Homotopiaciągłe przejście między dwoma przekształceniami ciągłymi przestrzeni topologicznych, tj. takie, za pomocą którego można w jednostce czasu w wyniku ciągłej deformacji z jednego przekształcenia otrzymać drugie. Działem matematyki, w którym się je rozważa, jest teoria homotopii, gałąź topologii algebraicznej.

Pojęcie homotopii prowadzi do homotopijnej równoważności, relacji równoważności, która pozwala na bardziej elastyczną niż relacja homeomorfizmu klasyfikację przestrzeni topologicznych zachowując przy tym ważne ich własności w obrębie jednej klasy równoważności (klasy homotopii).

Homotopia między kubkiem a obwarzankiem (torusem).

DefinicjaEdytuj

Niech   będą przekształceniami ciągłymi określonymi na przestrzeniach topologicznych oraz   będzie przedziałem jednostkowym. Jeżeli istnieje ciągłe odwzorowanie   takie, że   oraz   dla   to nazywa się je homotopią przekształceń   i   i oznacza   same przekształcenia określa się wtedy jako homotopijne.

Rodziny przekształceńEdytuj

Homotopia   określa rodzinę przekształceń   taką, że   ciągłą ze względu na każdy ze swoich argumentów, przy czym   oraz  

Homotopia   wyznacza również rodzinę dróg   łączących   z   dla  

Ściągalność i gwiaździstośćEdytuj

Przestrzeń   nazywa się ściągalną, jeżeli   jest homotopijna z przekształceniem stałym   dla pewnego punktu  

Dla podzbiorów przestrzeni euklidesowej, gdzie określona jest różniczkowalność można nakładać dodatkowe warunki na ściągalność zbioru. Obszar   nazywa się ściągalnym różniczkowalnie do punktu   jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe klasy     takie, że dla każdego  

 

Obszar   określa się jako gwiaździsty względem punktu   jeśli dla każdego   odcinek łączący punkt   z   zawiera się w   tj.  

Łatwo wykazać, że zbiór gwiaździsty względem punktu   jest ściągalny do   Żądane odwzorowanie   jest postaci   Dla obszarów ściągalnych zachodzi lemat Poincarégo.

Relacja równoważnościEdytuj

Dla ustalonych przestrzeni topologicznych   relacja homotopii w przestrzeni funkcji ciągłych   jest relacją równoważności. Jej klasy równoważności nazywa się klasami homotopii.

Zwrotność jest oczywista, symetria polega na odwróceniu przechodzenia po przedziale   przechodniość wynika ze składania odwzorowań: pierwsza połowa   służy do przejścia po pierwszym odwzorowaniu, druga – po drugim, złożenie odwzorowań ciągłych jest ciągłe.

PrzykładyEdytuj

  • Jeśli   to funkcje   i   są zawsze homotopijne między sobą. Wystarczy przyjąć  
  • Jeśli   -wymiarowa sfera jednostkowa, to powyższe nie jest prawdą. Na przykład identyczność i funkcja stała nie są homotopijne[1].

Przedłużanie homotopiiEdytuj

Zachodzi następujące twierdzenie Borsuka o przedłużaniu homotopii, sformułowane przez Karola Borsuka w 1937[2]:

Niech   będzie przestrzenią normalną, a   jej domkniętą podprzestrzenią. Jeśli   są homotopijne oraz   jest przedłużalne na   to   jest przedłużalne na   oraz dla każdego przedłużenia   można znaleźć przedłużenie   z nim homotopijne.

Często, dla uproszczenia dowodu, zakłada się dodatkowo przeliczalną parazwartość przestrzeni  

Homotopijna równoważnośćEdytuj

Przestrzenie   oraz  homotopijnie równoważne lub mają ten sam typ homotopii, jeżeli istnieją przekształcenia ciągłe   oraz   takie, że   oraz  

Homotopijna równoważność jest słabszą własnością klasyfikującą przestrzenie topologiczne niż homeomorficzność. Przestrzenie topologiczne o tym samym typie homotopii są nieodróżnialne na gruncie teorii homotopii i homologii. Przede wszystkim wszystkie grupy homotopii i homologii przestrzeni homotopijnie ze sobą równoważnych są izomorficzne.

PrzykładyEdytuj

  • Przestrzeń ściągalna   jest homotopijnie równoważna z przestrzenią jednopunktową   ponieważ   oraz   dla   dla dowolnego  
  • Zbiory   i   z topologią euklidesową są homotopijnie równoważne, lecz nie są homeomorficzne (z powodu zwartości pierwszej przestrzeni i braku zwartości drugiej).
  • Okrąg jednostkowy   jest homotopijnie równoważny z płaszczyzną bez punktu,   te przestrzenie również nie są homeomorficzne z tego samego powodu (przy założeniu topologii euklidesowej).

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Kuratowski, Kazimierz Wstęp do teorii mnogości i topologii, s. 211; PWN, Warszawa, 1966.
  2. Borsuk, Karol Sur les prolongements des transformations continues, s. 99–110; Fund. Math. 28, Warszawa, 1937.

BibliografiaEdytuj