Otwórz menu główne

Funkcje trygonometryczne

funkcje kąta

Funkcje trygonometrycznefunkcje matematyczne, wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych, będące przedmiotem badań trygonometrii.

Funkcje trygonometryczne, choć wywodzą się z pojęć geometrycznych, są rozpatrywane także w oderwaniu od geometrii. W analizie matematycznej są one definiowane m.in. za pomocą szeregów potęgowych lub jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych.

Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans), z czego dwóch ostatnich obecnie rzadko się używa.

Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach matematyki, innych naukach ścisłych i technice; działem matematyki badającym te funkcje jest trygonometria, lub ściślej: goniometria.

Spis treści

DefinicjeEdytuj

Istnieje wiele równoważnych definicji funkcji trygonometrycznych, zarówno bazujących na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych.

Definicja z elementów trójkąta prostokątnegoEdytuj

Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego przy kącie wewnętrznym danej miary[1] (niżej zastosowano typowe oznaczenia, przedstawione na rysunku obok):

 
Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicji
  • sinus – oznaczany w Polsce[2]   – stosunek długości przyprostokątnej   leżącej naprzeciw tego kąta (na rysunku  ) i długości przeciwprostokątnej  
  • cosinus (lub kosinus) – oznaczany   – stosunek długości przyprostokątnej przyległej   do tego kąta   i przeciwprostokątnej  
  • tangens – oznaczany w Polsce[2]   – stosunek długości przyprostokątnej   leżącej naprzeciw tego kąta   i długości przyprostokątnej   przyległej do tego kąta;
  • cotangens (kotangens) – oznaczany w Polsce[2]   – stosunek długości przyprostokątnej   przyległej do tego kąta   i długości przyprostokątnej   leżącej naprzeciw tego kąta;
  • secans (sekans) – oznaczany w Polsce[2]   – stosunek długości przeciwprostokątnej   i długości przyprostokątnej   przyległej do kąta ostrego   odwrotność cosinusa;
  • cosecans (kosekans) – oznaczany w Polsce[2]   lub   – stosunek długości przeciwprostokątnej   i długości przyprostokątnej   leżącej naprzeciw kąta ostrego   odwrotność sinusa.

Powyższe definicje można zebrać w postaci tabelki[1]:

     
       
       
       

Dla miar kątów   większych od 90° oraz dla ujemnych miar kątów skierowanych   powyższą definicję można uogólnić, przyjmując ujemną długość odpowiednich odcinków.

Dawniej używano też kilku innych funkcji, takich jak:

  • sinus versus[3]:
 
  • haversin (ang. half of the versine)[4]:
 
  • cosinus versus[5]:
 
 

Obecnie nie są one używane, choć zastosowanie funkcji haversin upraszczało obliczanie odległości dwóch punktów na powierzchni Ziemi[7][8][9]

Definicja za pomocą kątaEdytuj

 
Definicja przedstawiona rysunkiem

Jeżeli kąt skierowany   ustawi się tak, aby jego wierzchołek znalazł się w początku prostokątnego układu współrzędnych   pierwsze ramię kąta pokrywa się z pierwszą dodatnią półosią układu, a jego drugie ramię jest dowolną półprostą leżącą w płaszczyźnie układu, wychodzącą z punktu   oraz zawierającą pewien punkt   różny od   to funkcje trygonometryczne miary kąta skierowanego   określa się wzorami[10]:

 
 
 
 
 
 

gdzie  

Stosunki te nie zależą od położenia punktu   na ramieniu kąta   (wynika to wprost z własności podobieństwa trójkątów).

Definicja na okręgu jednostkowym i etymologia nazwEdytuj

 
Definicja na okręgu jednostkowym

Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw. okrąg jednostkowy, to funkcje trygonometryczne miary kąta ostrego   wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków[11]:

 
 
 
 
 
 

Dla miar kątów spoza przedziału   konieczne jest uogólnienie i przyjęcie ujemnej miary niektórych odcinków, podobnie jak w przypadku definicji na trójkącie prostokątnym.

Jeśli chodzi o definicję samego sinusa i cosinusa, to nie ma takiego problemu w przypadku, gdy zamiast na długości odcinków patrzeć będziemy na współrzędne punktu A, wówczas:

 

Alternatywnie, jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku   można przyjąć pole wycinka   – ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla funkcji hiperbolicznych, gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinka hiperboli, analogicznego do  [12].

Definicja ta była historycznie pierwsza. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym.

  • Sinus, czyli połowa długości cięciwy   był w pracach hinduskiego matematyka Aryabhaty w sanskrycie nazywany ardha-jiva („połowa cięciwy”), co zostało skrócone do jiva, a następnie transliterowane do arabskiego jiba (جب). Europejscy tłumacze, Robert z Chester i Gerardo z Cremony w XII-wiecznym Toledo pomylili jiba z jaib (جب), oznaczającym „zatokę” prawdopodobnie dlatego, że jiba (جب) i jaib (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). Sinus znaczy po łacinie właśnie zatoka[13].
  • Tangens pochodzi od łacińskiego tangeredotykający, styczny, gdyż odcinek   jest styczny do okręgu.
  • Secans pochodzi z łacińskiego secaredzielić, rozcinać, rozstrzygać i znaczy odcięcie. Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka   odcinanego przez styczną (tangens).
  • Cosinus, cotangens i cosecans powstały przez złożenie łacińskiego co- (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego   Podobnie cotangens i cosecans są równe tangensowi i secansowi tego kąta. Przedrostek „ko-” był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty (koti-jya, kojya); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje[14].

Definicja za pomocą szeregu TayloraEdytuj

Osobny artykuł: wzór Taylora.
 
Funkcja sinus i jej aproksymacje wielomianami stopnia 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13 utworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora

Definicje za pomocą szeregów określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych liczb rzeczywistych, dla których da się je zdefiniować, pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór liczb zespolonych, kwaternionów, macierzy, a nawet na algebry operatorów, przestrzenie unormowane czy pierścienie nilpotentne[15]. Definicje te są też stosowane do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.

Zachodzą równości[16][17][18]:

 
gdzie   to liczby Bernoulliego
 
gdzie   to liczby Eulera
 

Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym przedziale zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami. W otoczeniu zera mogą do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie.

Definicja za pomocą równań funkcyjnychEdytuj

Twierdzenie: Istnieje dokładnie jedna para funkcji rzeczywistych   taka, że dla każdego  

 

Tymi funkcjami są[19]:

 

Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus można zdefiniować[20] również jako jedyne funkcje   oraz   spełniające poniższe trzy warunki:

 

Definicja za pomocą równań różniczkowychEdytuj

Sinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymi równania różniczkowego

 

które opisuje m.in. ruch masy podwieszonej na sprężynie (tzw. oscylator harmoniczny, patrz Harmoniki).

Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki[21]:

 

Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego[21]

 

Definicja za pomocą iloczynów nieskończonychEdytuj

Funkcje trygonometryczne można też wprowadzić za pomocą iloczynów nieskończonych[22]:

 
 

Definicja za pomocą ułamków łańcuchowychEdytuj

Niektóre funkcje trygonometryczne można wyrazić w postaci ułamków łańcuchowych[23][24][25]:

 
 
 

Definicje za pomocą ogólniejszych funkcjiEdytuj

Funkcje trygonometryczne można też zdefiniować analitycznie jako szczególne przypadki funkcji Bessela, funkcji Mathieu albo funkcji eliptycznych Jacobiego[26].

WłasnościEdytuj

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistejEdytuj

Przebieg zmienności funkcjiEdytuj

W matematyce na poziomie szkół średnich i w wielu praktycznych zastosowaniach rozpatruje się funkcje trygonometryczne dla argumentu będącego liczbą rzeczywistą. Mają one wówczas następujące własności:

Dziedzina i asymptoty
  • Funkcje sinus i cosinus określone są dla każdej liczby rzeczywistej.
  • Tangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać   gdzie   jest liczbą całkowitą.
  • Cotangens jest określony w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych poza liczbami postaci   gdzie   jest liczbą całkowitą.
  • Tangens i secans mają asymptoty pionowe w punktach postaci   a cotangens i cosecans w punktach postaci   Żadna z tych funkcji nie ma asymptot innego rodzaju.
Przeciwdziedzina
  • Sinus i cosinus są ograniczone: przyjmują wartości z przedziału   Tangens i cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste, a secans i cosecans wartości ze zbioru[27]  
Ekstrema
  • Maksymalną wartość, w obu przypadkach   sinus przyjmuje w punktach   a cosinus w punktach   gdzie   jest całkowita.
  • Minimalną wartość, dla obu funkcji   sinus przyjmuje w punktach   a cosinus w punktach   gdzie   jest całkowita.
Miejsca zerowe
  • Miejscami zerowymi sinusa i tangensa są punkty postaci   gdzie   jest całkowita.
  • Miejscami zerowymi cosinusa i cotangensa są punkty postaci   gdzie   jest całkowita.
Parzystość i nieparzystość
  • Funkcje sinus, tangens, cotangens, cosecans są nieparzyste, a funkcje cosinus i secans parzyste:
     
Okresowość
  • Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi. Okresem podstawowym sinusa, cosinusa, secansa i cosecansa jest liczba   a tangensa i cotangensa  [28][29]:
     
gdzie   jest liczbą całkowitą.
Ciągłość i różniczkowalność
  • Funkcje sinus i cosinus są ciągłe i różniczkowalne w każdym punkcie prostej rzeczywistej. Tangens, cotangens, secans i cosecans także są ciągłe i różniczkowalne w swoich dziedzinach (zob. wyżej).
Odwracalność
Własności algebraiczne

WykresyEdytuj

Krzywe, będące wykresami funkcji sinus, cosinus, tangens, cotangens nazywa się odpowiednio: sinusoidą, cosinusoidą (kosinusoidą), tangensoidą i cotangensoidą (kotangensoidą)[29].

Cosinusoida jest sinusoidą przesuniętą o wektor   Szare linie pionowe na dolnych wykresach to asymptoty. Wykresy można powiększyć przez kliknięcie myszką.


Wartości dla typowych kątówEdytuj

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°[31]:

radiany              
stopnie              
               
               
              nieokreślony
  nieokreślony            
              nieokreślony
  nieokreślony            

Wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla argumentów postaci   dają się zapisać za pomocą skończonego wzoru z użyciem podstawowych działań arytmetycznych i pierwiastka kwadratowego wtedy i tylko wtedy, gdy po skróceniu ułamka   liczba   jest iloczynem potęgi dwójki i różnych liczb pierwszych Fermata (jak dotąd znanych jest pięć takich liczb: 3, 5, 17, 257, 65537)[32][33]. W szczególności nie da się zapisać w ten sposób dokładnej wartości funkcji kąta 1°, gdyż   a   ma drugą potęgę przy trójce. Warunek na   jest identyczny jak warunek konstruowalności  -kąta foremnego za pomocą cyrkla i linijki (por. twierdzenie Gaussa-Wantzela).

Wzory redukcyjneEdytuj

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić dowolny rzeczywisty argument funkcji trygonometrycznej do argumentu z przedziału   czyli  [34]:

I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka
               
             
               
               
               
               
               
               

Aby zapamiętać zmianę funkcji, można wspomagać się następującą obserwacją: funkcja przechodzi w swoją kofunkcję, jeżeli rozpatrywany kąt ma postać   bądź   w przypadkach   oraz   funkcja nie ulega zmianie. Znaki w poszczególnych ćwiartkach układu dla odpowiednich funkcji w powyższej tabelce zgodne są ze znakami redukowanych funkcji w danej ćwiartce według tabeli[27]:

 
Ćwiartki układu współrzędnych
I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka
  + +
  + +
  + +
  + +
  + +
  + +

Metodą mnemotechniczną zapamiętania znaków dla stosowanych najczęściej w redukcji pierwszych czterech spośród powyższych funkcji jest popularny wierszyk nieznanego autora:

W pierwszej ćwiartce są dodatnie,
w drugiej tylko sinus,
w trzeciej tangens i cotangens,
a w czwartej cosinus.

W innych wersjach pierwszy wers brzmi:

W pierwszej ćwiartce same plusy lub W pierwszej wszystkie są dodatnie.

Podstawowe tożsamości trygonometryczneEdytuj

Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:

 
  • definicja tangensa i cotangensa za pomocą sinusa i cosinusa (pozwala wyprowadzić tożsamości dla tangensa i cotangensa z tożsamości dla sinusa i cosinusa)[35]:
 
 
Geometryczny dowód wzoru  
  • wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów[35]:
 
 
  • wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów[35]:
 
 
 
  • wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu[36]:
 
 
  • wzory na sinus i cosinus połowy argumentu[37]:
 
 
  • iloczyn w postaci sumy[37]:
 
 
 
  • wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne[35][38]:
 
 
 
 
 
 
 

(Zastrzeżenie formalne: Równości powyżej są prawdziwe tylko dla argumentów, dla których wszystkie użyte funkcje są określone, a w mianownikach nie występują zera)

Pochodne funkcji trygonometrycznychEdytuj

Zachodzą równości[39]:

 
 
 
 
 
 

Można z nich otrzymać pochodne wyższych rzędów:

 
 

Wzory na  -te pochodne pozostałych funkcji trygonometrycznych również istnieją, jednak są o wiele bardziej skomplikowane[40][41][42][43].

Całki funkcji trygonometrycznychEdytuj

Podstawowe całki to[44]:

 
 
 
 
 
 

gdzie  


Każda całka funkcji wymiernej postaci   jest elementarna, można ją obliczyć przez podstawienie[45]:

 

wówczas:

 
 
 
 
 
 
 

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonejEdytuj

Używając definicji analitycznych funkcji trygonometrycznych można te funkcje uogólnić m.in. na liczby zespolone.

Porównanie z funkcjami zmiennej rzeczywistejEdytuj

Uogólnione w ten sposób funkcje trygonometryczne zachowują większość własności zmiennej rzeczywistej:

  • okresowość (w tym okres podstawowy),
  • tożsamości trygonometryczne,
  • miejsca zerowe,
  • punkty nieokreśloności:
    • sinus i cosinus są określone w całym zbiorze liczb zespolonych,
    • tangens jest określony w zbiorze liczb zespolonych, których usunięto liczby postaci   a cotangens – punktów postaci   gdzie   jest całkowita.

Zasadniczą różnicą jest brak ograniczoności funkcji sinus i cosinus. Przykładowo cosinus niezerowego argumentu urojonego jest zawsze liczbą rzeczywistą większą od   w szczególności:

 

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są (nieskończenie) wielokrotne na całej płaszczyźnie zespolonej.

Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumentyEdytuj

Funkcja Część rzeczywista Część urojona Moduł
       
       
       
       

Argument   oblicza się według wzorów:

 
 

gdzie   to wartość odpowiedniej funkcji trygonometrycznej.

Wzór EuleraEdytuj

Osobny artykuł: Wzór Eulera.

W dziedzinie zespolonej zachodzi związek, zwany wzorem Eulera:

 

Wynika z niego, iż:

 
 
 
 
 
 

gdzie:

Wzory te pozwalają na niemal mechaniczne upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych.

WykresyEdytuj

Liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej zostały oznaczone kolorami, zgodnie z umownym schematem. Odcienie barw określają argument, a jasność – moduł wyniku

Związki z innymi funkcjamiEdytuj

Funkcje odwrotne do trygonometrycznychEdytuj

Osobny artykuł: Funkcje cyklometryczne.

Funkcje odwrotne do trygonometrycznych nazywane są też funkcjami kołowymi lub cyklometrycznymi. Ze względu na okresowość funkcji trygonometrycznych funkcje te są do nich odwrotne jedynie w przedziale obejmującym jeden okres[46].

Nazwa Zapis Odwrotna do Dziedzina Przeciwdziedzina
arcus sinus        
arcus cosinus        
arcus tangens        
arcus cotangens        
arcus secans        
arcus cosecans        

HarmonikiEdytuj

 
Sinusoidalny ruch prostego oscylatora
Osobny artykuł: Harmonika (matematyka).

Funkcje postaci

 

gdzie:

  •  amplituda,
  •   – prędkość kątowa (pulsacja),
  •   – faza początkowa

są nazywane harmonikami[47]. Funkcje sinus i cosinus są ich szczególnymi przypadkami. Harmoniki mają duże znaczenie w praktyce, przy analizie funkcji okresowych. Kombinacja liniowa kilku harmonik o tej samej częstotliwości jest ciągle harmoniką o tej częstotliwości.

Harmoniki stosowane są w fizyce przy badaniu wszelkich zjawisk okresowych, np. drgań. Wiele z tych zjawisk, np. masa na sprężynie, wahadło przy niewielkim wychyleniu, albo obwód rezonansowy sprowadzają się w wyidealizowanym przypadku (przy braku strat energii) do równania różniczkowego:

 

którego rozwiązaniami są harmoniki.

Funkcje hiperboliczneEdytuj

Osobny artykuł: Funkcje hiperboliczne.
 
Sinus, cosinus i tangens hiperboliczny

Jak podano w sekcji Definicja za pomocą równań funkcyjnych, funkcje sinus i cosinus można zdefiniować w następujący sposób[20]:

 

Jeśli warunek W2 zmienić na:

 

wówczas warunki W1, W2', W3 będą spełnione przez inne funkcje, które przez analogię nazywane są sinusem hiperbolicznym (sinh) i cosinusem hiperbolicznym (cosh)[48].

Analogicznie jak dla funkcji trygonometrycznych definiuje się też tangens, cotangens, secans i cosecans hiperboliczny jako odpowiednie ilorazy z udziałem sinusa i cosinusa hiperbolicznego. Istnieje także całkowy sinus hiperboliczny i całkowy cosinus hiperboliczny.

 
Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji hiperbolicznych
 
Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji trygonometrycznych

Także definicja na okręgu jednostkowym dla funkcji trygonometrycznych ma swój odpowiednik hiperboliczny. Zamiast okręgu jednostkowego

 

należy wziąć hiperbolę o równaniu

 

Na okręgu jednostkowym argument funkcji trygonometrycznych odpowiadał mierze kąta, jednak jest ona równa polu wycinka kołowego, symetrycznego względem osi OX. Podobnie w przypadku funkcji hiperbolicznych argumentowi odpowiada pole odpowiedniego wycinka. Biorąc długości odcinków, które na okręgu odpowiadały funkcjom sinus, cosinus i tangens, uzyskuje się na hiperboli sinus, cosinus i tangens hiperboliczny[12].

Istnieją też inne analogie. Dla funkcji trygonometrycznych zachodzą równości, podane w sekcji Wzór Eulera.

Analogiczne wzory występują dla funkcji hiperbolicznych[49]:

 

Istnieją też analogie niektórych tożsamości trygonometrycznych[49]:

 
 
 

Podobieństwa te wynikają z głębokiej symetrii pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a hiperbolicznymi, przejawiającej się także po ich uogólnieniu na argumenty zespolone[49].

Niektóre zastosowaniaEdytuj

Ze względu na obecność funkcji trygonometrycznych w najróżniejszych działach nauki i techniki nie jest możliwe podanie wszystkich ich zastosowań[50]. Poniżej wymieniono więc tylko niektóre.

GeometriaEdytuj

Bezpośrednim zastosowaniem funkcji trygonometrycznych w geometrii elementarnej jest wyznaczanie długości boków lub kątów trójkąta. Poniżej podano kilka innych zastosowań.

Twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensówEdytuj

 
Oznaczenia
 
Geometryczny dowód twierdzenia cosinusów dla kątów ostrych. Obydwie figury mają równe pola powierzchni.

W każdym trójkącie (przy oznaczeniach standardowych, zob. rysunek) zachodzą następujące równości:

Twierdzenie sinusów, inaczej twierdzenie Snelliusa[51]:

 

(  jest promieniem okręgu opisanego)

Twierdzenie cosinusów, inaczej twierdzenie Carnota[52]:

 

Twierdzenie tangensów, inaczej twierdzenie Regiomontana[52]:

 

W geometrii sferycznej istnieje także twierdzenie haversinów, związane z nieużywaną dziś funkcją trygonometryczną   pozwalające na obliczanie odległości pomiędzy dwoma punktami na sferze[7].

Wzory na pole trójkątaEdytuj

Wzory na pole trójkąta często wykorzystują funkcje trygonometryczne[50]:

 

lub

 

lub

 

gdzie:

  •   to boki trójkąta,
  •   to miary kątów o wierzchołkach leżących naprzeciw boków odpowiednio   i  
  •   to promień koła opisanego.

Iloczyny wektorówEdytuj

Osobne artykuły: Iloczyn skalarnyIloczyn wektorowy.

W geometrii i algebrze liniowej definiowane są iloczyny wektorów, m.in. iloczyny skalarny i wektorowy. Czasem konieczne jest obliczenie wartości iloczynu skalarnego lub wektorowego dla wektorów o znanych kierunkach, zwrotach i długościach. Wzory wykorzystują funkcje trygonometryczne kąta   między wektorami:

  • iloczyn skalarny[53],
     
  • iloczyn wektorowy[53],
     
gdzie   jest ustalonym wektorem jednostkowym prostopadłym tak do   jak i do  

Współrzędne biegunowe, sferyczne i walcoweEdytuj

Najczęściej w geometrii stosowany jest układ współrzędnych kartezjańskich. Niekiedy jednak wygodnie jest stosować inne układy, w których niektóre współrzędne są wyznaczone za pomocą kątów. Do takich układów należy układ współrzędnych biegunowych, układ współrzędnych sferycznych (jego zastosowaniem są np. współrzędne geograficzne) i układ współrzędnych walcowych. Wówczas przydatne są funkcje trygonometryczne, m.in. do przeliczania takich współrzędnych na współrzędne kartezjańskie.

Geometria sferycznaEdytuj

Osobny artykuł: Geometria sferyczna.

Funkcje trygonometryczne są ważnymi narzędziami geometrii sferycznej i jej zastosowań w astronomii, nawigacji i geodezji, gdzie służą m.in. do rozwiązywania trójkątów sferycznych.

Zobacz też: reguła Nepera.

Analiza matematycznaEdytuj

Szereg FourieraEdytuj

Osobny artykuł: Szereg Fouriera.
 
Przedstawienie fali prostokątnej w postaci szeregu harmonicznych

Funkcje   tworzą dla dowolnego   układ ortonormalny. Dzięki temu funkcje okresowe   spełniające tzw. warunki Dirichleta mogą być wyrażone w postaci tzw. szeregu Fouriera:

 

Można go również wyrazić za pomocą np. samych funkcji sinus. Poszczególne składowe tego szeregu nazywane są harmonicznymi. Szereg Fouriera odgrywa wielką rolę w fizyce, teorii drgań, a nawet teorii muzyki (zob. szereg harmoniczny (muzyka), alikwoty).

Funkcja WeierstrassaEdytuj

 
Funkcja Weierstrassa
Osobny artykuł: Funkcja Weierstrassa.

Za pomocą szeregu trygonometrycznego definiowana jest funkcja, która jest ciągła, jednak nie jest w żadnym punkcie różniczkowalna[54]:

 

gdzie   jest pewną liczbą z przedziału   natomiast   jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek  

Funkcja DirichletaEdytuj

Osobny artykuł: Funkcja Dirichleta.

Za pomocą funkcji cosinus definiowana jest tzw. funkcja Dirichleta, która przyjmuje wartość 1 dla argumentów wymiernych i 0 dla niewymiernych[55]:

 

Teoria liczbEdytuj

Osobny artykuł: Funkcja Möbiusa.

Choć teoria liczb jest dziedziną daleką od analizy matematycznej, także tutaj pojawiają się funkcje trygonometryczne. Na przykład[56]:

 

gdzie   to tzw. funkcja Möbiusa.

Zastosowania poza matematykąEdytuj

 
Krzywe Lissajous powstają przez złożenie sinusoidalnych drgań o różnej częstotliwości w pionie i w poziomie

Funkcje trygonometryczne mają wiele zastosowań w najróżniejszych dziedzinach nauki i techniki, takich jak na przykład:

HistoriaEdytuj

Zobacz więcej w artykule Trygonometria, w sekcji Historia.

Polskie nazwyEdytuj

Poloniści dopuszczają zarówno formy „cosinus, cotangens, cosecans, secans”, jak i „kosinus, kotangens, kosekans, sekans”. Słowniki języka polskiego skłaniają się ku tym drugim jako bardziej naturalnym dla języka polskiego[58], jednak słowniki i encyklopedie matematyczne raczej nie używają form spolszczonych, podobnie w naukowej literaturze matematycznej są one rzadko spotykane.

Już pod koniec XVIII wieku Jan Śniadecki próbował wprowadzić całkowicie polskie odpowiedniki nazw i skrótów funkcji trygonometrycznych[59][60] (w nawiasie proponowany skrót):

  • sinus – wstawa (wst),
  • cosinus – dostawa (dost),
  • tangens – styczna (sty),
  • cotangens – dostyczna (dosty),
  • secans – sieczna (sie),
  • cosecans – dosieczna (dosie).

Propagował je potem m.in. Andrzej Radwański w dziele „Słownik wyrazów grecko-łacińskich w poznawaniu Rody używanych… bezpłatnie dodany do dzieła Treść nauki przyrodzenia” wydanym w 1850 roku[61]. Zwalczał tam wszelkie nazwy pochodzące z greki i łaciny.

W latach 1918–1924 polskie nazwy próbował forsować rektor Szkoły Politechnicznej we Lwowie, prof. Maksymilian Thullie (1853-1939). Stosował je w swoich pracach, np. w podręczniku Statyka budowli (wyd. IV, Lwów 1921), jednak nie przyjęły się[62].

Oznaczenia funkcji trygonometrycznychEdytuj

W różnych krajach stosowane są różne skróty funkcji trygonometrycznych:

sinus cosinus tangens cotangens
kraje anglojęzyczne sin[63][64] cos[63][64] tan[63][64] (czasem tg[65]) cot[63][64] (czasem ctg[65], ctn[66])
Chiny sin[67] cos[67] tan[67]/tg[68] cot[67]/ctg[68]
Finlandia sin[69] cos[69] tan[69] cot[69]
kraje francuskojęzyczne sin[70][71] cos[70][71] tan[72]/tang[70]/tg[71][73] cotan[72]/cotg[73]/cot[70]/ctg[71]
kraje hiszpańskojęzyczne sen[74][75] cos[74][75] tan[75]/tg[74][76]/tag[77] cot[74][75]/cotg[77]/ctg[76]
Holandia sin[78] cos[78] tan[78] cot[78]
Indonezja sin[79] cos[79] tan[79] cot[79]
Japonia sin[80] cos[80] tan[80] cot[80]
Korea sin[81] cos[81] tan[81] cot[81]
Litwa sin[82] cos[82] tg[82] ctg[82]
kraje niemieckojęzyczne sin[83] cos[83] tan[83]/tg[84] cot[83]/ctg[84]
kraje portugalskojęzyczne sen[85]/sin[86] cos[85][86] tan[86]/tg[85][87] cot[86]/ctg[87]
Rosja sin[88] cos[88] tg[88] ctg[88]
Turcja sin[89] cos[89] tan[89] cot[89]
Ukraina sin[90] cos[90] tg[90] ctg[90]
Węgry sin[91] cos[91] tg[91] ctg[91]
Włochy sen[92]/sin[93] cos[92][93] tan[93]/tg[92] cot[93]/ctg[92]

Secans i cosecans są generalnie rzadko używane, lecz wszędzie stosuje się skróty sec i cosec/csc. Jedynie we Francji często dodawany jest nad tymi skrótami akcent: séc/coséc[70][71].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, (w bibliografii), s. 230.
  2. a b c d e W innych krajach bywają stosowane inne skróty – zobacz sekcja Oznaczenia funkcji trygonometrycznych.
  3. Mathworld – Versine (ang.). [dostęp 10 stycznia 2009].
  4. Mathworld – Haversine (ang.). [dostęp 10 stycznia 2009].
  5. Mathworld – Coversine (ang.). [dostęp 10 stycznia 2009].
  6. Mathworld – Exsecant (ang.). [dostęp 10 stycznia 2009].
  7. a b D. Zwillinger: (red.) Spherical Geometry and Trigonometry. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995, s. 468-471, § 6.4, seria: CRC Standard Mathematical Tables and Formulae.
  8. Roger W. Sinnott. Virtues of the Haversine. „Sky and Telescope”. 68 (2), s. 159, 1984 (ang.). 
  9. Chris Veness: Calculate distance and bearing between two Latitude/Longitude points using Haversine formula in JavaScript (ang.). www.movable-type.co.uk. [dostęp 2013-10-13].
  10. Słownik encyklopedyczny – matematyka (w bibliografii), s. 90.
  11. Reinhardt i Soeder 2006 ↓, (w bibliografii), s. 182–183.
  12. a b Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 253.
  13. Owen Gingerich, Astronomia islamu, „Urania”, LX (8), sierpień 1989, s. 233, ISSN 0042-0794.
  14. David Bressoud, Joy Laine: Parallel Developments in Philosophy and Mathematics in India (ang.). s. 13. [dostęp 19 marca 2009].
  15. W przypadku pierścieni nilpotentnych szereg Taylora ma tylko skończoną liczbę wyrazów różną od 0.
  16. Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 417–418.
  17. Reinhardt i Soeder 2006 ↓, s. 294.
  18. Mathworld – Secans – series representation. [dostęp 10 stycznia 2009].
  19. Paweł Głowacki: Analiza B. Wykład 3. Funkcje elementarne. [dostęp 19 marca 2008]. twierdzenie 20.
  20. a b Reinhardt i Soeder 2006 ↓, s. 295.
  21. a b Wolfram Mathworld – The best-known properties and formulas for trigonometric functions. [dostęp 19 marca 2009].
  22. Stanisław Saks, Antoni Zygmund: Funkcje analityczne. Warszawa-Lwów-Wilno: 1938, s. 299, seria: Monografie Matematyczne tom 10.
  23. Sine (ang.). Mathworld. [dostęp 2 stycznia 2009].
  24. Tangent (ang.). Mathworld. [dostęp 2 stycznia 2009].
  25. Cotangent: continued fraction representation (ang.). Mathworld. [dostęp 2 stycznia 2009].
  26. Wolfram Mathworld – Connections within the group of trigonometric functions and with other function groups. [dostęp 19 marca 2009].
  27. a b Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 231.
  28. Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 625.
  29. a b Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 114–116.
  30. Jörg Jahnel: When is the (co)sine of a rational angle equal to a rational number? (ang.). s. 3. [dostęp 2015-12-28]. [zarchiwizowane z tego adresu (2006-10-02)].
  31. Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 233.
  32. Wolfram Mathworld – Sine: Specific values. [dostęp 19 marca 2009].
  33. Wolfram Mathworld – Tangent: Specific values. [dostęp 19 marca 2009].
  34. Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 232.
  35. a b c d e Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 234.
  36. Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 235.
  37. a b Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 236.
  38. Słownik encyklopedyczny – matematyka, s. 93–94.
  39. Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 397.
  40. Tangent differentiation. [dostęp 24 stycznia 2009].
  41. Cotangent differentiation. [dostęp 24 stycznia 2009].
  42. Secant differentiation. [dostęp 24 stycznia 2009].
  43. Cosecant differentiation. [dostęp 24 stycznia 2009].
  44. Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 426.
  45. Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 438.
  46. Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 117.
  47. Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 237.
  48. Reinhardt i Soeder 2006 ↓, s. 297.
  49. a b c Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989, s. 164. ISBN 83-204-0920-9.
  50. a b Wolfram Mathworld – Introduction to the trigonometric functions. [dostęp 19 marca 2009].
  51. Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 239.
  52. a b Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 240.
  53. a b Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓, s. 650.
  54. Paul Du Bois-Reymond. Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen. „J. Reine Angew. Math”. 79, s. 21–37, 1875. 
  55. Wolfram Mathworld – The Dirichlet function. [dostęp 19 marca 2009].
  56. Mathworld – MoebiusMu[n – Series representations]. [dostęp 10 stycznia 2009].
  57. Mathworld – Logistic equation solution (ang.). [dostęp 10 stycznia 2009].
  58. Hasło cosinus w słowniku języka polskiego PWN. [dostęp 12 kwietnia 2008].
  59. Jan Śniadecki: Trygonometrya kulista analitycznie wyłożona. Wyd. 2. 1820.
  60. Maksymilian Tytus Huber: Pisma. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1957.
  61. Mateusz Pasternak: Anegdoty matematyczne. [dostęp 12 kwietnia 2008].
  62. Roman Ciesielski, Katarzyna Tyńska: Nasza Politechnika: Izydor Stella-Sawicki. [dostęp 12 kwietnia 2008].
  63. a b c d Max Fogiel: Handbook of mathematical, scientific, and engineering formulas, tables, functions, graphs, transforms. Research and Education Association, 1994, s. 213. ​ISBN 0-87891-521-4​, ​ISBN 978-0-87891-521-7​. [dostęp 22 marca 2009]. (ang.)
  64. a b c d Anthony Nicolaides: Pure Mathematics. Wyd. 3. Pass Publications, 2007, s. 42. ​ISBN 1-872684-87-4​, ​ISBN 978-1-872684-87-1​. [dostęp 22 marca 2009]. (ang.)
  65. a b Journal of engineering for industry. American Society of Mechanical Engineers, 1969. [dostęp 22 marca 2009]. (ang.)
  66. Felix Klein: Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis. Cosimo, Inc., 2007, s. 180. ​ISBN 1-60206-647-7​, ​ISBN 978-1-60206-647-2​. [dostęp 22 marca 2009]. (ang.)
  67. a b c d Zhi-shu He Tian: 數學定理、公式暨習題詳解. 五南圖書出版股份有限公司, 2007, s. 133. ​ISBN 957-11-4564-5​, ​ISBN 978-957-11-4564-8​. [dostęp 22 marca 2009]. (chiń.)
  68. a b Ke xue shi ji kan. Ke xue chu ban she. [dostęp 23 marca 2009]. (chiń.)
  69. a b c d Weikko Aleksanteri Heiskanen, Seppo Härmälä: Maastomittaus ja kartoitus. W. Söderström, 1972. [dostęp 23 marca 2009]. (fiń.)
  70. a b c d e Jean Baptiste, Joseph Delambre: Histoire de l’astronomie du moyen âge. V. Courcier, 1819, s. 462. [dostęp 22 marca 2009]. (fr.)
  71. a b c d e Pascal Dupont: Exercices de mathématiques: Volume 1, Algèbre et géométrie. Wyd. 2. De Boeck Université, 2005, s. 98. ​ISBN 2-8041-4312-0​, ​ISBN 978-2-8041-4312-1​. [dostęp 22 marca 2009].
  72. a b Gilles Desbiens: Trigonométrie du triangle rectangle (fr.). [dostęp 22 marca 2009]. [zarchiwizowane z tego adresu (2008-02-20)].
  73. a b André Caillemer, Catherine Le Cocq: Astronomie de position, géodésie. Wyd. 2. Editions TECHNIP, 1998, s. 187. ​ISBN 2-7108-0439-5​, ​ISBN 978-2-7108-0439-0​. [dostęp 22 marca 2009]. (fr.)
  74. a b c d Arenas Solá: Matemáticas: fichas de la asignatura. Edicions Universitat Barcelona, s. 24. ​ISBN 84-475-3206-2​, ​ISBN 978-84-475-3206-3​. [dostęp 22 marca 2009]. (hiszp.)
  75. a b c d James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson, Héctor Vidaurri, Alejandro Alfaro, María Bruna, Josefina Anzures, Francisco Sánchez Fragoso: Precálculo: Matemáticas para el cálculo. Wyd. 5. Cengage Learning Editores, 2007, s. 411. ​ISBN 970-686-638-8​, ​ISBN 978-970-686-638-7​. [dostęp 22 marca 2009]. (hiszp.)
  76. a b Lira Contreras, Ana Rosa: Geometria y Trigonometria. Ediciones Umbral, s. 117. ​ISBN 970-9758-34-9​, ​ISBN 978-970-9758-34-4​. [dostęp 22 marca 2009]. (hiszp.)
  77. a b Salvador Guillén Vázquez: Manual de matemáticas para acceso a la Universidad. Editorial Ramón Areces, 1991, s. 1704. ​ISBN 84-8004-006-8​, ​ISBN 978-84-8004-006-8​. [dostęp 22 marca 2009]. (hiszp.)
  78. a b c d Jean-Pierre Daems, Edward Jennekens, Valentijn Van Hooteghem: Argument 4-5 – Goniometrie – Driehoeksmeting. Uitgeverij De Boeck, 2004, s. 211. ​ISBN 90-455-0674-2​, ​ISBN 978-90-455-0674-6​. [dostęp 23 marca 2009].
  79. a b c d Sulistiyono, Sri Kurnianingsih, Kuntarti: Matematika Sma Dan Ma untuk Kelas XI Semester 1. Jakarta: ESIS, s. 172. ​ISBN 979-734-502-5​, ​ISBN 978-979-734-502-0​. ISBN 979-734-502-5. [dostęp 22 marca 2009]. (indonez.)
  80. a b c d 信州大学. 工学部: 信州大学工学部紀要. 信州大学工学部, 1981. [dostęp 22 marca 2009]. (jap.)
  81. a b c d Yong-un Kim: Tongyang ŭi kwahak kwa sasang: Hanʼguk kwahak ŭi kanŭngsŏng ŭl chʻajasŏ. Ilchisa, 1984. [dostęp 23 marca 2009]. (kor.)
  82. a b c d Litovskiĭ fizicheskiĭ sbornik. Gos. izd-vo polit. i nauch. lit-ry, 1984. [dostęp 23 marca 2009]. (lit.)
  83. a b c d Johann Mutschmann, Fritz Stimmelmayr, Werner Knaus: Taschenbuch der Wasserversorgung. Vieweg+Teubner Verlag, 2007, s. 873. ​ISBN 3-8348-0012-0​, ​ISBN 978-3-8348-0012-1​. [dostęp 22 marca 2009]. (niem.)
  84. a b Hans Geiger, Karl Scheel: Handbuch der Physik. Julius Springer, 1928. [dostęp 22 marca 2009]. (niem.)
  85. a b c Memórias da Academia das ciências de Lisboa, classe de ciências. Lisbona: 1967. [dostęp 22 marca 2009]. (port.)
  86. a b c d Dubbel Manual Da Construcao de Maquinas. Hemus, s. 68. ​ISBN 85-289-0270-6​, ​ISBN 978-85-289-0270-9​. [dostęp 22 marca 2009]. (port.)
  87. a b Antônio Gonçalves, Moreira Couto: Geometria descritiva e insolação. 1961. [dostęp 22 marca 2009]. (port.)
  88. a b c d Тесты и экзаменационные задания по математике за курс средней школы (ЕГЭ): Учебное пособие. Издательский дом „Питер”, s. 160. ​ISBN 5-469-00278-0​, ​ISBN 978-5-469-00278-9​. [dostęp 22 marca 2009]. (ros.)
  89. a b c d Orta Doğu: Isi transferí. [dostęp 23 marca 2009]. (tur.)
  90. a b c d Mykola Platonovych Bahan: Ukraïnsʹka radi͡a͡nsʹka entsyklopedii͡a͡. Akademii͡a nauk Ukr. Radi͡ansʹkoï Sot͡sialistichnoï Respubliky, 1959. [dostęp 22 marca 2009]. (ukr.)
  91. a b c d A Magyar Tudományos Akadémia Matematikai és Fizikai Tudományok Ostályának kózleményei. 1974. [dostęp 22 marca 2009]. (węg.)
  92. a b c d Pierangelo Andreini: Manuale dell’ingegnere meccanico. Wyd. 2. Hoepli Editore, 2002, s. 16. ​ISBN 88-203-3380-5​, ​ISBN 978-88-203-3380-5​. [dostęp 22 marca 2009]. (wł.)
  93. a b c d James Stewart: Calcolo. Funzioni di una variabile. Apogeo Editore, 2001, s. 222. ​ISBN 88-7303-747-X​, ​ISBN 978-88-7303-747-7​. [dostęp 22 marca 2009]. (wł.)

BibliografiaEdytuj

  • Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: PWN, 1976.
  • Lidia Filist, Artur Malina, Alicja Solecka: Słownik encyklopedyczny – matematyka. Wydawnictwo Europa, 1998. ISBN 83-85336-06-0.
  • Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1976.
  • Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych. Wyd. III. Warszawa: PWN, 1954.
  • Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, 2006. ISBN 83-7469-189-1.