Homeomorfizm

Kubek i torus są homeomorficzne – można przekształcić jeden w drugi bez rozrywania i sklejania.

Homeomorfizm – w topologii, bijekcja pomiędzy przestrzeniami topologicznymi, która jest ciągła oraz której funkcja odwrotna jest również ciągła. Homeomorfizmy, nazywane czasami izomorfizmami topologicznymi, są izomorfizmami w kategorii przestrzeni topologicznych. O przestrzeniach, pomiędzy którymi istnieje homeomorfizm, mówi się, że są homeomorficzne. Z punktu widzenia topologii, przestrzenie takie są nierozróżnialne.

Spis treści

Definicja homeomorfizmuEdytuj

Niech $(X,\tau _{X})\,$ oraz $(Y,\tau _{Y})\,$ będą dwiema przestrzeniami topologicznymi. Funkcję

f\colon X\to Y

nazywa się homeomorfizmem, gdy:

f jest funkcją różnowartościową,
$f(X)=Y\,$ , czyli f jest funkcją „na”,
f jest funkcją ciągłą,
$f^{-1}\colon Y\to X$ jest funkcją ciągłą.

UwagaEdytuj

Założenie ciągłości funkcji odwrotnej w powyższej definicji jest konieczne, ponieważ istnieją nieciągłe funkcje odwrotne do ciągłych bijekcji.

Niech $S^{1}$ będzie okręgiem jednostkowym z topologią dziedziczoną z płaszczyzny oraz niech

f\colon [0;\ 2\pi )\to S^{1}

będzie funkcją daną wzorem

f(\phi )=(\cos \phi ,\ \sin \phi )\quad (\phi \in [0,2\pi ))

.

Funkcja f jest ciągła i bijektywna. Jednak jej funkcja odwrotna nie jest ciągła w punkcie (1,0), gdyż $f^{-1}((1,0))=0$ , ale obraz żadnego otwartego łuku otaczającego punkt (1,0) nie jest zawarty w otoczeniu $[0;{\tfrac {1}{2}})$ punktu $\phi =0$ ^[1].

Homeomorfizm a dyfeomorfizmEdytuj

Szczególnym przypadkiem homeomorfizmu jest dyfeomorfizm. Homeomorfizm nie musi mieć ciągłej pochodnej, dyfeomorfizm zaś jest homeomorfizmem, a przy tym wszystkie jego pochodne muszą być ciągłe.

Homeomorfizm jest więc najogólniejszą klasą przekształceń ciągłych, jakie istnieją między przestrzeniami topologicznymi. Dla istnienia homeomorfizmu wymagane jest, by przekształcenie było co najmniej klasy ciągłości $C^{0}$ .

Przykład:

Może przekształcać torus (rozmaitość o gładkiej powierzchni) w kubek (rozmaitość o powierzchniach z zagięciami). Przekształcenie takie jest homeomorfizmem, ale nie jest dyfeomorfizmem, gdyż w punktach zagięć pochodna ma nieciągłość, np. pochodna liczona wzdłuż krzywej przechodzącej przez zagięcie. Dlatego też homeomorfizm torusa w kubek nie ma w każdym punkcie ciągłej pochodnej.

Homeomorfizm a izometriaEdytuj

Homeomorfizm w ogólności nie zachowuje odległości między punktami (gdyż dopuszcza dowolne rozciąganie i ściskanie), w odróżnieniu od izometrii. Izometria jest więc szczególnym przypadkiem homeomorfizmu.

Przykłady:

1) Przekształcenie płaskiej kartki w rulon jest homeomorfizmem. Jednocześnie jest to izomorfizm, gdyż odległości między punktami rulona - mierzone wzdłuż linii leżących na rulonie - są identyczne jak w rozwiniętej kartce.

2) Wgniecenie płaskiej membrany bębna jest homeomorfizmem, ale nie jest izometrią.

Twierdzenia o homeomorfizmachEdytuj

Wprost z definicji homeomorfizmu wynikają twierdzenia:

Złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem.
Funkcja odwrotna do homeomorfizmu jest homeomorfizmem.
Każda funkcja tożsamościowa jest homeomorfizmem, o ile na dziedzinie i przeciwdziedzinie rozważana jest ta sama topologia.

Niezmienniki topologiczneEdytuj

Niezmienniki topologiczne to własności przestrzeni topologicznych, które są zachowywane przy przekształceniach homeomorficznych.

Do niezmienników należą m.in. domkniętość, otwartość, zwartość, ośrodkowość, spójność, charakterystyka Eulera.

Niezmienniki służą jako narzędzie do badania rozmaitości topologicznych. Np.

jeżeli rozmaitości mają różne charakterystyki Eulera, to są topologicznie różne,
jeżeli rozmaitości mają taką samą charakterystykę Eulera, to nie przesądza, czy są identyczne czy nie (np. butelka Kleina i wstęga Möbiusa mają charakterystykę Eulera równą 0, ale nie są równoważne topologicznie).

PrzykładyEdytuj

Okrąg jest homeomorficzny z dowolną łamaną zamkniętą zwyczajną. Koło jest homeomorficzne z dowolnym wielokątem.
Okrąg nie jest homeomorficzny z żadnym odcinkiem (przedziałem domkniętym).
Dowód. Jeżeli f: [a, b] → S¹ jest homeomorfizmem pomiędzy odcinkiem [a, b] a okręgiem S¹, to restrykcja
$f|_{(a,b)}\colon (a,b)\to S^{1}\setminus \{f(a),f(b)\}$

jest funkcją ciągłą. Przedział (a, b) jest spójny, więc z ciągłości obraz zbioru (a, b) poprzez f jest również spójny. Funkcja f jest różnowartościowa, więc f(a) ≠ f(b), a okrąg po usunięciu dwóch punktów przestaje być przestrzenią spójną, sprzeczność.
Dowolne dwa odcinki otwarte są homeomorficzne ze sobą.
Przedział (-1,1) jest homeomorficzny z całą prostą rzeczywistą. Z powyższego wynika zatem, każdy przedział otwarty jest homeomorficzny z całą prostą.
Dowód. Funkcja dana wzorem
$f(x)={\frac {2}{\pi }}\cdot {\rm {arctan}}\,x$

jest ciągłą bijekcją, której funkcja odwrotna jest również ciągła.
Sfera (powierzchnia trójwymiarowej kuli) jest homeomorficzna z powierzchnią dowolnego wielościanu.
Żadne dwie powierzchnie spośród następujących nie są homeomorficzne: koło, sfera, pierścień kołowy, powierzchnia torusa.
Żaden przedział jednostronnie domknięty nie jest homeomorficzny z żadnym przedziałem obustronnie otwartym ani obustronnie domkniętym.
Dowód. Przedział domknięty jest zwarty. Gdy przedział nie zawiera jednego ze swoich końców nie jest on zwarty, a więc nie może być homeomorficzny ze zbiorem zwartym, jakim jest przedział domknięty.

Uwagaː

Intuicyjnie można sprawdzić, czy dwie przestrzenie są homeomorficzne, próbując (lub wyobrażając sobie) deformować jedną figurę tak, by otrzymać drugą. Deformacje zachowują niezmienniki topologiczne, dlatego istnienie takiej deformacji jest jednoznaczne z istnieniem homeomorfizmu, a jej brak - z brakiem homeomorfizmu (zobacz animację u góry strony). Sferę można zdeformować w wielościan. Ale nie da się sfery zdeformować w torus.

Zanurzenie homeomorficzneEdytuj

Zanurzeniem homeomorficznym przestrzeni X w przestrzeń Y nazywa się homeomorfizm $f\colon X\to L\subseteq Y$ przestrzeni $X$ z podprzestrzenią $L$ przestrzeni $Y$ .

Jeśli istnieje zanurzenie homeomorficzne przestrzeni X w Y, to mówi się, że X jest zanurzalna w Y.

Przykładː

Okrąg $O$ (lub inną krzywą zamkniętą) można „zanurzyć” w dowolną powierzchnię 2-wymiarową poprzez rzutowanie go tak, by rzut był krzywą $\gamma$ zamkniętą w postaci pojedynczej „pętli”. Taki rzut jest homeomorfizmem $f:O\to \gamma$ .

Sprzężenie topologiczne homeomorfizmówEdytuj

Dwa homeomorfizmy $\varphi ,\;\psi \colon X\to X$ nazywane są topologicznie sprzężonymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki homeomorfizm $\varrho \colon X\to X$ , że

\varphi \circ \varrho =\varrho \circ \psi

Przykład - typy topologiczneEdytuj

Zbiór liter i cyfr (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, F, G, H, I, J, K, L, Ł, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z) stanowi rodzinę przestrzeni topologicznych; każda litera stanowi inną przestrzeń topologiczną. Zbiór ten można podzielić na podzbiory - typy topologiczneː

1, 2, 3, 5, 7, I, C, G, J, L, M, N, S, U, V, W, Z - 1 gałąź
E, F, T, Y - 3 gałęzie
Ł, X - 4 gałęzie
H - 5 gałęzi
O, D - 0 gałęzi, 1 pętla
8 - 0 gałęzi, 2 pętle, 1 wierzchołek
B - 0 gałęzi, 2 pętle, 2 wierzchołki
P, Q, 6, 9 - 1 gałąź, 1 pętla
4 - 2 gałęzie, 1 pętla, 1 wierzchołek
A, R - 2 gałęzie, 1 pętla, 2 wierzchołki

Każdą z liter danego typu można przekształcić w inną literę tego samego typu przez odpowiednie wyginanie i wyciąganie, np. wyginając I uzyskamy C, G, J, itd. Natomiast nie da się za pomocą takiego przekształcenia dokonać przejścia od I do E, itd. Każda z operacji przekształcania jednej litery w inną w danym typie jest homeomorfizmem. Homeomorfizmy zachowują niezmienniki topologiczne - dlatego za ich pomocą otrzymuje się litery tego samego typu.

Uwagaː Litery i cyfry traktujemy tu jako krzywe jednowymiarowe - grafy. Gdyby traktować je jako wycinki powierzchni (np. wykonane z elastycznego materiału), to podział byłby inny, np. I dałoby się przekształcić w E przez odpowiednie rozciąganie. Wtedy mielibyśmy 3 typy topologiczne: litery mające 0 pętli, 1 lub 2 pętle.

Zobacz teżEdytuj

Inne rodzaje odwzorowańː

Na temat niezmienników topologicznychː

BibliografiaEdytuj

Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii (wraz z dodatkiem Ryszarda Engelkinga Elementy topologii algebraicznej), wyd. siódme rozszerzone, Biblioteka Matematyczna. Tom 9. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1977.
Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1975.
Stefan Waldmann: Topology: An Introduction. New York: Springer International Publishing, 2014. ISBN 978-3-319-09679-7.
W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.

UwagiEdytuj

↑ Waldmann 2014 ↓, s. 36-37.

[CITEREFWaldmann201436-37-1] Waldmann 2014 ↓, s. 36-37.

[1]

β