Dyfeomorfizm
Dyfeomorfizm – izomorfizm rozmaitości różniczkowych, tj. odwzorowanie bijektywne pomiędzy rozmaitościami różniczkowymi, które jest gładkie oraz takie, iż odwzorowanie do niego odwrotne jest również gładkie.

DefinicjaEdytuj
Niech i będą przestrzeniami unormowanymi oraz niech będzie niepustym, otwartym podzbiorem przestrzeni
Przekształcenie nazywane jest dyfeomorfizmem, gdy
Z definicji wynika, że jeśli jest dyfeomorfizmem, to i są odwzorowaniami regularnymi.
Gdy to dyfeomorfizmy są po prostu zanurzeniami homeomorficznymi klasy o różniczce maksymalnego rzędu, których funkcja odwrotna jest klasy w obrazie.
W niektórych publikacjach od dyfeomorfizmu wymaga się, by był funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną[1].
Dyfeomorfizm przywiedlnyEdytuj
Niech będzie otwartym podzbiorem Mówi się, że dyfeomorfizm
jest przywiedlny, gdy istnieją takie że
- dla
Dyfeomorfizmy przywiedlne znajdują zastosowanie w dowodzie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a.
Dyfeomorfizm zachowujący orientacjęEdytuj
Funkcja
jest dyfeomorfizmem, gdy jest taką bijekcją klasy że
- dla
(por. definicję dla ). Dyfeomorfizm zachowuje orientację (osi liczbowej), jeśli
i zmienia orientację w przeciwnym wypadku, tzn. gdy
Prawdziwe jest następujące twierdzenie teorii hiperpowierzchni dla dyfeomorfizmów zachowujących orientację:
- Twierdzenie
Niech będzie otwartym podzbiorem będzie drogą kawałkami gładką oraz będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej formy
gdzie:
- gdy zachowuje orientację,
- gdy zmienia orientację.
Grupa dyfeomorfizmówEdytuj
Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. Automorfizm rozmaitości różniczkowej jest dyfeomorfizmem rozmaitości na siebie. Za pomocą działania składania automorfizmów można utworzyć na rozmaitości grupę automorfizmów. Grupę tę oznacza się symbolem
Ważne dyfeomorfizmyEdytuj
- Dyfeomorfizm biegunowy
- Niech Funkcja określona wzorem
- przeprowadza na obszar Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne biegunowe. Jakobian tego przekształcenia
- Dyfeomorfizm sferyczny
- Niech Funkcja określona wzorem
- przeprowadza zbiór na zbiór Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne sferyczne. Jakobian tego przekształcenia
- Dyfeomorfizm walcowy
- Niech Funkcja określona wzorem
- przeprowadza na obszar Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne walcowe. Jakobian tego przekształcenia
Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmieEdytuj
Niech i będą przestrzeniami Banacha, będzie niepustym, otwartym podzbiorem oraz będzie dane odwzorowanie klasy Jeśli jest różniczkowalne w punkcie oraz pochodna ta jest izomorfizmem (liniowym) na to istnieje takie otoczenie punktu że odwzorowanie jest dyfeomorfizmem.
Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzeni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu twierdzenia o funkcji uwikłanej.
PrzypisyEdytuj
- ↑ John W. Milnor: Topologia z różniczkowego punktu widzenia. Warszawa: PWN, 1969, s. 11.
BibliografiaEdytuj
- Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.