Układ współrzędnych biegunowych

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) – układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt $O$ zwany biegunem oraz półprostą $OS$ o początku w punkcie $O$ zwaną osią biegunową.

Definicja

Każdemu punktowi $P$ płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe, jak następuje:

• promień wodzący punktu $P$ to jego odległość $|OP|$ od bieguna,
• amplituda punktu $P$ to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą $OS$ a wektorem ${\overrightarrow {OP}}.$

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna $O$ są równe $(0,0).$ O amplitudzie możemy zakładać, że $0\leqslant \varphi <2\pi$ (niektórzy autorzy przyjmują $-\pi <\varphi \leqslant \pi$).

Rys historyczny

Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w Europie w XVII wieku. Według Juliana Coolidge’a pierwszeństwo w używaniu tego układu należy przyznać albo Grégoire de Saint-Vincentowi lub Bonaventurze Cavalieriemu.

• Cavalieri użył współrzędnych biegunowych aby wyznaczyć pole obszaru ograniczonego spiralą Archimedesa (a ściślej mówiąc jej pierwszym „obrotem”).
• W 1647 de Saint-Vincent opublikował pracę, w której używał współrzędnych biegunowych i twierdził, że znał tę metodę już w 1625.
• W 1658, Blaise Pascal używa układu biegunowego w wyznaczeniu długości pewnych łuków. Trzy lata później podobnej metody użył szkocki matematyk James Gregory.
• Isaac Newton dyskutuje różne układy współrzędnych i w pewnych przypadkach używa układu biegunowego.
• Za twórcę biegunowego układu współrzędnych w jego współczesnej formie uważa się Jakoba Bernoulliego, który używał tego układu w badaniach krzywizny pewnych krzywych.

Związek z układem kartezjańskim

Rysunek pokazujący związek układów biegunowego i kartezjańskiego

Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański $OXY$ oraz układ biegunowy z biegunem $O$ i osią biegunową $OX.$

Przejście od układu biegunowego do kartezjańskiego

Dla danego wektora wodzącego $r\geqslant 0$ i amplitudy $\varphi \in [0,2\pi )$ punktu $P,$ jego współrzędne kartezjańskie są określone wzorami:

$x=r\cdot \cos \varphi ,$

$y=r\cdot \sin \varphi .$

Jakobian przejścia wynosi

${\frac {D(x,y)}{D(r,\varphi )}}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{matrix}}\right|$ $=r(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )=r.$

Przejście od układu kartezjańskiego do biegunowego

Rozważmy punkt o współrzędnych kartezjańskich $(x,y).$ Promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$.

Jeśli $r\neq 0$ i $x\neq 0,$ to z definicji funkcji tangens:

$\operatorname {tg} \,\varphi ={\tfrac {y}{x}}$,

zatem amplituda $\varphi$ tego punktu jest dana wzorem:

$\varphi =\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}})$

(o ile dopuszczamy ujemne wartości $\varphi$).

Natomiast aby otrzymać $0\leqslant \varphi <2\pi ,$ należy rozważyć następujące przypadki:

$\varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}}),&{\mbox{gdy }}x>0{\mbox{ oraz }}y\geqslant 0\\\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}})+2\pi ,&{\mbox{gdy }}x>0{\mbox{ oraz }}y<0\\\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}})+\pi ,&{\mbox{gdy }}x<0\\{\tfrac {\pi }{2}},&{\mbox{gdy }}x=0{\mbox{ oraz }}y>0\\{\tfrac {3\pi }{2}},&{\mbox{gdy }}x=0{\mbox{ oraz }}y<0\end{cases}},$

gdzie $\operatorname {arctg}$ oznacza funkcję arcus tangens. W zakresie kątów $(-\pi ,\pi )$ można ten zapis uprościć do

$\varphi =\arccos({\tfrac {x}{r}})\;\operatorname {sgn}(y),$

gdzie $\operatorname {sgn}$ oznacza funkcję signum.

Krzywe w układzie biegunowym

Dla szeregu krzywych algebraicznych ich równania przedstawione w układzie biegunowym cechują się dużą symetrią lub pewną prostotą. Równania te nazywamy równaniami biegunowymi krzywych.

Okrąg

Okrąg o równaniu $r=1$

Okrąg o środku w punkcie $(r_{0},\varphi _{0})$ i promieniu $a>0$ jest opisany przez równanie

$r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})+r_{0}^{2}=a^{2}.$

W szczególnym przypadku gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, powyższe równanie przybiera szczególnie prostą postać:

$r=a.$

Róża

Róża o równaniu $r=2\sin(4\varphi )$

Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie

$r=a\cos(k\varphi +\varphi _{0}),$

gdzie $\varphi _{0}$ jest dowolną stałą, $a$ jest parametrem wyznaczającym długość „płatków” róży, a $k$ jest parametrem wyznaczającym ilość i formę „płatków” róży.

Jeśli $k$ jest nieparzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała $k$ płatków, a jeśli $k$ jest parzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała $2k$ płatków. Dla innych wartości $k$ kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.

Spirala Archimedesa

Jedno ramię spirali Archimedesa o równaniu $r=\varphi$ dla $0<\varphi <6\pi$

Spirala Archimedesa jest przedstawiona przez równanie

$r=a+b\varphi .$

Parametry $a,b$ w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana $a$ spowoduje obrócenie krzywej, a wartość $b$ wyznacza odległość pomiędzy ramionami.

Prosta

Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie

$\varphi =\varphi _{0},$

gdzie $\varphi _{0}$ to nachylenie prostej.

Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej

$\varphi =\varphi _{0}$

i przecina ją w punkcie $(r_{0},\varphi _{0}),$ zadana jest przez równanie

$r=r_{0}\sec(\varphi -\varphi _{0}).$

Pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji

Tak jak w układzie kartezjańskim powierzchnię wykresu funkcji $f$ można podzielić na prostokąty o wymiarach $f(x)\times dx,$ gdzie $f(x)$ jest wartością funkcji dla argumentu $x,$ zaś $dx$ jest różniczką tegoż argumentu, można poprzez analogię w układzie współrzędnych biegunowych, podzielić powierzchnię wykresu funkcji $r$ na trójkąty równoramienne, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami znajdują się w biegunie, drugie są częścią wykresu, zaś trzecie znajdują się obok drugich i jednocześnie w tej samej odległości od bieguna, co te drugie, przy czym długość obu ramion jest równa $r(\varphi ),$ gdzie $r(\varphi )$ jest wartością funkcji dla argumentu $\varphi ,$ zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami wynosi $d\varphi ,$ gdzie $d\varphi \to 0$ jest różniczką tegoż argumentu. Skorzystamy tutaj z jednego ze wzorów na pole powierzchni trójkąta, które jest równe połowie iloczynu długości jego ramion i sinusa kąta zawartego między nimi. W naszym przypadku różniczka powierzchni $dS$ będzie równa:

$dS(\varphi )={\frac {1}{2}}r(\varphi )r(\varphi )sin(d\varphi )={\frac {1}{2}}r^{2}(\varphi )\cdot {\frac {sin(d\varphi )}{d\varphi }}\cdot d\varphi$

Ponieważ $\lim _{d\varphi \to 0}{\frac {sin(d\varphi )}{d\varphi }}=1,$ otrzymujemy:

$dS(\varphi )={\frac {1}{2}}r^{2}(\varphi )d\varphi .$

Tak więc pole powierzchni $S$ ograniczonej wykresem funkcji $r$ wyraża się wzorem:

$S=\int _{\alpha }^{\beta }dS(\varphi )=\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{2}}r^{2}(\varphi )d\varphi ={\frac {1}{2}}\int _{\alpha }^{\beta }r^{2}(\varphi )d\varphi .$

Długość łuku wykresu funkcji

W układzie współrzędnych biegunowych, powierzchnię wykresu funkcji $r$ można podzielić na trójkąty, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami $O$ znajdują się w biegunie, zaś 2 pozostałe: $P$ i $Q,$ są częścią wykresu i znajdują się obok siebie, przy czym długość pierwszego ramienia $|OP|$ wynosi $r(\varphi ),$ drugiego $|OQ|{:}$ $r(\varphi +d\varphi )=r(\varphi )+dr(\varphi )$ dla argumentu $\varphi ,$ długość podstawy $|PQ|$ jest różniczką naszego łuku, a więc oznaczona jako $dL,$ zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami $(POQ)$ wynosi $d\varphi ,$ gdzie $d\varphi \to 0$ jest różniczką tegoż argumentu. Na ramieniu $OQ$ umieszczamy punkt $R,$ który dzieli to ramię w ten sposób, że $|OR|=|OP|=r(\varphi ),$ zaś $|RQ|=dr(\varphi ).$ W ten sposób podzieliliśmy trójkąt $OPQ$ na 2 mniejsze: równoramienny $OPR$ (o podstawie $PR$) i $PQR.$ Kąt $ORP$ oznaczmy jako $\gamma ,$ zaś kąt $PRQ$ – jako $\delta .$ Kąty $d\varphi$ i $\gamma$ znajdują się w trójkącie równoramiennym, tak więc suma ich wszystkich jest równa $\pi {:}$

$2\gamma +d\varphi =\pi ,$

$2\gamma =\pi -d\varphi ,$

$\gamma ={\frac {\pi -d\varphi }{2}}.$

Ponieważ $d\varphi \to 0,$ więc:

$\gamma \to {\frac {\pi }{2}}.$

Kąty $\gamma$ i $\delta$ są względem siebie przyległe, tak więc ich suma jest równa $\pi {:}$

$\gamma +\delta =\pi ,$

$\delta =\pi -\gamma =\pi -{\frac {\pi -d\varphi }{2}}={\frac {\pi +d\varphi }{2}}.$

Ponieważ $d\varphi \to 0,$ więc:

$\delta \to {\frac {\pi }{2}}.$

Skoro więc kąt $\delta$ znajduje się w trójkącie $PQR,$ to trójkąt ten można uznać za prostokątny, a skoro tworzą go boki $PQ,$ $PR$ i $QR,$ to muszą one spełniać twierdzenie Pitagorasa:

$|PQ|^{2}=|PR|^{2}+|QR|^{2},$

$dL^{2}=|PR|^{2}+dr^{2}(\varphi ).$

Długość podstawy $|PR|$ można policzyć w oparciu o twierdzenie cosinusów:

$|PR|^{2}=r^{2}(\varphi )+r^{2}(\varphi )-2r(\varphi )r(\varphi )cos(d\varphi )=2r^{2}(\varphi )-2r^{2}(\varphi )cos(d\varphi )=2r^{2}(\varphi )(1-cos(d\varphi )).$

Powyższe otrzymane wyrażenie podstawiamy do wcześniejszej zależności wynikającej z twierdzenia Pitagorasa:

$dL^{2}=2r^{2}(\varphi )(1-cos(d\varphi ))+dr^{2}(\varphi )=\left(2r^{2}(\varphi )\cdot {\frac {1-cos(d\varphi )}{d\varphi ^{2}}}+\left({\frac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right)^{2}\right)d\varphi ^{2}=\left(2r(\varphi )^{2}\cdot {\frac {1-cos(d\varphi )}{d\varphi ^{2}}}+r'(\varphi )^{2}\right)d\varphi ^{2}.$

Ponieważ $\lim _{d\varphi \to 0}{\frac {1-cos(d\varphi )}{d\varphi ^{2}}}={\frac {1}{2}},$ otrzymujemy:

$dL^{2}=\left(({\cancel {2}}r(\varphi )^{2}\cdot {\frac {1}{\cancel {2}}}+r'(\varphi )^{2}\right)d\varphi ^{2}=(r(\varphi )^{2}+r'(\varphi )^{2})d\varphi ^{2}.$

Tak więc różniczka łuku $dL$ wykresu funkcji $r$ w układzie współrzędnych biegunowych wyraża się wzorem:

$dL(\varphi )={\sqrt {r(\varphi )^{2}+r'(\varphi )^{2}}}d\varphi .$

Długość łuku $L$ wykresu funkcji $r$ wyraża się wzorem:

$L=\int _{\alpha }^{\beta }dL(\varphi )=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {r(\varphi )^{2}+r'(\varphi )^{2}}}d\varphi .$

Liczby zespolone

Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych

Liczby zespolone mogą być przedstawiane jako punkty na płaszczyźnie zespolonej. Wówczas możemy je opisywać albo używając układu kartezjańskiego:

$z=x+iy$

albo podając je w układzie biegunowym, otrzymując tzw. postać trygonometryczną liczby zespolonej $z{:}$

$z=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )).$

(Powyżej, $r$ to moduł liczby $z,$ a $\varphi$ to jej argument).

Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest przekształcana do postaci wykładniczej

$z=re^{i\varphi },$

gdzie $e$ to liczba Eulera.

Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest szczególnie proste:

• $r_{0}e^{i\theta _{0}}\cdot r_{1}e^{i\theta _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\theta _{0}+\theta _{1})},$
• ${\frac {r_{0}e^{i\theta _{0}}}{r_{1}e^{i\theta _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\theta _{0}-\theta _{1})},$
• $(re^{i\theta })^{n}=r^{n}e^{in\theta }.$

Zobacz też

• układ współrzędnych astronomicznych
• układ współrzędnych sferycznych
• współrzędne geograficzne