Otwórz menu główne

Twierdzenie Pitagorasa

związek pomiędzy trzema bokami trójkąta prostokątnego w geometrii euklidesowej
Animacja ilustrująca twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasatwierdzenie geometrii euklidesowej dotyczące trójkątów prostokątnych, równoważne w istocie jest piątemu pewnikowi Euklidesa o prostych równoległych. W zachodnioeuropejskim kręgu kulturowym przypisuje się je żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, jednak odkrycia dokonali Babilończycy, którzy znali dodatkowo dwie prostsze metody, przy których błąd jest niewielki[1][2]. Zapewne znali je przed Pitagorasem starożytni Egipcjanie[3]. Wiadomo[potrzebny przypis] też, że jeszcze przed nim znano je w starożytnych Chinach i Indiach.

TwierdzenieEdytuj

 
Suma pól kwadratów „czerwonego” i „niebieskiego” jest równa polu kwadratu „fioletowego”.

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok zachodzi tożsamość

 

Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

DowodyEdytuj

Liczba różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest bardzo duża – Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze. Opublikowano przynajmniej 118 geometrycznych dowodów twierdzenia Pitagorasa, a Friedrichs udowodnił, że jest ich nieskończenie wiele[4].

Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne (jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne mają formę układanek geometrycznych (prawdopodobny dowód Pitagorasa), jeszcze inne oparte są o równości pól pewnych figur. Zaprezentujemy tu jedynie kilka wybranych dowodów, do innych podajemy odsyłacze na końcu artykułu.

UkładankaEdytuj

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości   i   jak na rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości   w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.

 

Szczepan Jeleński w książce Śladami Pitagorasa przypuszcza, że w ten sposób mógł udowodnić swoje twierdzenie sam Pitagoras.

Powyższy dowód, choć prosty, nie jest elementarny w tym sensie, że jego poprawność wymaga uprzedniego uzasadnienia, że pole kwadratu złożonego z trójkątów i mniejszych kwadratów jest równe sumie pól tych figur. Może się to wydawać oczywiste, jednak dowód tego faktu wymaga uprzedniego zdefiniowania pola, na przykład poprzez konstrukcję miary Jordana.

Uwaga ta dotyczy wszystkich dowodów opartych na podobnych ideach.

Przez podobieństwoEdytuj

Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: „duży” –   „różowy” –   i „niebieski” –   są podobne. Niech   i   Można napisać proporcje:

 
 

Stąd:

 
 

i po dodaniu stronami:

 

Z przystawaniaEdytuj

Następujący dowód znajduje się w Elementach Euklidesa i oparty jest na spostrzeżeniu, że pola dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego   są równe polom odpowiednich prostokątów na jakie wysokość   dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej.

Dla dowodu zauważmy, że pole kwadratu   jest równe podwojonemu polu trójkąta   – podstawą trójkąta   jest bok   kwadratu, a wysokość trójkąta jest równa bokowi   tego kwadratu. Podobnie, pole prostokąta   jest równe podwojonemu polu trójkąta   – podstawą trójkąta   jest bok   prostokąta, a wysokość trójkąta jest równa bokowi   prostokąta. Jednak trójkąty   i  przystające, co wynika z cechy „bok-kąt-bok” –   i kąt   jest równy kątowi   – a zatem mają równe pola, skąd wynika, że pole kwadratu   jest równe polu prostokąta  

Analogicznie, rozważając trójkąty   i   można udowodnić, że pole kwadratu   jest równe polu prostokąta   Stąd, suma pól obu kwadratów równa jest polu kwadratu  

Dowód GarfieldaEdytuj

Autorem innego dowodu twierdzenia Pitagorasa jest James Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Dowód ten jest równoważny dowodowi podanemu wyżej w sekcji Dowód – układanka. Pochodzi z roku 1876 i przebiega następująco: na przyprostokątnej   danego trójkąta prostokątnego   odkładamy   a następnie na prostej   równoległej do   odkładamy   Trójkąt   jest prostokątny    i równoramienny, a jego pole wynosi   pola trójkątów   i   są równe (trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie   Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez   o polu   Stąd równości:

 
 
 
 

Twierdzenie odwrotneEdytuj

Prawdziwe jest następujące twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli dane są trzy dodatnie liczby   i   takie, że   to istnieje trójkąt o bokach długości   i   a kąt między bokami o długości   i   jest prosty.

Najprawdopodobniej twierdzenie to wykorzystywane było w wielu starożytnych kulturach Azji (Chinach, Indiach, Babilonii) i Egipcie do praktycznego wyznaczania kąta prostego. Wystarczy bowiem zbudować trójkąt o bokach długości     i   jednostek, aby uzyskać kąt prosty między bokami o długościach   i  

DowódEdytuj

Twierdzenie to można udowodnić na przykład metodą sprowadzenia do sprzeczności lub przy pomocy twierdzenia cosinusów.

My to udowodnimy następująco:

Weźmy dowolny trójkąt   o bokach odpowiednio:

 

spełniający warunek:

 

Naszym zamiarem jest pokazanie, że jest to trójkąt prostokątny. W tym celu weźmy inny trójkąt   taki że:

 

oraz

 

Trójkąt   jest prostokątny, zatem dla niego możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i obliczyć bok  

 

Z trójkąta   mamy:

 

zatem:

 

Okazało się, że:

 

Z cechy przystawania trójkątów BBB wnioskujemy, że trójkąty   i   są przystające. Z faktu, iż trójkąt   jest prostokątny, wynika, że trójkąt   jest prostokątny.

UogólnieniaEdytuj

Pewne uogólnienia twierdzenia Pitagorasa zostały podane już przez Euklidesa w jego Elementach: jeśli zbuduje się figury podobne na bokach trójkąta prostokątnego, to suma pól powierzchni dwóch mniejszych będzie równa polu powierzchni największej figury.

Uogólnienie na dowolną przestrzeń euklidesowąEdytuj

Niech   będzie przestrzenią euklidesową oraz   Jeśli   to  

Jeszcze inne uogólnienie twierdzenia Pitagorasa w przestrzeniach euklidesowych to tożsamość Parsevala.

Uogólnienie na czworościanyEdytuj

Twierdzenie Pitagorasa można uogólnić na czworościan. Jeśli w czworościanie o wierzchołkach a, b, c, d przez   oznaczymy pola ścian leżących naprzeciw wierzchołków odpowiednio a, b, c, d, oraz ściany zbiegające się w wierzchołku a są parami prostopadłe, to zachodzi szczególny przypadek twierdzenia cosinusów dla czworościanów:

 

Uogólnienie na prostopadłościanyEdytuj

Jako uogólnienie twierdzenia Pitagorasa można uważać wzór na przekątną prostopadłościanu.

Jeśli w prostopadłościanie krawędzie mają długości   to kwadrat przekątnej prostopadłościanu jest równy:

 

Twierdzenie cosinusówEdytuj

Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolne, niekoniecznie prostokątne, trójkąty nosi nazwę twierdzenia cosinusów:

Jeśli w trójkącie o bokach długości   i   oznaczyć przez   miarę kąta leżącego naprzeciw boku   to prawdziwa jest równość:
 

Twierdzenie Pitagorasa a geometrie nieeuklidesoweEdytuj

Twierdzenie nie jest prawdziwe dla trójkątów prostokątnych geometrii nieeuklidesowej.

Na powierzchni kuli twierdzenie to nie jest spełnione, gdyż obowiązuje tam geometria sferyczna będąca szczególnym przypadkiem nieeuklidesowej geometrii Riemanna.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. A.T. Olmstead, Dzieje imperium perskiego, PIW, Warszawa 1974, s. 31, 206.
  2. H.W.F. Saggs, Wielkość i upadek Babilonii, Warszawa 1973, PIW, s. 400.
  3. W piramidzie Cheopsa tak zwana komnata królewska ma wymiary o stosunku 3, 4 i 5 (bok jednej ściany, przekątna drugiej i przekątna komnaty).
  4. Pythagorean Theorem and its many proofs. [dostęp 2016-11-11].

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj