Otwórz menu główne

Układ współrzędnych biegunowych

DefinicjaEdytuj

Każdemu punktowi   płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe, jak następuje[1]:

  • promień wodzący punktu   to jego odległość   od bieguna,
  • amplituda punktu   to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą   a wektorem  

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna   są równe   O amplitudzie możemy zakładać, że   (niektórzy autorzy przyjmują  ).

Rys historycznyEdytuj

Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w Europie w XVII wieku. Według Juliana Coolidge’a[2] pierwszeństwo w używaniu tego układu należy przyznać albo Grégoire de Saint-Vincentowi lub Bonaventurze Cavalieriemu.

  • Cavalieri[3] użył współrzędnych biegunowych aby wyznaczyć pole obszaru ograniczonego spiralą Archimedesa (a ściślej mówiąc jej pierwszym „obrotem”).
  • W 1647 de Saint-Vincent opublikował pracę, w której używał współrzędnych biegunowych i twierdził, że znał tę metodę już w 1625.
  • W 1658, Blaise Pascal używa układu biegunowego w wyznaczeniu długości pewnych łuków. Trzy lata później podobnej metody użył szkocki matematyk James Gregory.
  • Isaac Newton[4] dyskutuje różne układy współrzędnych i w pewnych przypadkach używa układu biegunowego.
  • Za twórcę biegunowego układu współrzędnych w jego współczesnej formie uważa się Jakoba Bernoulliego, który używał tego układu w badaniach krzywizny pewnych krzywych.

Związek z układem kartezjańskimEdytuj

 
Rysunek pokazujący związek układów biegunowego i kartezjańskiego

Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański   oraz układ biegunowy z biegunem   i osią biegunową  

Przejście od układu biegunowego do kartezjańskiegoEdytuj

Dla danego wektora wodzącego   i amplitudy   punktu   jego współrzędne kartezjańskie są określone wzorami[5][6]:

 
 

Jakobian przejścia wynosi

   

Przejście od układu kartezjańskiego do biegunowegoEdytuj

Rozważmy punkt o współrzędnych kartezjańskich   Promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa:

 [7][6].

Jeśli   i   to z definicji funkcji tangens:

 [7],

zatem amplituda   tego punktu jest dana wzorem:

 [8]

(o ile dopuszczamy ujemne wartości  ).

Natomiast aby otrzymać   należy rozważyć następujące przypadki:

 

gdzie   oznacza funkcję arcus tangens. W zakresie kątów   można ten zapis uprościć do

 

gdzie   oznacza funkcję signum.

Krzywe w układzie biegunowymEdytuj

Dla szeregu krzywych algebraicznych ich równania przedstawione w układzie biegunowym cechują się dużą symetrią lub pewną prostotą. Równania te nazywamy równaniami biegunowymi krzywych.

OkrągEdytuj

 
Okrąg o równaniu  

Okrąg o środku w punkcie   i promieniu   jest opisany przez równanie

 

W szczególnym przypadku gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, powyższe równanie przybiera szczególnie prostą postać:

 

RóżaEdytuj

 
Róża o równaniu  

Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie

 

gdzie   jest dowolną stałą,   jest parametrem wyznaczającym długość „płatków” róży, a   jest parametrem wyznaczającym ilość i formę „płatków” róży.

Jeśli   jest nieparzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała   płatków, a jeśli   jest parzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała   płatków. Dla innych wartości   kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.

Spirala ArchimedesaEdytuj

 
Jedno ramię spirali Archimedesa o równaniu   dla  

Spirala Archimedesa jest przedstawiona przez równanie

 

Parametry   w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana   spowoduje obrócenie krzywej, a wartość   wyznacza odległość pomiędzy ramionami.

ProstaEdytuj

Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie

 

gdzie   to nachylenie prostej.

Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej

 

i przecina ją w punkcie   zadana jest przez równanie

 

Pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcjiEdytuj

Tak jak w układzie kartezjańskim powierzchnię wykresu funkcji   można podzielić na prostokąty o wymiarach   gdzie   jest wartością funkcji dla argumentu   zaś   jest różniczką tegoż argumentu, można poprzez analogię w układzie współrzędnych biegunowych, podzielić powierzchnię wykresu funkcji   na trójkąty równoramienne, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami znajdują się w biegunie, drugie są częścią wykresu, zaś trzecie znajdują się obok drugich i jednocześnie w tej samej odległości od bieguna, co te drugie, przy czym długość obu ramion jest równa   gdzie   jest wartością funkcji dla argumentu   zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami wynosi   gdzie   jest różniczką tegoż argumentu. Skorzystamy tutaj z jednego ze wzorów na pole powierzchni trójkąta, które jest równe połowie iloczynu długości jego ramion i sinusa kąta zawartego między nimi. W naszym przypadku różniczka powierzchni   będzie równa:

 

Ponieważ   otrzymujemy:

 

Tak więc pole powierzchni   ograniczonej wykresem funkcji   wyraża się wzorem:

 

Długość łuku wykresu funkcjiEdytuj

W układzie współrzędnych biegunowych, powierzchnię wykresu funkcji   można podzielić na trójkąty, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami   znajdują się w biegunie, zaś 2 pozostałe:   i   są częścią wykresu i znajdują się obok siebie, przy czym długość pierwszego ramienia   wynosi   drugiego     dla argumentu   długość podstawy   jest różniczką naszego łuku, a więc oznaczona jako   zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami   wynosi   gdzie   jest różniczką tegoż argumentu. Na ramieniu   umieszczamy punkt   który dzieli to ramię w ten sposób, że   zaś   W ten sposób podzieliliśmy trójkąt   na 2 mniejsze: równoramienny   (o podstawie  ) i   Kąt   oznaczmy jako   zaś kąt   – jako   Kąty   i   znajdują się w trójkącie równoramiennym, tak więc suma ich wszystkich jest równa  

 
 
 

Ponieważ   więc:

 

Kąty   i   są względem siebie przyległe, tak więc ich suma jest równa  

 
 

Ponieważ   więc:

 

Skoro więc kąt   znajduje się w trójkącie   to trójkąt ten można uznać za prostokątny, a skoro tworzą go boki     i   to muszą one spełniać twierdzenie Pitagorasa:

 
 

Długość podstawy   można policzyć w oparciu o twierdzenie cosinusów:

 

Powyższe otrzymane wyrażenie podstawiamy do wcześniejszej zależności wynikającej z twierdzenia Pitagorasa:

 

Ponieważ   otrzymujemy:

 

Tak więc różniczka łuku   wykresu funkcji   w układzie współrzędnych biegunowych wyraża się wzorem:

 

Długość łuku   wykresu funkcji   wyraża się wzorem:

 

Liczby zespoloneEdytuj

 
Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych

Liczby zespolone mogą być przedstawiane jako punkty na płaszczyźnie zespolonej. Wówczas możemy je opisywać albo używając układu kartezjańskiego:

 

albo podając je w układzie biegunowym, otrzymując tzw. postać trygonometryczną liczby zespolonej  

 

(Powyżej,   to moduł liczby   a   to jej argument).

Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest przekształcana do postaci wykładniczej

 

gdzie   to liczba Eulera.

Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest szczególnie proste:

  •  
  •  
  •  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Franciszek Leja: Geometria analityczna. Wydanie 6. Państ. Wyd. Naukowe, Warszawa 1976, strona 45.
  2. Julian Coolidge: The Origin of Polar Coordinates. „The American Mathematical Monthly” 59 (1952), s. 78–85.
  3. Bonaventura Cavalieri: Geometria indivisilibus continuorum. Bonn 1653. (Pierwsze wydanie ukazało się w 1635.).
  4. Newton: The Method of Fluxions. Londyn 1736. (Napisane w 1671).
  5. Składowe wektora i współrzędne punktu. W: Marceli Stark: Geometria analityczna. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1951, s. 66, seria: Monografie matematyczne, t. 26. OCLC 887752.
  6. a b I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 13. Warszawa: PWN, 1996, s. 258. ISBN 83-01-11658-7.
  7. a b Składowe wektora i współrzędne punktu. W: Marceli Stark: Geometria analityczna. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1951, s. 67, seria: Monografie matematyczne, t. 26. OCLC 887752.
  8. Granino A. Korn, Theresa M. Korn: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. Wyd. 2. Mineola, New York: Dover Publications, 2000, s. 35. ISBN 0-486-41147-8.