Twierdzenie Parsevala

twierdzenie analizy harmonicznej

Twierdzenie Parsevala[1] – tożsamość[2], która wynika z własności unitarności transformacji Fouriera, co nieformalnie można określić, że suma (lub całka) kwadratu funkcji równa się sumie (lub całce) kwadratu jej transformaty. W 1799[3] roku twierdzenie na temat szeregów sformułował Mark-Antoine Parseval, które później zostało zastosowane do szeregu Fouriera.

Chociaż termin „twierdzenie Parsevala” jest często używany aby opisać unitarność dowolnej transformaty Fouriera, zwłaszcza w fizyce i inżynierii. to bardziej właściwym terminem dla tej własności jest twierdzenie Plancherela[4].

Opis twierdzenia ParsevalaEdytuj

Mając dane dwie funkcje   i   które są całkowalne z kwadratem (w sensie miary Lebesgue’a) o wartościach zespolonych nad R z okresem   i szeregiem Fouriera

 

i

 

to zachodzi

 

gdzie   oznacza jednostkę urojoną a pozioma kreska nad wyrażeniem to sprzężenie zespolone.

Ta postać twierdzenia występuje w literaturze pod nazwą uogólnione twierdzenie Rayleigha, natomiast nazwa twierdzenie Parsevala, zwanego również twierdzeniem o energii dotyczy przypadku szczególnego, w którym za   jest podstawione  [5].

Zapis stosowany w inżynierii i fizyceEdytuj

W fizyce i inżynierii twierdzenie Parsevala często jest zapisywane jako:

 

gdzie   przedstawia ciągłą transformację Fouriera (w unormowanej, unitarnej postaci) z   a   przedstawia składową częstotliwości (nie pulsację) w  

Interpretacja takiego zapisu jest taka, że całkowita energia zawarta w sygnale   w całym przedziale czasu jest równa sumie energii składowych uzyskanych z transformacji Fouriera zsumowanych w całym przedziale częstotliwości  

Dla sygnałów dyskretnych twierdzenie przyjmuje postać:

 

gdzie   jest dyskretną w czasie transformacją Fouriera (DTFT) z   a   oznacza pulsację (w radianach na sekundę) w  

Alternatywną formą jest postać dla dyskretnej transformacji Fouriera:

 

gdzie   to DFT z   oraz obie tablice są o długości  

PrzypisyEdytuj

  1. Marc-Antoine Parseval des Chênes. Mémoire sur les séries et sur l’intégration complète d’une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants. „Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savans, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savans étrangers)”. 1, 1806. 
  2. Łysik 2007 ↓, s. 22–23.
  3. Artykuł był przedstawiony przed Francuską Akademią Nauk w Paryżu 5 kwietnia 1799.
  4. Michel Plancherel. Contribution a l’etude de la representation d’une fonction arbitraire par les integrales définies. „Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo”. 30, s. 298–335, 1910. 
  5. Szabatin 2005 ↓, s. 72.

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj