Dyfeomorfizm

Dyfeomorfizm – izomorfizm rozmaitości różniczkowych, tj. odwzorowanie bijektywne pomiędzy rozmaitościami różniczkowymi, które jest gładkie oraz takie, iż odwzorowanie do niego odwrotne jest również gładkie.

Obraz siatki prostokątnej na kwadracie w przekształceniu dyfeomorficznym kwadratu na siebie. Intuicyjnie: przekształcenie to polega na zdeformowaniu siatki prostokątnej bez rozrywania i klejenia. Każda taka deformacja jest homeomorfizmem. Gdy deformacja ta jest funkcją klasy $C^{1}$ – a więc jest ciągła i jej pochodna jest ciągła – to funkcja ta jest dyfeomorfizmem. Dyfeomerfizmem nie byłaby deformacja z tworzeniem ostrych zagięć (choć byłby to homeomorfizm).

Definicja

Niech $X$ i $Y$ będą przestrzeniami unormowanymi oraz niech $D$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem przestrzeni $X.$

Przekształcenie $F\colon D\to Y$ nazywane jest dyfeomorfizmem, gdy

1. obraz $F(D)$ jest podzbiorem otwartym w $Y,$
2. $F$ jest bijekcją,
3. $F$ i $F^{-1}$ są klasy $C^{1}$ (gdzie $F^{-1}\colon F(D)\to D$ jest funkcją odwrotną do $F$).

Z definicji wynika, że jeśli $F$ jest dyfeomorfizmem, to $F$ i $F^{-1}$ są odwzorowaniami regularnymi.

Gdy $X=\mathbb {R} ^{m},$ $Y=\mathbb {R} ^{k},$ to dyfeomorfizmy są po prostu zanurzeniami homeomorficznymi klasy $C^{1}$ o różniczce maksymalnego rzędu, których funkcja odwrotna jest klasy $C^{1}$ w obrazie.

W niektórych publikacjach od dyfeomorfizmu wymaga się, by był funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną.

Dyfeomorfizm przywiedlny

Niech $D$ będzie otwartym podzbiorem $\mathbb {R} ^{m}.$ Mówi się, że dyfeomorfizm

$\Phi =(\varphi _{1},\dots ,\varphi _{m})\colon D\to \mathbb {R} ^{m}$

jest przywiedlny, gdy istnieją takie $i,j\leqslant m,$ że

$\varphi _{i}(x_{1},\dots ,x_{m})=x_{j}$ dla $(x_{1},\dots ,x_{m})\in D.$

Dyfeomorfizmy przywiedlne znajdują zastosowanie w dowodzie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a.

Dyfeomorfizm zachowujący orientację

Funkcja

$\varphi \colon (a,b)\to (\alpha ,\beta )$

jest dyfeomorfizmem, gdy jest taką bijekcją klasy $C^{1},$ że

$\varphi '(t)\neq 0$ dla $t\in (a,b)$

(por. definicję dla $X=Y=\mathbb {R} ^{m}$). Dyfeomorfizm $\varphi$ zachowuje orientację (osi liczbowej), jeśli

$\varphi '>0$

i zmienia orientację w przeciwnym wypadku, tzn. gdy

$\varphi '<0.$

Prawdziwe jest następujące twierdzenie teorii hiperpowierzchni dla dyfeomorfizmów zachowujących orientację:

Twierdzenie

Niech $G$ będzie otwartym podzbiorem $\mathbb {R} ^{n},$ $\Gamma \colon [a,b]\to G$ będzie drogą kawałkami gładką oraz $\varphi \colon (a,b)\to (\alpha ,\beta )$ będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej formy $\Omega \in F_{0}^{1}(G;Y)$

${}\,\int \limits _{\Gamma \circ \varphi }\Omega =\varepsilon (\varphi )\int \limits _{\Gamma }\Omega ,$

gdzie:

$\varepsilon (\varphi )=+1,$ gdy $\varphi$ zachowuje orientację,

$\varepsilon (\varphi )=-1,$ gdy $\varphi$ zmienia orientację.

Grupa dyfeomorfizmów

Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. Automorfizm rozmaitości różniczkowej $M$ jest dyfeomorfizmem rozmaitości $M$ na siebie. Za pomocą działania składania automorfizmów można utworzyć na rozmaitości $M$ grupę automorfizmów. Grupę tę oznacza się symbolem $\operatorname {Diff} (M).$

Ważne dyfeomorfizmy

Dyfeomorfizm biegunowy

Niech $B=(0,+\infty )\times (0,2\pi )\subset \mathbb {R} ^{2}.$ Funkcja określona wzorem

$b(r,\phi )=(r\cdot \cos \phi ,r\cdot \sin \phi )$

przeprowadza $B$ na obszar $\mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(x,0)\in \mathbb {R} ^{2}:x\geqslant 0\right\}.$ Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne biegunowe. Jakobian tego przekształcenia $J_{B}=r.$

Dyfeomorfizm sferyczny

Niech $S=(0,+\infty )\times (0,2\pi )\times (0,\pi )\subset \mathbb {R} ^{3}.$ Funkcja określona wzorem

$s(r,\phi ,\theta )=\left(r\cdot \cos \phi \cdot \sin \theta ,\,r\cdot \sin \phi \cdot \sin \theta ,r\cdot \cos \theta \right)$

przeprowadza zbiór $S$ na zbiór $\mathbb {R} ^{3}\setminus \left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x\leqslant 0,y=0\right\}.$ Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne sferyczne. Jakobian tego przekształcenia $J_{S}=r^{2}\sin \theta .$

Dyfeomorfizm walcowy

Niech $W=(0,+\infty )\times (0,2\pi )\times \mathbb {R} \subset \mathbb {R} ^{3}.$ Funkcja określona wzorem

$w(\rho ,\phi ,z)=(\rho \cdot \cos \phi ,\rho \cdot \sin \phi ,z)$

przeprowadza $W$ na obszar $\mathbb {R} ^{3}\setminus \left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x\leqslant 0,y=0\right\}.$ Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne walcowe. Jakobian tego przekształcenia $J_{W}=\rho .$

Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie

Niech $X$ i $Y$ będą przestrzeniami Banacha, $D$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem $X$ oraz będzie dane odwzorowanie $F\colon D\to Y$ klasy $C^{1}.$ Jeśli $F$ jest różniczkowalne w punkcie $x_{0}\in D$ oraz pochodna ta jest izomorfizmem (liniowym) $X$ na $Y,$ to istnieje takie otoczenie $U\subseteq D$ punktu $x_{0},$ że odwzorowanie $F|_{U}$ jest dyfeomorfizmem.

Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzeni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu twierdzenia o funkcji uwikłanej.

Bibliografia

• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.