Twierdzenie Plancherela

Twierdzenie Plancherela – twierdzenie z zakresu analizy harmonicznej, udowodnione przez Michela Plancherela w 1910 roku^[1]. Głosi ono, że istnieje odwzorowanie $F:L^{2}\to L^{2}$ o następujących własnościach:

dla $f\in L^{1}\cap L^{2},$ jest $F(f)={\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx$
dla dowolnej $f$ jest $\|f\|_{2}=\|{\hat {f}}\|_{2}$
$F$ jest izometrią przestrzeni $L^{2}$ na siebie
jeśli $\varphi _{A}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-A}^{A}f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx$ oraz $\vartheta _{A}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-A}^{A}{\hat {f}}(x)\,e^{i\omega x}\,d\omega ,$

to $\|\varphi _{A}-{\hat {f}}\|_{2}\to 0$ oraz $\|\vartheta _{A}-f\|_{2}\to 0$ przy $A\to \infty .$

Przekształcenie $F$ określa transformatę Fouriera (Fouriera-Plancherela) na przestrzeni $L^{2}.$ Na podprzestrzeni $L^{1}\cap L^{2}$ jest to klasyczna transformata Fouriera funkcji całkowalnej. Ostatni podpunkt wskazuje metodę rozszerzenia transformaty i transformaty odwrotnej na całą $L^{2}.$

Zobacz też edytuj

przestrzeń Lp

Przypisy edytuj

↑ Plancherel, Michel (1910) „Contribution a l’etude de la representation d’une fonction arbitraire par les integrales définies,” Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, s. 298–335.

Bibliografia edytuj

Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Warszawa: PWN, 1996. ISBN 83-01-05124-8.
Kôsaku Yoshida: Functional Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980.

[1] Plancherel, Michel (1910) „Contribution a l’etude de la representation d’une fonction arbitraire par les integrales définies,” Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, s. 298–335.

[1]