Płaszczyzna

Zbiór punktów
Ten artykuł dotyczy pojęcia z dziedziny geometrii. Zobacz też: miejscowości o nazwie Płaszczyzna.

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii (występuje np. w geometrii Euklidesa, geometrii absolutnej, geometrii afinicznej, geometrii rzutowej itd.). W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Dwie przecinające się płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej

Płaszczyznę można obrazować jako kartę papieru, powierzchnię stołu, czy płaskie pole, wyobrażając sobie je rozciągające się „w nieskończoność”.

DefinicjeEdytuj

Jeżeli A, B, C są trzema niewspółliniowymi punktami, płaszczyzna ABC jest zbiorem wszystkich punktów współliniowych z parami punktów leżących na jednym lub na dwóch bokach trójkąta ABC[1].

Trzy punkty są współliniowe, jeśli leżą na jednej prostej. W przeciwnym wypadku punkty takie nazywamy punktami niewspółliniowymi.

Mówimy, że odcinek, przedział lub prosta leżą na płaszczyźnie, jeżeli wszystkie punkty na odcinku, w przedziale, na promieniu lub na prostej leżą na płaszczyźnie[2].

WłasnościEdytuj

Podstawowe własności płaszczyzn opisują aksjomaty geometrii absolutnej, inne są twierdzeniami, czyli wnioskami z aksjomatów. Uwaga: niektóre z podanych własności zachodzą wyłącznie w przestrzeni trójwymiarowej.

  • przez trzy niewspółliniowe punkty przestrzeni (tzn. nie leżące na jednej prostej) przechodzi jedna i tylko jedna płaszczyzna[3];
    • przez daną prostą i punkt nie leżący na niej przechodzi jedna i tylko jedna płaszczyzna;
    • przez dwie proste przecinające się w jednym punkcie przechodzi jedna i tylko jedna płaszczyzna;
  • prosta przechodząca przez dwa różne punkty płaszczyzny zawiera się w tej płaszczyźnie[4];
  • jeśli dwie płaszczyzny mają jeden punkt wspólny, to mają również drugi punkt wspólny;
  • płaszczyzna jest zbiorem punktów przestrzeni jednakowo oddalonych od dwu ustalonych punktów;
  • każdy punkt płaszczyzny należy do nieskończenie wielu prostych;
  • każda płaszczyzna dzieli przestrzeń na dwa obszary (których częścią wspólną jest ta właśnie płaszczyzna), takich że dowolny odcinek w przestrzeni ma wspólny punkt z daną płaszczyzną wtedy i tylko wtedy, gdy jego końce leża w różnych obszarach; obszary te nazywamy półprzestrzeniami – płaszczyzna jest brzegiem każdego z tych obszarów;
  • każda prosta zawarta w płaszczyźnie dzieli ją na dwie części, takich że dowolny odcinek w tej płaszczyźnie ma wspólny punkt z daną prostą wtedy i tylko wtedy, gdy jego końce leża w różnych częściach; części te nazywane półpłaszczyznami; dana prosta jest brzegiem każdej z dwu półpłaszczyzn;
  • względem danej płaszczyzny prosta w przestrzeni znajduje się w jednej i tylko jednej z takich trzech pozycji:
    • nie ma punktów wspólnych z daną płaszczyzną – nazywamy ją wtedy równoległą do płaszczyzny;
    • ma jeden punkt wspólny;
    • jest zawarta w tej płaszczyźnie.

Płaszczyzna euklidesowaEdytuj

Jeżeli do listy wyżej wymienionych własności dodamy następujący aksjomat (tzw. V pewnik Euklidesa):

przez dowolny punkt płaszczyzny, nie należący do danej prostej leżącej na tej płaszczyźnie, można poprowadzić tylko jedną prostą do niej równoległą,

to otrzymamy pojęcie płaszczyzny euklidesowej. Z tym właśnie pojęciem zaznajamiamy się w szkole.

Różne definicje płaszczyznyEdytuj

Pojęcie płaszczyzny jest trudne do zdefiniowania. Stąd wzięły się wielokrotne próby ulepszenia definicji Euklidesa.

Definicja Euklidesa: Powierzchnia płaska jest ta, na której wziąwszy gdziekolwiek dwa punkty, linia prosta temiż punktami ograniczona, cała leży na tej powierzchni (tłumaczenie Józefa Czecha)[5].

Definicja Archimedesa[6]: Płaszczyzna jest mniejsza od krzywej powierzchni ograniczonej tym samym konturem.

Definicje Proklosa (komentator Elementów)[7]:

  1. Płaszczyzna jest powierzchnią o nieograniczonej rozciągłości.
  2. Płaszczyzna jest powierzchnią, której wszystkie części mogą się po niej ślizgać.
  3. Płaszczyzna jest powierzchnią o jednakowym stosunku do wszystkich prostych na niej leżących.
  4. Płaszczyzna jest powierzchnią, na której leży cała prosta mająca z nią dwa punkty wspólne.

Definicja Anarycjusza (arabski komentator Elementów)[8]: Płaszczyzną nazywa się taka powierzchnia, na której od każdego punktu do każdego innego punktu można poprowadzić prostą.

Wielki geometra rosyjski, Łobaczewski, określał płaszczyznę, posługując się pojęciem sfery (jako zbioru punktów równo oddalonych od ustalonego punktu)[9]: Płaszczyzną nazywa się powierzchnia, w której leżą wszystkie okręgi pochodzące z przecięcia jednakowych sfer utworzonych dokoła dwóch punktów – środków pochodzenia.

Opis w przestrzeni Edytuj

  wraz z iloczynem skalarnym jest modelem dla geometrii euklidesowej i poniższy opis dotyczy płaszczyzny w przestrzeni euklidesowej. Punktami tej przestrzeni są uporządkowane trójki liczb (x, y, z), co odpowiada współrzędnym punktów przestrzeni trójwymiarowej w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Równanie ogólneEdytuj

W przestrzeni euklidesowej   płaszczyzna jest zbiorem punktów, których współrzędne spełniają w danym kartezjańskim układzie współrzędnych równanie:

 

przy czym liczby   nie mogą być jednocześnie równe zeru.

Jest to tak zwane równanie ogólne płaszczyzny. Wektor   jest wektorem normalnym prostopadłym do tej płaszczyzny.

Równanie normalneEdytuj

Równanie normalne płaszczyzny, to równanie postaci:

 

gdzie  

Liczby   interpretujemy jako cosinusy kierunkowe prostej prostopadłej do płaszczyzny. Przejście z postaci ogólnej do normalnej dają wzory:

 

w których współczynnik normalizujący   odpowiada normie (długości) wektora  

 

Równanie odcinkoweEdytuj

Do opisu płaszczyzny można też użyć równania odcinkowego:

 

Ma ono tę zaletę, że od razu daje punkty przecięcia płaszczyzny z osiami współrzędnych układu: są to punkty  

Ma również istotną wadę: nie daje się w ten sposób przedstawić żadnej płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych (wówczas wszystkie mianowniki musiałyby być równe zeru,  ) ani też żadnej płaszczyzny równoległej do którejkolwiek osi (wówczas odpowiedniemu współczynnikowi lub parze współczynników należałoby przypisać wartość nieskończoną,  ).

Przejście z postaci ogólnej lub normalnej do odcinkowej dają wzory:

 

Równanie parametryczneEdytuj

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt   o wektorze wodzącym   i równoległej do niewspółliniowych wektorów     ma postać:

  gdzie  

lub

  gdzie  

W postaci rozwiniętej wygląda następująco:

  gdzie  

i nazywamy je równaniem parametrycznym.

Płaszczyzna przechodząca przez trzy punktyEdytuj

Ponieważ istnieje tylko jedna płaszczyzna w   przechodząca przez trzy niewspółliniowe punkty, dlatego można jednoznacznie wyznaczyć tę płaszczyznę. Jeżeli płaszczyzna przechodzi przez trzy punkty     i   jest określona następującym równaniem:

 

lub

 

Parametry równania ogólnego   tej płaszczyzny, można wyznaczyć następująco:

 
 

Odległość punktu od płaszczyznyEdytuj

Odległość punktu P o współrzędnych   od płaszczyzny m zadanej równaniem ogólnym   lub normalnym   przedstawia wzór:

 

PrzypisyEdytuj

  1. H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 201.
  2. H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 201.
  3. H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 201.
  4. H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 201.
  5. W. Kostin: Podstawy geometrii. Warszawa: PZWS, 1952, s. 16.
  6. W. Kostin: Podstawy geometrii. Warszawa: PZWS, 1952, s. 33.
  7. W. Kostin: Podstawy geometrii. Warszawa: PZWS, 1952, s. 34.
  8. W. Kostin: Podstawy geometrii. Warszawa: PZWS, 1952, s. 35.
  9. W. Kostin: Podstawy geometrii. Warszawa: PZWS, 1952, s. 35.