Dyskretna transformata Fouriera

Dyskretna transformata Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform, DFT) – transformata Fouriera wyznaczona dla sygnału próbkowanego, a więc dyskretnego.

Dyskretna transformata FourieraEdytuj

DFT przekształca skończony ciąg próbek sygnału   w ciąg harmonicznych:   zgodnie ze wzorem:

 
 

gdzie:

 jednostka urojona,
  – numer harmonicznej,
  – numer próbki sygnału,
  – wartość próbki sygnału,
  – liczba próbek.

Przekształcenie odwrotneEdytuj

Przekształcenie odwrotne do DFT dane jest następującym wzorem:

 

Postać macierzowa DFTEdytuj

Wzory na przekształcenie proste, jak i odwrotne, można zdefiniować w postaci macierzowej, odpowiednio w sposób następujący:

 
 

Macierze         mają następującą postać:

 
 

Macierze   i   mają wymiar   oraz spełniają warunek   lub zapisując inaczej   gdzie  macierz jednostkowa.

Dwuwymiarowa dyskretna transformata FourieraEdytuj

Dwuwymiarowe przekształcenie Fouriera w punkcie   definiuje się jako:

 

Przekształcenie odwrotne:

 

Dwuwymiarowa transformata Fouriera wykorzystywana jest m.in. do cyfrowego przetwarzania obrazów.

Powiązanie z transformatą ZEdytuj

Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. DTF może być wyznaczona przez określenie wartości transformaty Z:

  dla  

lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.

Zobacz teżEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj