Równoległość

Równoległość – w matematyce jest to wspólna nazwa powiązanych relacji między figurami geometrycznymi jak:

• proste i ich części, np. półproste i odcinki;
• linie krzywe;
• płaszczyzny i ich części, np. figury płaskie;
• inne powierzchnie;
• figury w wyższych wymiarach;
• wektory.

Para równoległych prostych oraz para równoległych płaszczyzn. Oprócz tego proste te są równoległe do tych płaszczyzn

Tory kolejowe są budowane z równoległych szyn

Oprócz tego równoległość ma znaczenia mniej matematyczne, bliższe zjawiskom fizycznym – równoległe procesy są przynajmniej częściowo jednoczesne.

Definicje

Wektory u i v są nazywane równoległymi, bo ich odpowiednie proste d i d′ są równoległe

Równoległość bywa utożsamiana z rozłącznością – nieprzecinaniem się – dla:

• prostych na płaszczyźnie;
• płaszczyzn w przestrzeni trójwymiarowej;
• prostej i płaszczyzny.

Przy szerszych definicjach za równoległe uznaje się też:

• proste pokrywające się, inaczej tożsame;
• płaszczyzny pokrywające się;
• prostą i płaszczyznę, na której ona leży.

Analogicznie można definiować równoległość dla obiektów mających więcej wymiarów.

Dla dwóch prostych w trójwymiarze równoległość to więcej niż rozłączność lub równość – ta pierwsza nie jest warunkiem wystarczającym równoległości. Dwie różne proste w trójwymiarze są nazywane równoległymi pod dodatkowym warunkiem, że są współpłaszczyznowe – przechodzi przez nie wspólna płaszczyzna. Proste rozłączne przez to, że nie mają wspólnej płaszczyzny, nazywa się skośnymi.

Równoległość dwóch wektorów w przestrzeni euklidesowej można definiować dwojako – przez:

• równoległość ich prostych;
• ich proporcjonalność wprost – to, że jeden wektor jest przeskalowaniem drugiego.

W pierwszym wypadku równoległość to relacja wyłącznie między wektorami niezerowymi, tj. różnymi od zerowego. Oprócz tego w trójwymiarze definiuje się iloczyn wektorowy, a równoległość wektorów jest równoważna temu, że ich iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym:

${\vec {u}}\parallel {\vec {v}}\ \Leftrightarrow \ {\vec {u}}\times {\vec {v}}={\vec {0}}.$

Istnieją także mniej ścisłe definicje, używane w słownikach języka polskiego – odwołują się do równości pewnych odległości między figurami lub przedmiotami.

Rola pojęcia

Za pomocą równoległości definiuje się inne pojęcia geometryczne, m.in. planimetrii i stereometrii:

• w geometrii płaskiej równoległością odcinków definiuje się m.in. trapezy i równoległoboki;
• w geometrii trójwymiarowej równoległość płaszczyzn i odcinków pojawia się w definicjach równoległościanów, bardziej ogólnych graniastosłupów oraz walców i powierzchni walcowych.

Oprócz tego równoległość jest też przedmiotem:

• podanego niżej postulatu Euklidesa i jego odmian;
• twierdzenia Talesa.

Geometria euklidesowa

Aksjomaty

Postulat Euklidesa

Jeżeli prosta (transwersalna) $t$ przecina proste $a,b$ tak, że kąty sobie odpowiadające są sobie różne, to proste $a,b$ przecinają się. O takich prostych mówi się, że są nierównoległe i oznacza się $a\nparallel b.$ Proste, które nie są nierównoległe, nazywane są równoległymi i oznacza się $a\parallel b.$

Szkocki matematyk John Playfair określił następujący aksjomat:

Aksjomat Playfaira

Przez dowolny punkt można przeprowadzić najwyżej jedną prostą rozłączną z zadaną prostą. O takiej prostej mówi się, że jest równoległa do zadanej prostej.

Geometrie euklidesowe to geometrie wykorzystujące aksjomat Euklidesa.

Właściwości

Trzy płaszczyzny równoległe parami

Równoległość obiektów tego samego rodzaju – np. między prostymi lub między płaszczyznami – jest relacją równoważności, tzn. jest:

• zwrotna: $a\parallel a,$
• symetryczna: $a\parallel b\;{}$ pociąga ${}\;b\parallel a,$
• przechodnia: jeśli $a\parallel b\;{}$ oraz ${}\;b\parallel c,\;{}$ to ${}\;a\parallel c.$

Planimetria kartezjańska

Na niebiesko zaznaczono parę prostych równoległych na płaszczyźnie kartezjańskiej

Warunki równoległości

Proste zadane równaniami w postaci kierunkowej są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe.

Dwie proste na płaszczyźnie kartezjańskiej są interpretacją graficzną układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Proste równoległe rozłączne odpowiadają układowi sprzecznemu, proste pokrywające się układowi nieoznaczonemu. Stąd dwie proste zadane równaniami ogólnymi

${\begin{cases}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\\[2pt]A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\end{cases}}$

nie przecinają się lub pokrywają się, jeżeli wyznacznik (macierzy głównej) tego układu jest równy zeru:

${\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}=0\iff A_{1}B_{2}=A_{2}B_{1}.$

Podobnymi wzorami można sprawdzać równoległość wektorów płaskich.

Odległość prostych równoległych

Jest to odległość któregokolwiek punktu leżącego na jednej prostej od jego rzutu prostopadłego na drugą prostą.

Niech l || k. Wówczas $l:Ax+By+C_{1}$ i $k:Ax+By+C_{2},$ gdy $A_{2}+B_{2}>0.$ Odległość punktu $O$ od prostej $l$ wyraża się wzorem:

$d={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C_{1}|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.$

Ponieważ $O\in k,$ to $Ax_{0}+By_{0}+C_{2}=0,$ więc $Ax_{0}+By_{0}=-C_{2}.$

Zatem wzór na odległość dwóch prostych równoległych ma postać:

$d={\frac {|C_{1}-C_{2}|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.$

Jeżeli przedstawimy dane proste w postaci kierunkowej: $l:y=mx+n_{1},$ $k:y=mx+n_{2},$

to wzór przybierze postać:

$d={\frac {|n_{1}-n_{2}|}{\sqrt {1+m^{2}}}}.$

Geometrie nieeuklidesowe

Równoległość jest pojęciem charakterystycznym dla geometrii euklidesowej (ogólniej – afinicznej).

W geometrii rzutowej (i geometrii eliptycznej) każde dwie różne proste mają dokładnie jeden punkt wspólny. Nie jest więc spełniony aksjomat Playfaira i nie jest możliwe zdefiniowanie pojęcia równoległości.

W geometrii hiperbolicznej także nie jest spełniony aksjomat Playfaira, tutaj przez dowolny punkt można przeprowadzić (co najmniej) dwie proste rozłączne z zadaną prostą. Można zdefiniować pojęcie równoległości dwóch prostych, odmienne jednak od równoległości definiowanej na płaszczyźnie euklidesowej – np. nie jest to relacja przechodnia.

Zobacz też

• Przeniesienie równoległe
• obliczenia równoległe
• prostopadłość

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Parallel, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2025-04-23].
• Parallel straight lines (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].