Równoległość

relacja między niektórymi figurami geometrycznymi, blisko związana z ich rozłącznością

Równoległość – w matematyce jest to wspólna nazwa powiązanych relacji między figurami geometrycznymi jak:

Para równoległych prostych oraz para równoległych płaszczyzn. Oprócz tego proste te są równoległe do tych płaszczyzn
Tory kolejowe są budowane z równoległych szyn

Oprócz tego równoległość ma znaczenia mniej matematyczne, bliższe zjawiskom fizycznym – równoległe procesy są przynajmniej częściowo jednoczesne[5][6].

Definicje

edytuj
 
Wektory u i v są nazywane równoległymi, bo ich odpowiednie proste d i d′ są równoległe

Równoległość bywa utożsamiana z rozłącznościąnieprzecinaniem się – dla[7]:

Przy szerszych definicjach za równoległe uznaje się też:

  • proste pokrywające się, inaczej tożsame[9];
  • płaszczyzny pokrywające się[10];
  • prostą i płaszczyznę, na której ona leży[11].

Analogicznie można definiować równoległość dla obiektów mających więcej wymiarów.

Dla dwóch prostych w trójwymiarze równoległość to więcej niż rozłączność lub równość – ta pierwsza nie jest warunkiem wystarczającym równoległości. Dwie różne proste w trójwymiarze są nazywane równoległymi pod dodatkowym warunkiem, że są współpłaszczyznowe – przechodzi przez nie wspólna płaszczyzna[12][13]. Proste rozłączne przez to, że nie mają wspólnej płaszczyzny, nazywa się skośnymi[12].

Równoległość dwóch wektorów w przestrzeni euklidesowej można definiować dwojako – przez:

W pierwszym wypadku równoległość to relacja wyłącznie między wektorami niezerowymi, tj. różnymi od zerowego[14]. Oprócz tego w trójwymiarze definiuje się iloczyn wektorowy, a równoległość wektorów jest równoważna temu, że ich iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym[15][16]:

 

Istnieją także mniej ścisłe definicje, używane w słownikach języka polskiego – odwołują się do równości pewnych odległości między figurami lub przedmiotami[17][6].

Rola pojęcia

edytuj

Za pomocą równoległości definiuje się inne pojęcia geometryczne, m.in. planimetrii i stereometrii:

Oprócz tego równoległość jest też przedmiotem:

Geometria euklidesowa

edytuj

Aksjomaty

edytuj
 
Postulat Euklidesa

Jeżeli prosta (transwersalna)   przecina proste   tak, że kąty sobie odpowiadające są sobie różne, to proste   przecinają się. O takich prostych mówi się, że są nierównoległe i oznacza się   Proste, które nie są nierównoległe, nazywane są równoległymi i oznacza się  

Szkocki matematyk John Playfair określił następujący aksjomat:

Aksjomat Playfaira

Przez dowolny punkt można przeprowadzić najwyżej jedną prostą rozłączną z zadaną prostą. O takiej prostej mówi się, że jest równoległa do zadanej prostej.

Geometrie euklidesowe to geometrie wykorzystujące aksjomat Euklidesa.

Właściwości

edytuj
 
Trzy płaszczyzny równoległe parami

Równoległość obiektów tego samego rodzaju – np. między prostymi lub między płaszczyznami – jest relacją równoważności[25][26], tzn. jest:

  • zwrotna:  
  • symetryczna:   pociąga  
  • przechodnia[12]: jeśli   oraz   to  

Planimetria kartezjańska

edytuj
 
Na niebiesko zaznaczono parę prostych równoległych na płaszczyźnie kartezjańskiej

Warunki równoległości

edytuj

Proste zadane równaniami w postaci kierunkowej są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe[27][28].

Dwie proste na płaszczyźnie kartezjańskiej są interpretacją graficzną układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Proste równoległe rozłączne odpowiadają układowi sprzecznemu, proste pokrywające się układowi nieoznaczonemu. Stąd dwie proste zadane równaniami ogólnymi

 

nie przecinają się lub pokrywają się, jeżeli wyznacznik (macierzy głównej) tego układu jest równy zeru[29]:

 

Podobnymi wzorami można sprawdzać równoległość wektorów płaskich[30].

Odległość prostych równoległych

edytuj

Jest to odległość któregokolwiek punktu leżącego na jednej prostej od jego rzutu prostopadłego na drugą prostą.

Niech l || k. Wówczas   i   gdy   Odległość punktu   od prostej   wyraża się wzorem:

 

Ponieważ   to   więc  

Zatem wzór na odległość dwóch prostych równoległych ma postać[31]:

 

Jeżeli przedstawimy dane proste w postaci kierunkowej:    

to wzór przybierze postać:

 

Geometrie nieeuklidesowe

edytuj
Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Równoległość jest pojęciem charakterystycznym dla geometrii euklidesowej (ogólniej – afinicznej).

W geometrii rzutowej (i geometrii eliptycznej) każde dwie różne proste mają dokładnie jeden punkt wspólny. Nie jest więc spełniony aksjomat Playfaira i nie jest możliwe zdefiniowanie pojęcia równoległości.

W geometrii hiperbolicznej także nie jest spełniony aksjomat Playfaira, tutaj przez dowolny punkt można przeprowadzić (co najmniej) dwie proste rozłączne z zadaną prostą. Można zdefiniować pojęcie równoległości dwóch prostych, odmienne jednak od równoległości definiowanej na płaszczyźnie euklidesowej – np. nie jest to relacja przechodnia.

Zobacz też

edytuj
  1. Ogólniej podprzestrzenie o wymiarze co najwyżej   w przestrzeni  -wymiarowej.

Przypisy

edytuj
  1. Eric W. Weisstein, Parallel Curves, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-26].
  2.   Parallel lines (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
  3.   Parallel surfaces (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
  4. Eric W. Weisstein, Parallel Vectors, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-26].
  5.   równoległość (prac) [w:] Wielki słownik języka polskiego [online], Instytut Języka Polskiego PAN [dostęp 2025-04-26].
  6. a b   równoległy [w:] Słownik języka polskiego [online], PWN [dostęp 2025-04-26].
  7. równoległość, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-10-27].
  8. Eric W. Weisstein, Parallel Line and Plane, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-26].
  9.   Anna Rybak, Prostopadłość i równoległość na powierzchni kuli, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26].
  10.   Bogdan Staruch, Aksjomaty geometrii przestrzennej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26].
  11.   Tomasz Wójtowicz, Prosta równoległa do płaszczyzny, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26].
  12. a b c   Bogdan Staruch, Proste równoległe w przestrzeni, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26].
  13. Eric W. Weisstein, Parallel Lines, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-26].
  14.   Sebastian Guz, Równoległość wektorów, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26].
  15. iloczyn wektorowy, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-04-27].
  16. Eric W. Weisstein, Parallel Vectors, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-04-27].
  17.   równoległość (odcinkow) [w:] Wielki słownik języka polskiego [online], Instytut Języka Polskiego PAN [dostęp 2025-04-27].
  18. trapez, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-04-27].
  19. równoległobok, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-04-27].
  20. równoległościan, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-04-27].
  21. graniastosłup, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-04-27].
  22. walec, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-04-27].
  23. powierzchnia cylindryczna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-04-27].
  24. Talesa twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-04-27].
  25. relacja równoważności, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-04-27].
  26.   Halszka Tutaj, Elementarna teoria mnogości, rozdział 7. Relacje równoważności, klasy abstrakcji, zbiór ilorazowy, Uniwersytet Jagielloński (UJ) [dostęp 2025-04-27].
  27.   Sebastian Guz, Warunek równoległości prostych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26].
  28.   Tomasz Wójtowicz, Równoległość wykresów funkcji liniowych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26].
  29.   Tomasz Wójtowicz, Równanie prostej równoległej do prostej..., Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26].
  30.   Sebastian Guz, Wektory równoległe w układzie współrzędnych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-27].
  31.   Sebastian Guz, Odległość prostych równoległych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-26].

Linki zewnętrzne

edytuj