Równoległość

Równoległość – relacja między obiektami takimi jak proste, płaszczyzny, odcinki, półproste.

Aksjomaty

Aksjomat Euklidesa

Jeżeli prosta (transwersalna) $t$ przecina proste $a,b$ tak, że kąty sobie odpowiadające są sobie różne, to proste $a,b$ przecinają się.

O takich prostych mówi się, że są nierównoległe i oznacza się $a\nparallel b.$ Proste, które nie są nierównoległe, nazywane są równoległymi i oznacza się $a\parallel b.$

Szkocki matematyk John Playfair określił następujący aksjomat:

Aksjomat Playfaira

Przez dowolny punkt można przeprowadzić najwyżej jedną prostą rozłączną z zadaną prostą.

O takiej prostej mówi się, że jest równoległa do zadanej prostej.

Geometria euklidesowa

Geometrie euklidesowe to geometrie wykorzystujące aksjomat Euklidesa. Dwie proste na płaszczyźnie są równoległe, jeżeli nie przecinają się w żadnym punkcie lub mają ich nieskończenie wiele (pokrywają się).

Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej są równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej są równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub prosta leży na tej płaszczyźnie.

Analogicznie można definiować równoległość dla obiektów mających więcej wymiarów.

Właściwości

Równoległość jest relacją równoważności, tzn. jest

zwrotna: $a\parallel a,$

symetryczna: $a\parallel b\;{}$ pociąga ${}\;b\parallel a,$

przechodnia: jeśli $a\parallel b\;{}$ oraz ${}\;b\parallel c,\;{}$ to ${}\;a\parallel c.$

Geometria analityczna

Proste równoległe zadane równaniem w postaci kierunkowej, mają równe współczynniki kierunkowe.

Dwie proste na płaszczyźnie kartezjańskiej są interpretacją graficzną układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Proste równoległe rozłączne odpowiadają układowi sprzecznemu, proste pokrywające się układowi nieoznaczonemu. Stąd dwie proste zadane równaniami ogólnymi

${\begin{cases}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\\[2pt]A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\end{cases}}$

nie przecinają się lub pokrywają się, jeżeli wyznacznik (macierzy głównej) tego układu jest równy zeru:

${\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}=0\iff A_{1}B_{2}=A_{2}B_{1}.$

Odległość prostych równoległych

Odległość prostych równoległych – odległość któregokolwiek punktu leżącego na jednej prostej od jego rzutu prostopadłego na drugą prostą.

Niech l || k. Wówczas $l:Ax+By+C_{1}$ i $k:Ax+By+C_{2},$ gdy $A_{2}+B_{2}>0.$ Odległość punktu $O$ od prostej $l$ wyraża się wzorem:

$d={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C_{1}|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.$

Ponieważ $O\in k,$ to $Ax_{0}+By_{0}+C_{2}=0,$ więc $Ax_{0}+By_{0}=-C_{2}.$

Zatem wzór na odległość dwóch prostych równoległych ma postać:

$d={\frac {|C_{1}-C_{2}|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.$

Jeżeli przedstawimy dane proste w postaci kierunkowej: $l:y=mx+n_{1},$ $k:y=mx+n_{2},$

to wzór przybierze postać:

$d={\frac {|n_{1}-n_{2}|}{\sqrt {1+m^{2}}}}.$

Geometrie nieeuklidesowe

Równoległość jest pojęciem charakterystycznym dla geometrii euklidesowej (ogólniej – afinicznej).

W geometrii rzutowej (i geometrii eliptycznej) każde dwie różne proste mają dokładnie jeden punkt wspólny. Nie jest więc spełniony aksjomat Playfaira i nie jest możliwe zdefiniowanie pojęcia równoległości.

W geometrii hiperbolicznej także nie jest spełniony aksjomat Playfaira, tutaj przez dowolny punkt można przeprowadzić (co najmniej) dwie proste rozłączne z zadaną prostą. Można zdefiniować pojęcie równoległości dwóch prostych, odmienne jednak od równoległości definiowanej na płaszczyźnie euklidesowej – np. nie jest to relacja przechodnia.

Zobacz też

• prostopadłość