Jedynka trygonometryczna
Jedynka trygonometryczna – tożsamość trygonometryczna postaci[1][2]:
Jest ona prawdziwa dla wszystkich rzeczywistych miar kąta skierowanego a także ogólniej dla argumentów zespolonych: . Istnieją też dwie inne odmiany tego wzoru:
Dowody
edytujSposób 1
edytujNiech
Zauważmy, że:
więc trójkąt jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej
Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa[2]:
Z definicji funkcji trygonometrycznych wyrażenie
jest równe
Zatem
q.e.d.
Zauważmy, że to rozumowanie można przeprowadzić również w drugą stronę, co oznacza, że wzór jedynkowy jest równoważny twierdzeniu Pitagorasa. Stąd jedna z jego nazw: postać trygonometryczna twierdzenia Pitagorasa.
Sposób 2
edytujZe wzoru Eulera:
oraz
Zatem
q.e.d.
Stąd wynika, że jedynka trygonometryczna jest słuszna w dziedzinie liczb zespolonych.
Sposób 3
edytujNiech:
Zauważmy, że:
Także:
Skoro pochodna funkcji jest równa 0, to funkcja musi być funkcją stałą.
Wiedząc, że oraz że funkcja jest funkcją stałą, możemy dojść do wniosku, że
q.e.d.
Zobacz też
edytujPrzypisy
edytuj- ↑ Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, 2003, s. 183. ISBN 83-7469-189-1.
- ↑ a b Tomasz Wójtowicz, Jedynka trygonometryczna, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-03-23].
Linki zewnętrzne
edytuj- Jacek Dymel, Tożsamości trygonometryczne, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-05-02] – wykład z zadaniami.
- Przegląd jedynki trygonometrycznej, Khan Academy, khanacademy.org [dostęp 2025-04-30].
- Szymon Charzyński, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2025-04-30]:
- Jedynka trygonometryczna i okrąg jednostkowy, 11 lutego 2014.
- Zastosowanie jedynki trygonometrycznej, 11 lutego 2014.