Otwórz menu główne

Jedynka trygonometryczna

Jedynka trygonometrycznatożsamość trygonometryczna postaci[1]:

Jest ona prawdziwa dla każdej wartości kąta a także ogólniej dla argumentów zespolonych.

Istnieją również dwie inne wariacje tego wzoru:

DowódEdytuj

Sposób 1:

 

Niech  

Zauważmy, że:

 

więc trójkąt   jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej  

Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa:

 
 
 

Z definicji funkcji trygonometrycznych wyrażenie

 

jest równe

 

Zatem

 

q.e.d.

Zauważmy, że to rozumowanie można przeprowadzić również w drugą stronę, co oznacza, że wzór jedynkowy jest równoważny twierdzeniu Pitagorasa. Stąd jedna z jego nazw: postać trygonometryczna twierdzenia Pitagorasa.

Sposób 2:

Ze wzoru Eulera:

 

oraz

 

Zatem

 

q.e.d.

Stąd wynika, że jedynka trygonometryczna jest słuszna w dziedzinie liczb zespolonych.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, 2003, s. 183. ISBN 83-7469-189-1.