Jedynka trygonometryczna

tożsamość wiążąca sinus z cosinusem tego samego kąta

Jedynka trygonometrycznatożsamość trygonometryczna postaci[1][2]:

Jest ona prawdziwa dla wszystkich rzeczywistych miar kąta skierowanego a także ogólniej dla argumentów zespolonych: . Istnieją też dwie inne odmiany tego wzoru:

Dowody

edytuj

Sposób 1

edytuj
 
Funkcje trygonometryczne sinus i kosinus to współrzędne kartezjańskie punktu na okręgu jednostkowym
 
Dowód jedynki trygonometrycznej przez twierdzenie Pitagorasa

Niech  

Zauważmy, że:

 

więc trójkąt   jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej  

Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa[2]:

 
 
 

Z definicji funkcji trygonometrycznych wyrażenie

 

jest równe

 

Zatem

 

q.e.d.

Zauważmy, że to rozumowanie można przeprowadzić również w drugą stronę, co oznacza, że wzór jedynkowy jest równoważny twierdzeniu Pitagorasa. Stąd jedna z jego nazw: postać trygonometryczna twierdzenia Pitagorasa.

Sposób 2

edytuj

Ze wzoru Eulera:

 

oraz

 

Zatem

 

q.e.d.

Stąd wynika, że jedynka trygonometryczna jest słuszna w dziedzinie liczb zespolonych.

Sposób 3

edytuj

Niech:

 

Zauważmy, że:

 

Także:

 

Skoro pochodna funkcji   jest równa 0, to funkcja   musi być funkcją stałą.

Wiedząc, że   oraz że funkcja   jest funkcją stałą, możemy dojść do wniosku, że

 

q.e.d.

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, 2003, s. 183. ISBN 83-7469-189-1.
  2. a b   Tomasz Wójtowicz, Jedynka trygonometryczna, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-03-23].

Linki zewnętrzne

edytuj