Otwórz menu główne

Równoległośćrelacja między obiektami takimi jak proste, płaszczyzny[1], odcinki, półproste.

Spis treści

AksjomatyEdytuj

Aksjomat Euklidesa
Jeżeli prosta (transwersalna)   przecina proste   tak, że kąty sobie odpowiadające są sobie różne, to proste   przecinają się.

O takich prostych mówi się, że są nierównoległe i oznacza się   Proste, które nie są nierównoległe, nazywane są równoległymi i oznacza się  

Szkocki matematyk John Playfair określił następujący aksjomat:

Aksjomat Playfaira
Przez dowolny punkt można przeprowadzić najwyżej jedną prostą rozłączną z zadaną prostą.

O takiej prostej mówi się, że jest równoległa do zadanej prostej.

Geometria euklidesowaEdytuj

Osobny artykuł: postulat Euklidesa.

Geometrie euklidesowe to geometrie wykorzystujące aksjomat Euklidesa. Dwie proste na płaszczyźnie są równoległe, jeżeli nie przecinają się w żadnym punkcie lub mają ich nieskończenie wiele (pokrywają się).

Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowejrównoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej są równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub prosta leży na tej płaszczyźnie.

Analogicznie można definiować równoległość dla obiektów mających więcej wymiarów.

WłaściwościEdytuj

Równoległość jest relacją równoważności, tzn. jest

zwrotna:  
symetryczna:   pociąga  
przechodnia: jeśli   oraz   to  

Geometria analitycznaEdytuj

Proste równoległe zadane równaniem w postaci kierunkowej, mają równe współczynniki kierunkowe.

Dwie proste na płaszczyźnie kartezjańskiej są interpretacją graficzną układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Proste równoległe rozłączne odpowiadają układowi sprzecznemu, proste pokrywające się układowi nieoznaczonemu. Stąd dwie proste zadane równaniami ogólnymi

 

nie przecinają się lub pokrywają się, jeżeli wyznacznik (macierzy głównej) tego układu jest równy zeru:

 

Odległość prostych równoległychEdytuj

Odległość prostych równoległychodległość któregokolwiek punktu leżącego na jednej prostej od jego rzutu prostopadłego na drugą prostą.

Niech l || k. Wówczas   i   gdy   Odległość punktu   od prostej   wyraża się wzorem:

 

Ponieważ   to   więc  

Zatem wzór na odległość dwóch prostych równoległych ma postać:

 

Jeżeli przedstawimy dane proste w postaci kierunkowej:    

to wzór przybierze postać:

 

Geometrie nieeuklidesoweEdytuj

Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Równoległość jest pojęciem charakterystycznym dla geometrii euklidesowej (ogólniej – afinicznej).

W geometrii rzutowej (i geometrii eliptycznej) każde dwie różne proste mają dokładnie jeden punkt wspólny. Nie jest więc spełniony aksjomat Playfaira i nie jest możliwe zdefiniowanie pojęcia równoległości.

W geometrii hiperbolicznej także nie jest spełniony aksjomat Playfaira, tutaj przez dowolny punkt można przeprowadzić (co najmniej) dwie proste rozłączne z zadaną prostą. Można zdefiniować pojęcie równoległości dwóch prostych, odmienne jednak od równoległości definiowanej na płaszczyźnie euklidesowej – np. nie jest to relacja przechodnia.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Ogólniej podprzestrzenie co najwyżej  -wymiarowe przestrzeni  -wymiarowej.