Otwórz menu główne
Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia.

Sfera (z gr. σφαῖρα sphaîra "kula, piłka") – zbiór wszystkich punktów (miejsce geometryczne) w przestrzeni metrycznej oddalonych o ustaloną odległość od wybranego punktu. Ustalona odległość nazywa się promieniem sfery, wybrany punkt nazywa się środkiem sfery. Tak zdefiniowany zbiór jest brzegiem kuli o tym samym środku i promieniu. Zazwyczaj jako przestrzeń metryczną rozpatruje się przestrzeń euklidesową.

Definicja intuicyjna
Sfera to powierzchnia kuli.
Sfera

Sfera w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowejEdytuj

Najczęściej mówimy o sferze w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej. Taka sfera jest dwuwymiarową powierzchnią opisywaną wzorem:

 

gdzie   to współrzędne środka sfery, a wartość   jest nazywana promieniem sfery.

W tym samym układzie współrzędnych sfera może być opisana za pomocą równania parametrycznego:

 

gdzie:

  •  
  •  

Parametry   są odpowiednio długością i szerokością geograficzną w odpowiednim układzie współrzędnych sferycznych związanym ze środkiem sfery

W układzie współrzędnych sferycznych, równanie sfery o promieniu   i środku znajdującym się w środku układu współrzędnych, przyjmuje postać   dla dowolnych kątów  

Związane pojęciaEdytuj

Cięciwa sfery to odcinek o końcach na sferze.

Średnica sfery to:

  • cięciwa przechodząca przez środek sfery
  • długość tej cięciwy, czyli podwojona wartość promienia sfery.

Pole powierzchni sfery wyraża się wzorem:

 

Okrąg wielki sfery to okrąg o promieniu tej sfery, o środku w jej środku.

Krzywizna Gaussa sfery w każdym jej punkcie wynosi:

 

Sfera w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowejEdytuj

Zobacz też: hipersfera.

Pojęcie sfery może być zdefiniowane w przestrzeni euklidesowej dowolnego wymiaru. Wówczas w przestrzeni  -wymiarowej sfera może być opisana następującym wzorem:

 

gdzie   to  -ta współrzędna punktu na sferze,   to  -ta współrzędna jej środka,   to promień sfery. W tym ujęciu okrąg jest szczególnym przypadkiem sfery w przestrzeni dwuwymiarowej, a zbiór dwóch punktów jest sferą w przestrzeni jednowymiarowej.

Sfera w przestrzeni  -wymiarowej jest czasem nazywana sferą m-wymiarową i oznaczana   gdzie   ponieważ taka sfera jest powierzchnią  -wymiarową. Dla przykładu, zwykłą sferę rozpatruje się w przestrzeni trójwymiarowej, ale ona jest zwykłą powierzchnią, czyli obiektem dwuwymiarowym; dlatego to sfera dwuwymiarowa,   Jeżeli   (tzn.  ), to taka uogólniona sfera jest nazywana też hipersferą.

UogólnieniaEdytuj

Sfera jest też pojęciem topologii, w której oznacza rozmaitość, homeomorficzną ze sferą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.

Zobacz teżEdytuj