T, możemy więc dokonać przesunięcia w dziedzinie i otrzymujemy:

 

Funkcja tożsamościowo równa 1 na całym zbiorze liczb rzeczywistych jest rozwijalna w szereg Fouriera w każdym punkcie, kładąc   mamy:

 

Mnożąc powyższą równość przez   i odejmując obustronnie od równania przedstawiającego sumę cząstkową szeregu, otrzymujemy:

 
(2)

Rozważmy następującą granicę:

 

przy obliczaniu której korzystamy z różniczkowalności funkcji f(x) w punkcie  

Możemy określić następującą funkcję:

 

Mając na uwadze fakt, iż zmiana skończonej ilości wartości funkcji podcałkowej nie wpływa na wartość całki, wzór (2) możemy zapisać w postaci:

 

Funkcja podcałkowa spełnia założenia lematu Riemanna, tak więc:

 

czyli:

 

q. e. d.

PrzypisyEdytuj

  1. Transformata Fouriera – prezentacja. [dostęp 2009-12-22].
  2. Szereg Fouriera, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-29].

Linki zewnętrzneEdytuj

Polskojęzyczne
Anglojęzyczne