Krzywa stożkowa

Krzywa stożkowazbiór punktów przecięcia płaszczyzny i powierzchni stożkowej, której kierującą jest okrąg. Krzywe stożkowe są krzywymi drugiego stopnia, tzn. można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia względem obu zmiennych i

Stożkowe są niezmiennikami przekształcenia rzutowego i stąd grają pewną rolę w geometrii rzutowej. Typ stożkowej może się przy tym zmieniać, stożkowe można w tym sensie uznać za rzuty okręgu na płaszczyznę.

Rys historycznyEdytuj

Za twórcę teorii krzywych stożkowych uważa się Menaichmosa, zaś znane pojęcia elipsa, parabola i hiperbola wprowadził Apoloniusz z Pergi. Krzywe stożkowe, których zastosowania nie widziano, stały się niezwykle ważne dopiero w XVII wieku w związku z odkryciami Jana Keplera, który udowodnił, iż planety krążą po torach eliptycznych, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk (I prawo Keplera). Nowe ujęcie teorii krzywych stożkowych stworzył Jean-Victor Poncelet w XIX wieku.

Rodzaje krzywych stożkowychEdytuj

Wyróżnia się następujące krzywe stożkowe, zależnie od kąta jaki tworzy płaszczyzna przecinająca z osią stożka i kąta tworzącej stożka:

  • W przypadku, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną przecinającą a osią stożka jest większy od kąta między tworzącą a osią stożka, wówczas krzywą stożkową jest elipsa.
    • Szczególnym przypadkiem elipsy jest okrąg, który powstaje, gdy wspomniany kąt jest prosty, czyli płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi stożka.
  • Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest równy kątowi pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, czyli tworząca jest równoległa do płaszczyzny tnącej, to krzywą stożkową jest parabola.
    • W szczególnym przypadku, gdy płaszczyzna tnąca pokrywa się z tworzącą, otrzymuje się prostą (parabola zdegenerowana).
  • Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, to otrzymana stożkowa jest hiperbolą.
    • Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca jest równoległa do osi stożka, ale nie obejmuje tej osi. W szczególnym przypadku, gdy oś stożka jest zawarta w płaszczyźnie tnącej, otrzymuje się parę przecinających się prostych, będącą zdegenerowanym przypadkiem hiperboli.

RównanieEdytuj

 
Okrąg   elipsa   parabola   i hiperbola   Dla   uzyskuje się prostą, odpowiadającą kierownicy każdej z tych krzywych stożkowych.

Wszystkie krzywe stożkowe można opisać równaniem we współrzędnych biegunowych:

 

gdzie:

  – współrzędne punktu;
 mimośród krzywej, decydujący o jej kształcie:
  •  okrąg, szczególny przypadek elipsy;
  •  elipsa;
  •  parabola;
  •  hiperbola.
  – parametr, decydujący o kącie pomiędzy tworzącą a osią stożka.

Parametr   krzywej stożkowej jest równy połowie długości cięciwy przechodzącej przez ognisko krzywej i równoległej do jej kierownicy. Nosi on łacińską nazwę semilatus rectum[1].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Eric W Weisstein: Semilatus Rectum. MathWorld – A Wolfram Web Resource. [dostęp 2017-07-05].