Otwórz menu główne

Torus (matematyka)

bryła trójwymiarowa
Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.
Torus
Gdy odległość między środkiem okręgu a jego osią obrotu zbliża się do zera, wtedy torus zbliża się kształtem do sfery.

Torusdwuwymiarowa powierzchnia obrotowa zanurzalna w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół prostej leżącej w płaszczyźnie tego okręgu i nieprzecinającej go. Często oznacza się go symbolem lub

Wyobrażeniem torusa może być napompowana dętka rowerowa lub powierzchnia obwarzanka.

ParametryzacjeEdytuj

 
Najprostszy podział torusa, pozwalający obliczyć jego charakterystykę Eulera (tu W= 1, K = 2, S = 1).

Niech okrąg definiujący torus ma promień   obrotu pokrywa się z osią   układu współrzędnych kartezjańskich a jej odległość od środka okręgu wynosi   oraz niech środek okręgu leży w płaszczyźnie  

Wówczas równanie torusa przyjmuje postać:

 

Pole powierzchni torusa jest równe:

 

z kolei objętość torusa (dokładniej: część przestrzeni ograniczonej torusem) jest równa:

 

Wyniki te najłatwiej uzyskać korzystając z tzw. parametryzacji sferycznej, czyli przedstawiając torus w układzie współrzędnych sferycznych.

Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie   o środku w punkcie   i promieniu   gdzie   Parametryzacja tego okręgu przedstawia się następująco:

 

Obróćmy ten okrąg o kąt   wokół osi   W tym celu wykorzystamy macierz obrotu:

 

Zatem:

 

Wobec tego równanie parametryczne torusa jest postaci:

 

Krzywizna GaussaEdytuj

Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym   w punkcie   można wyznaczyć ze wzoru:

 

Dla torusa o podanej wcześniej parametryzacji mamy:

 

Stąd:

 
 

Zatem z powyższego wzoru na krzywiznę Gaussa dla powierzchni obrotowej jest:

 

Zauważmy, że:

  • dla   mamy   czyli   na zewnętrznej stronie torusa;
  • dla   mamy   czyli   na górze i dole torusa;
  • dla   mamy   czyli   po wewnętrznej stronie torusa;
  • gdy   wówczas   przyjmuje maksimum, tj.   na największym okręgu (równoleżniku);
  • gdy   wówczas   przyjmuje minimum, tj.   na najmniejszym okręgu (równoleżniku).

UogólnienieEdytuj

Torus jest homeomorficzny z przestrzenią ilorazową   gdzie   jest relacją równoważności określoną następująco:

 

Wynika stąd istnienie odwzorowania     które przyporządkowuje każdemu punktowi płaszczyzny jego klasę abstrakcji w relacji   i przeprowadza płaszczyznę w torus. Przekształcenie to łatwo uogólnić na wyższe niż 2 wymiary.

Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.

Zobacz teżEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj