Wysokość trójkąta

Trójkąt i jego wysokości przecinające się w tzw. ortocentrum.

Wysokość trójkąta – najkrótszy odcinek łączący jeden z wierzchołków trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok trójkąta, zwany podstawą. Słowem wysokość określa się również długość tego odcinka.

Wysokość jest zawsze prostopadła do prostej zawierającej podstawę. Punkt przecięcia wysokości z podstawą nazywa się spodkiem wysokości. Powstaje on w wyniku rzutu prostokątnego wierzchołka na podstawę.

Każdy trójkąt ma trzy wysokości. W trójkącie ostrokątnym wszystkie mają odcinek wspólny z wnętrzem trójkąta, w trójkącie prostokątnym dwie z jego wysokości zawierają przyprostokątne, a w trójkącie rozwartokątnym wysokości poprowadzone z kątów ostrych przecinają go tylko w wierzchołku. W trójkącie równobocznym o boku długości wszystkich wysokości są równej miary, która wynosi

KonstrukcjaEdytuj

  1. Nakreślić okrąg o środku w danym wierzchołku trójkąta i promieniu tak dużym, aby przeciął on podstawę w dwóch punktach   (większym niż odległość do tej prostej).
  2. Skonstruować symetralną odcinka  

Twierdzenie o wysokościach trójkątaEdytuj

Proste zawierające wysokości dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

Dowód geometrycznyEdytuj

Proste przechodzące przez punkty   równoległe odpowiednio do boków   trójkąta   wyznaczają trójkąt  

Ponieważ   oraz   to czworokąt   jest równoległobokiem, skąd wynika, iż   i podobnie  

Zatem   jest środkiem boku   Analogicznie wykazuje się, że   jest środkiem   a   środkiem   Rozpatrywane wysokości trójkąta   są zarazem symetralnymi boków trójkąta   a więc przecinają się w jednym punkcie (zob. twierdzenie o symetralnych trójkąta).

Drugi dowód geometrycznyEdytuj

Niech   oznaczają spodki dwóch wysokości opuszczonych odpowiednio z wierzchołków   trójkąta   a   – ich punkt przecięcia. Należy wykazać, że prosta   przecinająca bok   w punkcie   jest do niego prostopadła.

Na czworokącie   można opisać okrąg, podobnie na czworokącie   Stąd

 

Ponieważ   to   czyli  

Dowód wektorowyEdytuj

Lemat

Dla dowolnych czterech punktów   (niekoniecznie leżących we wspólnej płaszczyźnie) zachodzi tożsamość

 

Rzeczywiście, ponieważ

   

oraz

 

to

 
 
 
Dowód

Niech   będą wierzchołkami trójkąta, a   będzie punktem przecięcia dwóch wysokości; bez straty ogólności można założyć, że są one opuszczone z wierzchołków   Wówczas pierwsze dwa składniki tożsamości równe są zeru jako iloczyny skalarne wektorów ortogonalnych (prostopadłych), skąd wynika również, że i pozostały składnik jest równy zeru, a więc wektory   oraz   są ortogonalne, a więc   leży na wysokości opuszczonej z punktu  

OrtocentrumEdytuj

Punkt przecięcia wysokości wspomniany w powyższym twierdzeniu nazywany jest ortocentrum. Wyznaczone jest ono już przez dwie z nich (co można było zaobserwować w dowodach). Ortocentrum jest również jednym z punktów wyznaczających prostą Eulera.

Szczególne przypadkiEdytuj

Geometrie nieeuklidesoweEdytuj

Zdefiniowana wyżej wysokość trójkąta oparta jest na pojęciu prostopadłości (odcinków, dwóch par punktów, półprostych, prostych itd.), które jest niezależne od wyboru geometrii stałej krzywizny. Inaczej mówiąc, jest pojęciem geometrii absolutnej rozumianej jako „część wspólna” trzech geometrii: parabolicznej (euklidesowej), eliptycznej i hiperbolicznej.

Wyżej zaprezentowane twierdzenie o przecinaniu się wysokości trójkąta obowiązuje więc nie tylko w geometrii euklidesowej, ale również w pozostałych wspomnianych geometriach. Niżej przedstawiono dowód tego twierdzenia dla sfery będącej jednym z modeli geometrii eliptycznej.

Twierdzenie o wysokościach trójkąta sferycznegoEdytuj

Wysokości dowolnego trójkąta sferycznego przecinają się w jednym punkcie.

Dowód

Punkt   na sferze wyznacza wektor   zaczepiony w środku sfery, będzie on oznaczany dalej symbolem   Wektor ortogonalny do płaszczyzny rozpiętej przez dwa wektory   dany jest jako ich iloczyn wektorowy  

Kąt między dwiema prostymi sferycznymi, czyli okręgami wielkimi jest kątem między płaszczyznami je zawierającymi, czyli kątem między wektorami ortogonalnymi do obu tych płaszczyzn. Tak więc dla dwóch prostych wyznaczonych przez wektory   oraz   wystarczy zbadać zachodzenie równości

 

Korzystając z założeń dowodu wektorowego oraz oznaczeń tam użytych wiadomo, iż wektory   są ortogonalne oraz   są ortogonalne, czyli

  oraz  

Ponieważ

 

dla dowolnych wektorów   to skoro dwa spośród trzech powyższych składników są równe zeru, to także trzeci z nich musi być równy zeru, tzn.

 

co oznacza, iż wektory   oraz   są ortogonalne.