Parametryzacje
edytuj
Niech okrąg definiujący torus ma promień
r
,
{\displaystyle r,}
oś obrotu pokrywa się z osią
O
Z
{\displaystyle OZ}
układu współrzędnych kartezjańskich a jej odległość od środka okręgu wynosi
R
{\displaystyle R}
O
X
Y
.
{\displaystyle OXY.}
Wówczas równanie torusa przyjmuje postać:
(
x
2
+
y
2
−
R
)
2
+
z
2
=
r
2
.
{\displaystyle \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)^{2}+z^{2}=r^{2}.}
Pole powierzchni torusa jest równe[1]
S
=
4
π
2
r
R
,
{\displaystyle S=4\pi ^{2}rR,}
z kolei objętość torusa (dokładniej: część przestrzeni ograniczonej torusem) jest równa[1]
V
=
2
π
2
R
r
2
.
{\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}.}
Wyniki te najłatwiej uzyskać korzystając z tzw. parametryzacji sferycznej, czyli przedstawiając torus w układzie współrzędnych sferycznych .
Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie
x
z
{\displaystyle xz}
(
R
,
0
,
0
)
{\displaystyle \left(R,\ 0,\ 0\right)}
r
,
{\displaystyle r,}
R
>
r
>
0.
{\displaystyle R>r>0.}
Parametryzacja tego okręgu przedstawia się następująco:
f
(
α
)
=
(
R
+
r
cos
α
,
0
,
r
sin
α
)
.
{\displaystyle f(\alpha )=(R+r\cos \alpha ,\ 0,\ r\sin \alpha ).}
Obróćmy ten okrąg o kąt
β
{\displaystyle \beta }
z
.
{\displaystyle z.}
macierz obrotu:
U
β
=
[
cos
β
−
sin
β
0
sin
β
cos
β
0
0
0
1
]
.
{\displaystyle U_{\beta }={\begin{bmatrix}\cos \beta &-\sin \beta &0\\\sin \beta &\cos \beta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}
Zatem:
p
(
α
,
β
)
=
U
β
⋅
f
T
(
α
)
=
[
cos
β
−
sin
β
0
sin
β
cos
β
0
0
0
1
]
⋅
[
R
+
r
cos
α
0
r
sin
α
]
=
[
(
R
+
r
cos
α
)
cos
β
(
R
+
r
cos
α
)
sin
β
r
sin
α
]
.
{\displaystyle p\left(\alpha ,\ \beta \right)=U_{\beta }\cdot f^{T}(\alpha )={\begin{bmatrix}\cos \beta &-\sin \beta &0\\\sin \beta &\cos \beta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}R+r\cos \alpha \\0\\r\sin \alpha \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\left(R+r\cos \alpha \right)\cos \beta \\\left(R+r\cos \alpha \right)\sin \beta \\r\sin \alpha \end{bmatrix}}.}
Wobec tego równanie parametryczne torusa jest postaci:
p
(
α
,
β
)
=
(
(
R
+
r
cos
α
)
cos
β
,
(
R
+
r
cos
α
)
sin
β
,
r
sin
α
)
.
{\displaystyle p(\alpha ,\ \beta )={\Big (}(R+r\cos \alpha )\cos \beta ,\ (R+r\cos \alpha )\sin \beta ,\ r\sin \alpha {\Big )}.}
Krzywizna Gaussa
edytuj
Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym
p
(
α
,
β
)
=
(
g
(
α
)
,
h
(
α
)
cos
β
,
h
(
α
)
sin
β
)
{\displaystyle p(\alpha ,\ \beta )={\Big (}g(\alpha ),\ h(\alpha )\cos \beta ,h(\alpha )\sin \beta {\Big )}}
P
=
p
(
α
,
β
)
{\displaystyle P=p(\alpha ,\ \beta )}
K
P
=
g
′
(
g
″
h
′
−
h
″
g
′
)
h
(
g
′
2
+
h
′
2
)
2
.
{\displaystyle K_{P}={\frac {g'\left(g''h'-h''g'\right)}{h\left(g'^{2}+h'^{2}\right)^{2}}}.}
Dla torusa o podanej wcześniej parametryzacji mamy:
h
(
α
)
=
R
+
r
cos
α
,
g
(
α
)
=
r
sin
α
.
{\displaystyle h(\alpha )=R+r\cos \alpha ,\qquad g(\alpha )=r\sin \alpha .}
Stąd:
h
′
(
α
)
=
−
r
sin
α
,
g
′
(
α
)
=
r
cos
α
;
{\displaystyle h'(\alpha )=-r\sin \alpha ,\qquad g'(\alpha )=r\cos \alpha ;}
h
″
(
α
)
=
−
r
cos
α
,
g
″
(
α
)
=
−
r
sin
α
.
{\displaystyle h''(\alpha )=-r\cos \alpha ,\qquad g''(\alpha )=-r\sin \alpha .}
Zatem z powyższego wzoru na krzywiznę Gaussa dla powierzchni obrotowej jest:
K
P
=
cos
α
r
(
R
+
r
cos
α
)
.
{\displaystyle K_{P}={\frac {\cos \alpha }{r(R+r\cos \alpha )}}.}
Zauważmy, że:
dla
−
π
2
<
α
<
π
2
{\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}<\alpha <{\tfrac {\pi }{2}}}
cos
α
>
0
,
{\displaystyle \cos \alpha >0,}
K
P
>
0
{\displaystyle K_{P}>0}
dla
α
=
−
π
2
,
α
=
π
2
{\displaystyle \alpha =-{\tfrac {\pi }{2}},\;\alpha ={\tfrac {\pi }{2}}}
cos
α
=
0
,
{\displaystyle \cos \alpha =0,}
K
P
=
0
{\displaystyle K_{P}=0}
dla
π
2
<
α
<
3
π
2
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}<\alpha <{\tfrac {3\pi }{2}}}
cos
α
<
0
,
{\displaystyle \cos \alpha <0,}
K
P
<
0
{\displaystyle K_{P}<0}
gdy
α
=
0
,
{\displaystyle \alpha =0,}
K
P
{\displaystyle K_{P}}
maksimum , tj.
K
(
0
)
=
1
r
(
R
+
r
)
{\displaystyle K(0)={\tfrac {1}{r(R+r)}}}
gdy
α
=
π
,
{\displaystyle \alpha =\pi ,}
K
P
{\displaystyle K_{P}}
minimum , tj.
K
(
π
)
=
−
1
r
(
R
−
r
)
{\displaystyle K(\pi )={\tfrac {-1}{r(R-r)}}}
Torus jest homeomorficzny z przestrzenią ilorazową
R
2
/
∼
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\sim ,}
∼
{\displaystyle \sim }
relacją równoważności określoną następująco:
(
x
,
y
)
∼
(
x
′
,
y
′
)
⇔
x
−
x
′
∈
Z
,
y
−
y
′
∈
Z
.
{\displaystyle (x,y)\sim (x',y')\Leftrightarrow x-x'\in \mathbb {Z} ,y-y'\in \mathbb {Z} .}
Wynika stąd istnienie odwzorowania
p
:
R
2
→
T
2
,
{\displaystyle p:\mathbb {R} ^{2}\to T^{2},}
f
(
x
,
y
)
=
[
(
x
,
y
)
]
∼
,
{\displaystyle f(x,y)=[(x,y)]_{\sim },}
klasę abstrakcji w relacji
∼
{\displaystyle \sim }
Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.
Bibliografia
edytuj
Linki zewnętrzne
edytuj
Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Torus MathWorld , Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang. ) . 
![{\displaystyle f(x,y)=[(x,y)]_{\sim },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc4f77801ac08c75fc769b6ea124ea319228ec50)
