Dyfeomorfizm

Różniczkowalny homeomorfizm

Dyfeomorfizmizomorfizm rozmaitości różniczkowych, tj. odwzorowanie bijektywne pomiędzy rozmaitościami różniczkowymi, które jest gładkie oraz takie, iż odwzorowanie do niego odwrotne jest również gładkie.

Obraz siatki prostokątnej na kwadracie w przekształceniu dyfeomorficznym kwadratu na siebie. Intuicyjnie: przekształcenie to polega na zdeformowaniu siatki prostokątnej bez rozrywania i klejenia. Każda taka deformacja jest homeomorfizmem. Gdy deformacja ta jest funkcją klasy – a więc jest ciągła i jej pochodna jest ciągła – to funkcja ta jest dyfeomorfizmem. Dyfeomerfizmem nie byłaby deformacja z tworzeniem ostrych zagięć (choć byłby to homeomorfizm).

DefinicjaEdytuj

Niech   i   będą przestrzeniami unormowanymi oraz niech   będzie niepustym, otwartym podzbiorem przestrzeni  

Przekształcenie   nazywane jest dyfeomorfizmem, gdy

  1. obraz   jest podzbiorem otwartym w  
  2.   jest bijekcją,
  3.   i   są klasy   (gdzie   jest funkcją odwrotną do  ).

Z definicji wynika, że jeśli   jest dyfeomorfizmem, to   i  odwzorowaniami regularnymi.

Gdy     to dyfeomorfizmy są po prostu zanurzeniami homeomorficznymi klasy   o różniczce maksymalnego rzędu, których funkcja odwrotna jest klasy   w obrazie.

W niektórych publikacjach od dyfeomorfizmu wymaga się, by był funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną[1].

Dyfeomorfizm przywiedlnyEdytuj

Niech   będzie otwartym podzbiorem   Mówi się, że dyfeomorfizm

 

jest przywiedlny, gdy istnieją takie   że

  dla  

Dyfeomorfizmy przywiedlne znajdują zastosowanie w dowodzie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a.

Dyfeomorfizm zachowujący orientacjęEdytuj

Funkcja

 

jest dyfeomorfizmem, gdy jest taką bijekcją klasy   że

  dla  

(por. definicję dla  ). Dyfeomorfizm   zachowuje orientację (osi liczbowej), jeśli

 

i zmienia orientację w przeciwnym wypadku, tzn. gdy

 

Prawdziwe jest następujące twierdzenie teorii hiperpowierzchni dla dyfeomorfizmów zachowujących orientację:

Twierdzenie

Niech   będzie otwartym podzbiorem     będzie drogą kawałkami gładką oraz   będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej formy  

 

gdzie:

  gdy   zachowuje orientację,
  gdy   zmienia orientację.

Grupa dyfeomorfizmówEdytuj

Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. Automorfizm rozmaitości różniczkowej   jest dyfeomorfizmem rozmaitości   na siebie. Za pomocą działania składania automorfizmów można utworzyć na rozmaitości   grupę automorfizmów. Grupę tę oznacza się symbolem  

Ważne dyfeomorfizmyEdytuj

Dyfeomorfizm biegunowy
Niech   Funkcja określona wzorem
 
przeprowadza   na obszar   Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne biegunowe. Jakobian tego przekształcenia  
Dyfeomorfizm sferyczny
Niech   Funkcja określona wzorem
 
przeprowadza zbiór   na zbiór   Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne sferyczne. Jakobian tego przekształcenia  
Dyfeomorfizm walcowy
Niech   Funkcja określona wzorem
 
przeprowadza   na obszar   Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne walcowe. Jakobian tego przekształcenia  

Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmieEdytuj

Niech   i   będą przestrzeniami Banacha,   będzie niepustym, otwartym podzbiorem   oraz będzie dane odwzorowanie   klasy   Jeśli   jest różniczkowalne w punkcie   oraz pochodna ta jest izomorfizmem (liniowym)   na   to istnieje takie otoczenie   punktu   że odwzorowanie   jest dyfeomorfizmem.

Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzeni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu twierdzenia o funkcji uwikłanej.

PrzypisyEdytuj

  1. John W. Milnor: Topologia z różniczkowego punktu widzenia. Warszawa: PWN, 1969, s. 11.

BibliografiaEdytuj

  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.