Okrąg jednostkowy

Okrąg jednostkowyokrąg o promieniu jednostkowym, tzn. równym 1. Często, szczególnie w trygonometrii, „okrąg jednostkowy” oznacza okrąg o promieniu 1 i środku w początku, tzn. punkcie układu współrzędnych kartezjańskich płaszczyzny euklidesowej. Często oznacza się go symbolem jego uogólnieniem na wyższe wymiary jest sfera jednostkowa.

Ilustracja okręgu jednostkowego, zmienna jest miarą kąta

Jeżeli jest punktem okręgu jednostkowego leżącym w pierwszej ćwiartce, to i są długościami przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej długości 1. Z twierdzenia Pitagorasa oraz spełniają równanie:

Ponieważ dla każdego a odbicie dowolnego punktu leżącego na okręgu jednostkowych względem osi rzędnych bądź odciętych nadal leży na tym okręgu, to powyższe równanie jest spełnione dla wszystkich punktów leżących na okręgu jednostkowym, a nie tylko tych z pierwszej ćwiartki.

Do zdefiniowania innych „okręgów jednostkowych”, np. okręgu Riemanna, można skorzystać z innych pojęć „odległości” (zob. przestrzeń unormowana).

Okrąg jednostkowy można zadać wielorako. Korzystając z własności liczb zespolonych uzyskuje się charakteryzację:

  • wykładniczą
  • trygonometryczną

Funkcje trygonometryczneEdytuj

 
Wszystkie funkcje trygonometryczne kąta θ mogą być skonstruowane geometrycznie na okręgu jednostkowym o środku w punkcie O.

Na okręgu jednostkowym można zdefiniować funkcje trygonometryczne sinusa i cosinusa: jeżeli   jest punktem okręgu jednostkowego, a promień o początku w   i końcu w   tworzy kąt   z dodatnią półosią   (przy czym mierzy się go przeciwnie do ruchu wskazówek zegara zaczynając od osi), to:

 

Równanie   daje wtedy zależność:

 

(Zapis   jest zwyczajową formą zapisu potęg dla wszystkich funkcji trygonometrycznych).

Okrąg jednostkowy daje intuicyjny wgląd w okresowość wspomnianych funkcji:

 

dla dowolnej liczby całkowitej  

Wyżej wymienione tożsamości można podsumować następująco: współrzędne   punktu na okręgu jednostkowym nie ulegają zmianie przy zwiększeniu bądź zmniejszeniu kąta   o dowolną liczbę obrotów (1 obrót = 2п radianów = 360°).

Definiowane z elementów trójkąta prostokątnego sinus, cosinus oraz inne funkcje trygonometryczne są określone tylko dla miar kątów większych od   i mniejszych od   Zdefiniowane za pomocą okręgu jednostkowego mają one swoje sensowne, intuicyjne uogólnienia dla dowolnej rzeczywistej miary kąta, co pokazano na rysunku obok.

Grupa okręguEdytuj

Osobny artykuł: grupa okręgu.

Liczby zespolone mogą być utożsamiane z punktami płaszczyzną euklidesową, tzn. liczbę   można utożsamiać z punktem   Pod tym założeniem okrąg jednostkowy jest grupą ze względu na mnożenie nazywaną grupą okręgu.

Dynamika zespolonaEdytuj

Osobny artykuł: dynamika zespolona.
 
Okrąg jednostkowy w dynamice zespolonej

Zbiór Julii dyskretnego nieliniowego układu dynamicznego z funkcją ewolucji:

 

jest okręgiem jednostkowym. Jest to najprostszy przypadek i z tego powodu jest on szeroko stosowany w badaniach nad układami dynamicznymi.

Zobacz teżEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj