Dyskretna transformata Fouriera
edytuj
DFT przekształca skończony ciąg próbek sygnału
(
a
0
,
a
1
,
a
2
,
…
,
a
N
−
1
)
,
a
i
∈
R
{\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{N-1}),\ a_{i}\in \mathbb {R} }
harmonicznych :
(
A
0
,
A
1
,
A
2
,
…
,
A
N
−
1
)
,
A
i
∈
C
{\displaystyle (A_{0},A_{1},A_{2},\dots ,A_{N-1}),\ A_{i}\in \mathbb {C} }
A
k
=
∑
n
=
0
N
−
1
a
n
w
N
−
k
n
,
0
⩽
k
⩽
N
−
1
,
{\displaystyle A_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}{a_{n}w_{N}^{-kn}},\ 0\leqslant k\leqslant N-1,}
w
N
=
e
i
2
π
N
,
{\displaystyle w_{N}=e^{i{\frac {2\pi }{N}}},}
gdzie:
i
{\displaystyle i}
jednostka urojona ,
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
N
{\displaystyle N}
Przekształcenie odwrotne
edytuj
Przekształcenie odwrotne do DFT dane jest następującym wzorem:
a
n
=
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
A
k
w
N
k
n
,
0
⩽
n
⩽
N
−
1.
{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{A_{k}w_{N}^{kn}},\ 0\leqslant n\leqslant N-1.}
Postać macierzowa DFT
edytuj
Wzory na przekształcenie proste, jak i odwrotne, można zdefiniować w postaci macierzowej, odpowiednio w sposób następujący:
A
=
M
a
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Ma} }
a
=
W
A
{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {WA} }
Macierze
a
,
{\displaystyle a,}
A
,
{\displaystyle A,}
M
,
{\displaystyle M,}
W
{\displaystyle W}
a
=
[
a
0
a
1
⋮
a
N
−
1
]
A
=
[
A
0
A
1
⋮
A
N
−
1
]
{\displaystyle \mathbf {a} =\left[{\begin{matrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{N-1}\end{matrix}}\right]\qquad \mathbf {A} =\left[{\begin{matrix}A_{0}\\A_{1}\\\vdots \\A_{N-1}\end{matrix}}\right]}
M
=
[
w
N
−
0
⋅
0
w
N
−
1
⋅
0
…
w
N
−
(
N
−
1
)
⋅
0
w
N
−
0
⋅
1
w
N
−
1
⋅
1
…
w
N
−
(
N
−
1
)
⋅
1
⋮
⋮
⋱
⋮
w
N
−
0
⋅
(
N
−
1
)
w
N
−
1
⋅
(
N
−
1
)
…
w
N
−
(
N
−
1
)
(
N
−
1
)
]
W
=
1
N
[
w
N
0
⋅
0
w
N
1
⋅
0
…
w
N
(
N
−
1
)
⋅
0
w
N
0
⋅
1
w
N
1
⋅
1
…
w
N
(
N
−
1
)
⋅
1
⋮
⋮
⋱
⋮
w
N
0
⋅
(
N
−
1
)
w
N
1
⋅
(
N
−
1
)
…
w
N
(
N
−
1
)
(
N
−
1
)
]
{\displaystyle \mathbf {M} =\left[{\begin{matrix}w_{N}^{-0\cdot 0}&w_{N}^{-1\cdot 0}&\dots &w_{N}^{-(N-1)\cdot 0}\\w_{N}^{-0\cdot 1}&w_{N}^{-1\cdot 1}&\dots &w_{N}^{-(N-1)\cdot 1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\w_{N}^{-0\cdot (N-1)}&w_{N}^{-1\cdot (N-1)}&\dots &w_{N}^{-(N-1)(N-1)}\end{matrix}}\right]\qquad \mathbf {W} ={\frac {1}{N}}\left[{\begin{matrix}w_{N}^{0\cdot 0}&w_{N}^{1\cdot 0}&\dots &w_{N}^{(N-1)\cdot 0}\\w_{N}^{0\cdot 1}&w_{N}^{1\cdot 1}&\dots &w_{N}^{(N-1)\cdot 1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\w_{N}^{0\cdot (N-1)}&w_{N}^{1\cdot (N-1)}&\dots &w_{N}^{(N-1)(N-1)}\end{matrix}}\right]}
Macierze
M
{\displaystyle M}
W
{\displaystyle W}
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
W
=
M
−
1
{\displaystyle W=M^{-1}}
W
M
=
I
,
{\displaystyle WM=I,}
I
{\displaystyle I}
macierz jednostkowa .
Dwuwymiarowa dyskretna transformata Fouriera
edytuj
Dwuwymiarowe przekształcenie Fouriera w punkcie
(
m
,
n
)
{\displaystyle (m,n)}
definiuje się jako:
V
(
m
,
n
)
=
∑
x
=
0
M
−
1
∑
y
=
0
N
−
1
U
(
x
,
y
)
w
N
−
n
y
w
M
−
m
x
.
{\displaystyle V(m,n)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}{U(x,y)w_{N}^{-ny}w_{M}^{-mx}}.}
Przekształcenie odwrotne:
U
(
x
,
y
)
=
1
N
M
∑
n
=
0
N
−
1
∑
m
=
0
M
−
1
V
(
m
,
n
)
w
N
n
y
w
M
m
x
.
{\displaystyle U(x,y)={\frac {1}{NM}}\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}{V(m,n)w_{N}^{ny}w_{M}^{mx}}.}
Dwuwymiarowa transformata Fouriera wykorzystywana jest m.in. do cyfrowego przetwarzania obrazów .
Powiązanie z transformatą Z
edytuj
Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. DTF może być wyznaczona przez określenie wartości transformaty Z:
X
(
z
)
{\displaystyle X(z)}
z
=
e
j
ω
{\displaystyle z=e^{j\omega }}
lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym . Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym , co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.
Linki zewnętrzne
edytuj
![{\displaystyle \mathbf {a} =\left[{\begin{matrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{N-1}\end{matrix}}\right]\qquad \mathbf {A} =\left[{\begin{matrix}A_{0}\\A_{1}\\\vdots \\A_{N-1}\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba9b75b1be2bd3ed3b08406265abdfb2439a028a)
![{\displaystyle \mathbf {M} =\left[{\begin{matrix}w_{N}^{-0\cdot 0}&w_{N}^{-1\cdot 0}&\dots &w_{N}^{-(N-1)\cdot 0}\\w_{N}^{-0\cdot 1}&w_{N}^{-1\cdot 1}&\dots &w_{N}^{-(N-1)\cdot 1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\w_{N}^{-0\cdot (N-1)}&w_{N}^{-1\cdot (N-1)}&\dots &w_{N}^{-(N-1)(N-1)}\end{matrix}}\right]\qquad \mathbf {W} ={\frac {1}{N}}\left[{\begin{matrix}w_{N}^{0\cdot 0}&w_{N}^{1\cdot 0}&\dots &w_{N}^{(N-1)\cdot 0}\\w_{N}^{0\cdot 1}&w_{N}^{1\cdot 1}&\dots &w_{N}^{(N-1)\cdot 1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\w_{N}^{0\cdot (N-1)}&w_{N}^{1\cdot (N-1)}&\dots &w_{N}^{(N-1)(N-1)}\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c37ea6b97bf6daeede7474c099785f01b9f4da75)
